彈性力學(xué)課件塑性

1、第四章應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系（二）物體由于受力而變形，如果將力去掉以后能立即恢復(fù)到原來的形狀，這個變形就叫做彈性變形。如果將力去掉以后，不能恢復(fù)狀，其中有一部份變形被保留下來，稱為塑性變形，涉及塑性變形的力學(xué)，就叫塑性力學(xué)。4.6 塑性的基礎(chǔ)知識金屬材料塑性破壞一般認(rèn)為是晶體滑移或位錯所致。因此塑性變形與剪切變形有關(guān)。（1）塑性變形不引起體積的變化；（2）拉伸與壓縮的塑性特征性狀幾乎一致。 其他材料如混凝土、石材、土等與金屬材料的微觀現(xiàn)象有很大的區(qū)別。 其破壞主要?dú)w于微裂紋的發(fā)展； 塑性性狀包含體積的改變；壓特性存在很大的區(qū)別。簡單拉壓時的塑性現(xiàn)象拉 E ；變形可恢復(fù)，但不成線性比例關(guān)系；屈服；強(qiáng)化

2、；軟化；卸載，再加載，后繼屈服， s s1 s ； s。初始屈服條件后繼屈服條件 H( )p與塑性變形的歷史有關(guān)， s， 彈性階段；ss當(dāng)d 0加載卸載 ，d 0sBauschinger 效應(yīng)4.7應(yīng)力張量的分解（對第三章的補(bǔ)充） x yx zx m000zy 00 xyym0 zx zy yxm xzyzz x m xy y m m xzyzz記2 m0 m000 mij00m ： ij mijsij yxsy zx sxsij xy zy sxzyzzsx xsy ysz z m m m應(yīng)力球張量只引起體積的變化，而沒有形狀的改變。應(yīng)力偏張量只引起形狀變化，而沒有體積改變。I1 (sij

3、) sx sy sz 0 )I (s ) (s ss ss s) (2xy2yz22ijxyyzzxzx3I3 (sij ) det(sij )因?yàn)?(sx sy sz ) 02 s s -2(s ss ss ss222)xyzxyyzzx所以(sxsy sysz szsx ) 2 (s s) 1 (s ss ss ss ss s)xyyzzxxyyzzx331s s s - (s s s ss s222)xyzxyyzzx3 1(ss(s(s)2)2- s )2 - sxyyzzx6 1( (- (- )2)2)2 xyyzzx6所以4I2 (sij ) 1( (- (- )2)2)2xyy

4、zzx6 6( )2xy2yz2zxI2 (sij )也可以寫成如下形式： )I (s ) (s ss ss s) (2xy2yz22ijxyyzzxzx1 )(s s s ) 2(2222xy2yz2xyzzx2 1 s sijij2如果坐標(biāo)軸為主軸，則有I1 (sij ) sii s11 s22 s33 0I2 (sij ) 1( (- (- )2)22) 1223316I3 (sij ) (1 m )( 2 - m )( 3 - m ) s1s2s354.8八面體應(yīng)力、應(yīng)力強(qiáng)度（第三章的補(bǔ)充）1l m n 3 xl yxm zxn 1l xyl ym zyn 2m xzl yzm zn

5、3nfvxfvyfvz m n2vy2vz2 222222fl131 212223()3m fn fl f2m2n2loctvxvyvz123 1 ( ) 123m3 13f 22octoctv1 ) ( 21222)2(31239 1 )212222(312233136 1 )212222(31223313 1( (- (- )2)221223313- 1 ) ( (6)-)2 I(s )2ij3定義應(yīng)力強(qiáng)度1( (- (- ) )2)22i12233123 3I (s )oct2ij2對于一壓問題1 ， 2 3 0 i 4.9應(yīng)變張量的分解（第四章的補(bǔ)充）7 00 112122xyxzxm

6、 0012xyyzym 0 1 012 m 2xzyzz121212x1212myxzx xyy12mzy 記m xzyzz m0m00 0 mij 0 0m ： ij偏應(yīng)變張量 mijeijeij 121212x1212myxzx xyy12mzy m xzyzz8主偏應(yīng)變?yōu)?e1，e2 ，e3 ，三個偏應(yīng)變不變量為：J1 e11 e22 e33 0J (e e ee e) (e e e)222e2J3112222333311122331 det(eij ) e1e2e3其中J2 可表示為J 1 e e2ijij2 1( (- (- )2)2)2xyyzzx6 ) 6(222321231 1

7、( (- (- )2)2)2xyyzzx6 3 ( )2221223312 1( (- (- ) )2)221223316定義應(yīng)變強(qiáng)度92Ji232( (- (- ) )2)221223319對于一壓問題 - 1 ，1232（塑性變形時泊松比取 0.5）i 4.10應(yīng)力空間OA OA A A OA OA直線 L （OA ）上 1 2 3，代表應(yīng)力球張量。垂直 L，通過坐標(biāo)原點(diǎn)的平面稱為平面，1 2 3 0注意到 s1 s2 s3 010可知 OA總是在平面內(nèi)的。在平面內(nèi)投影2 2 3；cos 23222223即原來長度為 1 的變?yōu)椤?2 2 ,-1 31 111226 2 3 23 1 2

8、-1 33 ,322262 1 3 2 s1 s3 x 22111122 1 - 3 2s2 s1 - s3 y 66采用極坐標(biāo)2r y22I (s ) x22iji31 2 2 1 - 3 tg y 13 - x313 為 Lode 參數(shù)。2 s s由 x 1322r coss1 s3 2x 利用s2 (s1 s3 )12ss - s 由 y 213612 2y 2r sins s1333得到2r sin( 2 )s 1332r sin( 2 )s 333而2r sins (s s ) 21334.11屈服條件(1)Tresca 屈服條件（圖 2-8（b） 1 3 1 k（k 即為屈服應(yīng)力）

9、maxs2 k21 31k( x ) 1322(2)Mises 屈服條件（圖 2-8（b）13圓的半徑為kk232 2 k3cos30o2圓的方程為2 y2 k2 x23 因?yàn)? x 13212 - y 2136(1 2 ) ( - ) ( - ) 2k22222331因?yàn)?( )2 (- )2 (- )2i1223312所以 i k143I2 s(1)Tresca 條件與 Mises 條件比較取 k s， s 為單向拉壓時的屈服應(yīng)力。對于 Tresca：1 3 s，即1 3 s 1對于 Mises：2 222 y s3x，即21 y 3x3 12 1 x s13223( tg y 1 )x3

10、1 3 2 s3 2 1，1 3 2 1拉壓時 s15 0，1 3 2 1.15 2剪切時 s3(4)Lode 實(shí)驗(yàn)4.12加、卸載準(zhǔn)則初始屈服面f ( ij ) 0后繼屈服面f ( ij , k ) 0k為硬化參數(shù)。(1) 理想彈塑性材料的加載和卸載準(zhǔn)則f ( ij ) 0f ( ij ) 0彈性且) f ( ) f ddf f ( d 0ijijijij ij加載f ( ij ) 0且16) f ( ) f ddf f ( d 0ijijijij ij卸載。f為分量的矢量就是函數(shù) f 的梯度，所以以ij) 00，n 0，n f (d加載ij 0f (d卸載ij(2) 硬化材料的加載和卸載準(zhǔn)

11、則f ( ij , k ) 0 0fd卸載ijij即n d 0 f ( ij , k ) 0 0fd中性變載ijij即n d 0 17f ( ij , k ) 0 0fd ij加載ij即n d 0 4.13 硬化模型（1）單一曲線假設(shè)單向拉壓曲線 ( )假設(shè)應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度的關(guān)系與單向拉壓曲線一致，所以 i (i )（2）等向硬化條件Mises 初始屈服條件 i k s后繼屈服條件p i H ( di )，其中H (0) sJ 1 e e2ijij21822 eJei2ijij33231e2 e2 e2 (2xy 2 2 )xyzyzzx2ij mij eij，即因?yàn)閑x x m，ey y

12、m ,ez z m由于塑性變形只涉及形狀的改變而沒有體積的變化，所以ep p ，ep p ，ep pxxyyzz塑性應(yīng)變增量強(qiáng)度d2 d pdpp ijiij3(d231 (dp )22 )2xzx2p伸時， i H ( di )一變?yōu)?H ( p ) H ( d p )的是H 。感因?yàn)?e p19 ( ) ( epp ) ( )Ed 1 d d pE d EE pd又 H ( d p )，所以d H d pH dpd（3）（4）隨動硬化模型組合硬化模型4.14（1）Drucker 公設(shè)穩(wěn)定材料和不穩(wěn)定材料附加應(yīng)力做功正時，附加應(yīng)力做功負(fù)時，（2）Drucker 公設(shè) 0，材料是硬化的， 0，

13、 材料是軟化的。W P ( ij d ij 0 )d p 0ijij當(dāng) ij 0 ，忽略高價無窮小，得到ij( ij 0 )d p 0ijij20 0時， d ij d p 0當(dāng)ijijij（3）屈服面的外凸性和塑性應(yīng)變增量的法向性利用 Drucker 公設(shè)證明外凸性和法向性，將應(yīng)力空間與應(yīng)變空間重合， ij 用OA表示， 0用ijOA0 表示，即A A d 0p0利用上式可證外凸性和法向性。 ij上式關(guān)于時間求導(dǎo) f pij ij i s，屈服面可表示為對于 Mises 屈服條件f i s，又因?yàn)?i 3I2 ，所以也可寫為 2f I2 s 0，3 d I2 ij ij21Iij， I2 1

14、 s sI s因?yàn)?，所?ij ijijs2ijijd p d sijij4.15全量理論(1)廣義定律 1 )； 1 (xxyzxyxyEG 1 )； 1 (yyzxyzyzEG 1 1 )； (xzzxzxzxEG 1 ijijkkijEE 1 3 1- 2 iiiiiiiiEEE22( kk )e ijijijmijij3 1 1- 2 kk )(ijkkijijEEE3 1 3 1- 2 ijmijmijEE E 1 1sijmijijE2G為了便于推廣到塑性情況，并與塑性力學(xué)寫法一致?？紤]E2(1 )E EG 2(1 0.5)31 3i i Ei 3Gi又即2 i2G所以 1 s 3

15、iesijijij2 i2G(2)1943 年全量理論 1- 2 iiiiE sijeij23下面確定，3223，s se eiij ijiijij所以2322 2 2s siij ijii333 3i3i2(i )2 i i (i )按單一曲線假設(shè)。(3) 全量理論的適用范圍簡單加載定理（伊留申）荷載按比例單調(diào)增長，位移邊界條件，只能是零位移邊界條件； 0.5； 材料的 i i曲線具有 i A m形式。i4.16增量理論(1) Levy-Misesd ij d sij法則(d 0)即應(yīng)變增量各分量與相應(yīng)的應(yīng)力偏量各分量成24比例。由 Sa-Venant 首先提出。(2) Prandtl-Re

16、uss法則0)d p d sij(dij因?yàn)?d p depijd pmijij 1 d p考慮塑性的不可壓縮性 d p 0mii3所以 d p dep， 即ijijdep d sij，又ij1dee dsijij2G所以1 dee dep d sdedsijijijijij2G1 diid k（k體積變化是彈性的）E(3) 彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)關(guān)系考慮 Mises 條件的等向硬化 i H( d p )i23因?yàn)?d p d pd piijij25把 d p d sij代入上式，得ijd p 2 ds 2 d3 ss 2 d sij ijij ijii33233d pd i 2 i又 H

17、 d i ， d i即 d piHd pi所以3d i2H id 3d i2H ide 1 ds sijijij2G1 diid kkE(4) 增量型本構(gòu)方程的矩陣形式根據(jù)塑性應(yīng)變分量與偏應(yīng)力分量之間的關(guān)系：d p d sxx26d p 3 xy d p 3sxd pd p，xxyii2 i id p 3 yz d p 3syd pd p，yyzii2 i i 3 zx 3szd pd p，d pd pzzxii2 i i 212因?yàn)?i I2 ，I2sijsij3I2 I2 sij ijsij所以 2I2) i ii2 sx( x x x33 i 3sx x2 i id pd pxi x27

18、 i xi d p y x d py p i ddpzzi i d pxy xy d pyz id pzxyz i zx d pp iid 考慮 i H( d p )i i id idddixyzx x y zxTd p iH di 28d De d d pTTD pdiidd e即 i T i p dpH d id DeiTD id epdiTH i D i e所以TD iid ep dT i H iD e彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為29 i i TDeDedd D i e i TD He4.17非金屬材料塑性理論與金屬塑性力學(xué)的主要差別是考慮平均應(yīng)力的影響。(1)Mohr-Coulomb 條件 n n tg C 1 ( ) 1 ( )sinn131322 1 ( )cosn132由上述公式1 ( ) 1 ( )sin Ccos131322注意到 1 ()，s m （ 1,2,3) m1233301 (s s ) 1 (ss )sin sin Ccos1313m222 s s 由 x 132y