馬文蔚 《物理學(xué)教程》教案chapter 02 牛頓定律

1、課題第02章 牛頓定律課時(shí)安排4課時(shí)教學(xué)目的要求1、理解力、質(zhì)量、慣性參考系等概念；2、掌握牛頓三定律及其適用條件； 3、了解自然力與常見(jiàn)力；了解物理量學(xué)的量綱；4、熟練應(yīng)用牛頓第二定律求解力學(xué)中的兩大類問(wèn)題。主要內(nèi)容與時(shí)間分配第一節(jié) 牛頓定律*第二節(jié) 物理量的單位和量綱第三節(jié) 幾種常見(jiàn)的力第四節(jié) 牛頓定律的應(yīng)用舉例*第五節(jié) 力學(xué)相對(duì)性原理 慣性系和非慣性系重點(diǎn)難點(diǎn)牛頓三定律及其適用條件及解題教學(xué)方法和手段以講授為主，使用多媒體課件課后作業(yè)練習(xí)總結(jié)和改進(jìn)意見(jiàn)第二章 牛頓定律 2-1 牛頓定律一、牛頓第一定律按照古希臘哲學(xué)家亞里士多德（Aristotle，公元前384-322）的說(shuō)法，靜止是物體

2、的自然狀態(tài)，要使物體以某一速度作勻速運(yùn)動(dòng)，必須有力對(duì)它作用才行。意大利物理學(xué)家和天文學(xué)家伽利略指出，如果沒(méi)有外力作用，物體將以恒定的速度運(yùn)動(dòng)下去。力不是維持物體運(yùn)動(dòng)的原因，而是使物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的原因。1686年，牛頓在他的名著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理一書(shū)中寫(xiě)道：任何物體都要保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直到外力迫使它改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為止，這就是牛頓第一定律，牛頓第一定律的數(shù)學(xué)形式表示為： (2-1)第一定律表明，任何物體都具有保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的性質(zhì)，這個(gè)性質(zhì)叫做慣性，一定要有其它物體對(duì)它作用，這種作用被稱之為力。二、牛頓第二定律1. 動(dòng)量物體運(yùn)動(dòng)時(shí)總具有速度，我們把物體的質(zhì)量與其運(yùn)動(dòng)速度的乘積叫做物體

3、的動(dòng)量，用表示，即 (2-2)動(dòng)量顯然也是一個(gè)矢量，其方向與速度的方向相同。與速度可表示物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一樣，動(dòng)量也是表述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量，但動(dòng)量較之速度其涵義更為廣泛，意義更為重要，當(dāng)外力作用于物體時(shí)，其動(dòng)量發(fā)生改變，牛頓第二定律闡明了作用物體的外力與物體動(dòng)量變化的關(guān)系。2. 牛頓第二定律 牛頓第二定律表明，動(dòng)量為的物體，在合外力的作用下，其動(dòng)量隨時(shí)間的變化率應(yīng)當(dāng)?shù)扔谧饔梦矬w的合外力，即 (2-3a)當(dāng)物體在低速情況下運(yùn)動(dòng)時(shí)，即物體的運(yùn)動(dòng)速度v遠(yuǎn)小于光速c(vc)時(shí)，物體的質(zhì)量可以視為是不依賴于速度的常量，于是上式可寫(xiě)成 (2-3b)或 3. 直角坐標(biāo)系中分量形式在直角坐標(biāo)系中也可寫(xiě)成 即 (2

4、-3c)式(2-3)是牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，又稱牛頓力學(xué)的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程。牛頓第二定律是牛頓力學(xué)的核心，應(yīng)用它解決問(wèn)題時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)。(1)牛頓第二定律只適用于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，物體作平動(dòng)時(shí)，物體上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況完全相同，所以物體的運(yùn)動(dòng)可看作是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量就是整個(gè)物體的質(zhì)量，以后如不特別指明，在論及物體的平動(dòng)時(shí)，都是把物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理的。(2)牛頓第二定律所表示的合外力與加速度之間的關(guān)系是瞬時(shí)關(guān)系，也就是說(shuō)，加速度只在外力有作用時(shí)才產(chǎn)生，外力改變了，加速度也隨之改變。(3)力的疊加原理。當(dāng)幾個(gè)外力同時(shí)作用于物體時(shí)，其合外力所產(chǎn)生的加速度，與每個(gè)外力所產(chǎn)生加速度的矢量和是

5、一樣的，這就是力的疊加原理。式(2-3)是牛頓第二定律的矢量式，它在直角坐標(biāo)系Ox、Oy和Oz軸上的分量式分別為 (2-4)式中Fx、Fy和Fz分別表示作用在物體上所有的外力在Ox、Oy和Oz軸上的分量之和；ax、ay和az分別表示物體加速度a在Ox、Oy和Oz軸上的分量。4. 自然坐標(biāo)系的分量形式eneta圖2-1 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在平面上作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們可取圖2-1所示的自然坐標(biāo)系en為法向單位矢量，et為切向單位矢量，于是質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)A的加速度a在自然坐標(biāo)系的兩個(gè)相互垂直方向上的分矢量at和an，這樣，質(zhì)點(diǎn)平面上作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在自然坐標(biāo)系中牛頓第二定律寫(xiě)成 (2-5a)如以Ft和Fn代表合外力F在切

6、向和當(dāng)向的分矢量，則有 (2-5b)式中Ft叫做切向力，F(xiàn)n叫做法向力（或向心力）；at和an相應(yīng)地叫做切向加速度和法向加速度。三、牛頓第三定律牛頓第一定律指出物體只有在外力作用下才改變其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，牛頓第二定律給出物體的加速度與作用于物體的力和物體質(zhì)量之間的數(shù)量關(guān)系，牛頓第三定律說(shuō)明力具有物體間相互作用的性質(zhì)。兩個(gè)物體之間的作用力F和反作用力F，沿同一直線，大小相等，方向相反，分別作用在兩物體上，這就是牛頓第三定律，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 （2-6）作用力和反作用力是同時(shí)產(chǎn)生、同時(shí)消滅、分別作用在兩個(gè)物體上的屬于同種性質(zhì)的力。思考題試分析下列問(wèn)題：(1) 物體的運(yùn)動(dòng)方向和合外力方向是否一定相同？（不一

7、定）(2) 物體受到幾個(gè)力的作用，是否一定產(chǎn)生加速度？（不一定）(3) 物體運(yùn)動(dòng)的速率不變，所受合外力是否為零？（不一定）四、力學(xué)相對(duì)性原理1. 慣性參考系（1）慣性系在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，研究物體的運(yùn)動(dòng)可任選參考系，只是所選擇的參考系應(yīng)給物體運(yùn)動(dòng)的研究帶來(lái)方便。那么在動(dòng)力學(xué)中，應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律研究物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，參考系還能不能任意選擇呢？我們通過(guò)下面的例子來(lái)進(jìn)行討論。在火車車廂內(nèi)的一個(gè)光滑桌面上，放一個(gè)小球。當(dāng)車廂相對(duì)地面以勻速前進(jìn)時(shí)，這個(gè)小球相對(duì)桌面處于靜止?fàn)顟B(tài)，而路基旁的人則看到小球隨車廂一起作勻速直線運(yùn)動(dòng)。這時(shí)，無(wú)論是以車廂還是以地面作為參考系，牛頓運(yùn)動(dòng)定律都是適用的，因?yàn)樾∏蛟谒椒较虿皇芡饬ψ?/p>

8、用，它保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但當(dāng)車廂突然相對(duì)于地面以向前的加速度a運(yùn)動(dòng)時(shí)，車廂內(nèi)的乘客觀察到此小球相對(duì)于車廂內(nèi)的桌面以加速度a向后作加速運(yùn)動(dòng)。這個(gè)現(xiàn)象，對(duì)處于不同參考系的觀察者，可以得出不同的結(jié)論。站在路基旁的人，覺(jué)得這件事是很自然的。因?yàn)樾∏蚝妥烂嬷g非常光滑，它們之間的摩擦力可以忽略不計(jì)，因此，當(dāng)桌面隨車廂一起以加速度a向前運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球在水平方向并沒(méi)有受到外力作用，所以它仍保持原來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，牛頓運(yùn)動(dòng)定律此時(shí)仍然是適用的。然而對(duì)于坐在車廂內(nèi)的乘客來(lái)說(shuō)，這就很不好理解了，既然小球在水平方向沒(méi)有受到外力作用，小球怎么會(huì)在水平方向具有a的加速度呢？由此可見(jiàn)，（牛頓運(yùn)動(dòng)定律不是對(duì)任意的參考系

9、都適用的。我們把適用牛頓運(yùn)動(dòng)定律的參考系叫做慣性參考系，簡(jiǎn)稱慣性系；反之，就叫非慣性系。）例如前面所述的地面以及相對(duì)地面作勻速直線運(yùn)動(dòng)的車廂，都是慣性系，相對(duì)地面作加速運(yùn)動(dòng)的車廂則是非慣性系。（2）近似的慣性參考系要確定一個(gè)參考系是不是慣性系，只能依靠觀察和實(shí)驗(yàn)，地球這個(gè)參考系能否看作是慣性系呢？生活實(shí)踐和實(shí)驗(yàn)表明，地球可視為慣性系，但考慮到地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，所以地球又不是一個(gè)嚴(yán)格的慣性系，然而，一般在研究地面上物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于地球?qū)μ?yáng)的向心加速度和地面上的物體對(duì)地心的向心加速度都比較小，所以，地球仍可近似地看成是慣性系。地面參考系地心參考系太陽(yáng)參考系FK4參考系2. 力學(xué)相對(duì)性原理zyx

10、zyxPuOO圖2-2 zxy設(shè)有兩個(gè)參考系S(Oxyz)和S (O x y z )，它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸都相互平行，且Ox軸與Ox軸相重合，圖2-2所示，其中S系是慣性系，S系以恒定的速度u，沿x軸正向相對(duì)S系作勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以S系也是慣性系。若有一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)S系的速度為為v ，相對(duì)S系的速度為v，由第1-3節(jié)關(guān)于速度相對(duì)性的討論可知，它們之間的關(guān)系為 將上式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)，并考慮到u為常數(shù)，故可得 即 (2-7)上式表明，當(dāng)慣性參考系S以恒定的速度相對(duì)慣性參考系S作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在這兩個(gè)慣性系中的加速度是相同的。由于S系也是慣性系，質(zhì)點(diǎn)所受的力為?？紤]到，所以 這就是說(shuō)，在這兩個(gè)慣性性系

11、中，牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式也具有相同形式。即 當(dāng)由慣性系S變換到慣性系S時(shí)，牛頓運(yùn)動(dòng)方程的形式不變。換句話說(shuō)，在所有慣性系中，牛頓運(yùn)動(dòng)定律都是等價(jià)的。對(duì)于不同慣性系，牛頓力學(xué)的規(guī)律都具有相同的形式，在一慣性系內(nèi)部所作的任何力學(xué)實(shí)驗(yàn)，都不能確定該慣性系相對(duì)于其他慣性系是否在運(yùn)動(dòng)。這個(gè)原理叫做力學(xué)相對(duì)性原理或伽利略相對(duì)性原理。思考題(1)什么是慣性參考系?如何確定?(2)什么是力學(xué)相對(duì)性原理?2-2 物理量的單位和量綱The international system of units國(guó)際單位制中規(guī)定：力學(xué)的基本量是長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間，長(zhǎng)度的基本單位名稱為米，單位符號(hào)為m；質(zhì)量的基本單位名稱為千克，

12、單位符號(hào)為kg；時(shí)間的基本單位名稱為秒，單位符號(hào)為s。其它力學(xué)量都是導(dǎo)出量，導(dǎo)出量與基本量之間的關(guān)系可用量綱來(lái)表示，我們用L、M、T分別表示長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間的量綱，其它力學(xué)量Q的量綱與基本量量綱之間的關(guān)系，可按下列形式表示：在一個(gè)等式的兩邊，量綱必須相同，故一般可用量綱來(lái)初步檢查等式的正確性。國(guó)際單位制的基本單位有七個(gè)，其定義如下：1）長(zhǎng)度：米是光在真空中（1/299792458）s時(shí)間間隔內(nèi)是經(jīng)路徑的長(zhǎng)度；2）質(zhì)量：千克等于國(guó)際千克原器的質(zhì)量；3）時(shí)間：秒是銫133原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)之間躍遷所對(duì)應(yīng)的輻射的9192631770個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間；4）電流：在真空中，截面積可忽略的兩根相距1

13、m的無(wú)限長(zhǎng)平行圓直導(dǎo)線內(nèi)通以等量恒定電流時(shí)，若導(dǎo)線間相互作用力在每米長(zhǎng)度上為2107N，則每根導(dǎo)線中的電流為1A；5）熱力學(xué)溫度：熱力學(xué)溫度開(kāi)爾文是水三相點(diǎn)熱力學(xué)溫度的1/273.16；6）物質(zhì)的量：摩爾是一系統(tǒng)的物質(zhì)的量，該系統(tǒng)中所包含的基本單元數(shù)與碳12的原子數(shù)目相等。在使用摩爾時(shí)，基本單元應(yīng)指明，可以是原子、分子、離子、電子及其它粒子，或是這些粒子的特定組合；7）發(fā)光強(qiáng)度：坎德拉是一光源在給定方向上發(fā)光強(qiáng)度，該光源發(fā)出頻率為54010Hz的單色輻射，且在此方向上的輻射強(qiáng)度為(1/683)W/sr。3 幾種常見(jiàn)的力The forces of nature 在動(dòng)力學(xué)中，分析物體受力情況是十分

14、重要的。力學(xué)中常見(jiàn)的力有彈性力、摩擦力、萬(wàn)有引力等，它們分屬不同性質(zhì)的力，彈性力和摩擦屬接觸力，而萬(wàn)有引力屬場(chǎng)力。下面我們來(lái)介紹彈性力、摩擦力和萬(wàn)有引力。一、萬(wàn)有引力牛頓繼承了前人的研究成果，提出了著名的萬(wàn)有引力定律。這個(gè)定律指出，星體之間，地球與球表面附近的物體之間，以及所有物體與物體之間都存在著一種相互吸引的力，所有這些力都遵循同一規(guī)律，這種相互吸引力叫做萬(wàn)有引力。萬(wàn)有引力定律可表達(dá)為：在兩個(gè)相距為r，質(zhì)量為m1、m2的質(zhì)點(diǎn)間有萬(wàn)有引力，其方向沿著它們的連線，其大小與它們的質(zhì)量乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比，即 （2-8a）式中G為一普適常數(shù)，叫做引力常量。引力常量最早是由英國(guó)

15、物理學(xué)家卡文迪許（H.Cavendish, 1731-1810）于1798年由實(shí)驗(yàn)測(cè)出的。一般計(jì)算時(shí)取G=6.6710-112.kg-2 用矢量形式表示，萬(wàn)有引力定律可寫(xiě)成 (2-8b)圖2-2 萬(wàn)有引力示意圖如以由m1指向m2的有向線段為m2的位矢r，那么式中er為沿位矢方向的單位矢量，它等于m/r。而上式中的負(fù)號(hào)則表示m1施于m2的萬(wàn)有引力的方向始終與沿位矢的單位矢量的方向相反。應(yīng)該注意，萬(wàn)有引力定律中的F是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的引力。若欲求兩個(gè)物體間的引力，則必須把每個(gè)物體分成很小部分，把每個(gè)小部分看成是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，然后計(jì)算所有這些質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力。重力通常的地球?qū)Φ孛娓浇矬w的萬(wàn)有引力叫做重力

16、P，其方向通常是指向地球中心的。重力的大小又叫重量。在重力P的作用下，物體具有的加速度叫重力加速度g，有如以mE代表地球的質(zhì)量，r為地球中心與物體之間的距離，由式(2-7)可得在地球表面附近，物體與地球中心的距離r與地球的半徑R相差很小即r-Rm時(shí)，F(xiàn)TF，此時(shí)繩中各點(diǎn)的張力近似相等，均約等于外力F。三 摩擦力兩個(gè)互相接觸的物體間有相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)但尚未相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，在接觸面上便產(chǎn)生阻礙發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的力，這個(gè)力稱為靜摩擦力。把物體放在一水平面上，有一外力F沿水平面作用在物體上，若外力F較小，物體尚未滑動(dòng)，這時(shí)靜摩擦力Ff0與外力F在數(shù)值上相等，方向則與F相反。靜摩擦力Ff0隨著F的增大而增大，直到

17、F增大到某一定數(shù)值時(shí)，物體相對(duì)平面即將滑動(dòng)，這時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大值，稱為最大靜摩擦力Ffom。實(shí)驗(yàn)表明，最大靜摩擦力的值與物體的正壓力FN成正比，即 FFFf1Ff2Ff1圖2-6 摩擦力示意圖0叫做靜摩擦因數(shù)。靜摩擦因數(shù)與兩接觸物體的材料性質(zhì)以及接觸面的情況有關(guān)，而與接觸面的大小無(wú)關(guān)。應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出，在一般情況下，靜摩擦力總是滿足下述關(guān)系的： 當(dāng)物體在平面上滑動(dòng)時(shí)，仍受摩擦力作用。這個(gè)摩擦力叫做滑動(dòng)摩擦力Ff，其方向總是與物體相對(duì)平面的運(yùn)動(dòng)方向相反，其大小也是與物體的正壓力FN成正比，即叫做滑動(dòng)摩擦因數(shù)。與兩接觸物體的材料性質(zhì)、接觸表面的情況、溫度、干濕度等有關(guān)，還與兩接觸物體的相對(duì)速度有關(guān)。在

18、相對(duì)速度不太大時(shí)，為計(jì)算簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以認(rèn)為滑動(dòng)摩擦因數(shù)略小于靜摩擦因數(shù)0；在一般計(jì)算時(shí)，除非特別指明，可認(rèn)為它們是相等的。思考題下列幾種說(shuō)法是否正確？為什么？（1）物體受到的摩擦力的方向總是與物體的運(yùn)動(dòng)方向相反；（2）摩擦力，總是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的；（3）靜摩擦的大小等于0FN，0為靜摩擦因數(shù)，F(xiàn)N為物體的正壓力。例 （P36，例2）2-4 牛頓定律的應(yīng)用舉例The application of Newtons law 牛頓定律是物體作機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本定律，它在實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)將通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明如何應(yīng)用牛頓定律分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。在牛頓第二定律F=ma中，F(xiàn)作用在運(yùn)動(dòng)物體上的合外力，因此在應(yīng)

19、用牛頓第二定律時(shí)，首先要正確地分析運(yùn)動(dòng)物體的受力情況。若一個(gè)物體上同時(shí)受到幾個(gè)力的作用，為了便于分析物體受力的情況，應(yīng)當(dāng)把它們圖示出來(lái)；作示力圖時(shí)，首先要把所研究的物體從與之相聯(lián)系的其他物體中“隔離”出來(lái)，然后把作用在此物體上的力一個(gè)不漏地都畫(huà)出來(lái)，還必須正確地標(biāo)明力的方向。這種分析物體受力的方法，叫做隔離體法。對(duì)隔離體畫(huà)出示力圖后，還要根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，常選取加速度的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正向。然后按照所選定的坐標(biāo)系，由牛頓第二定律列出每一隔離體的運(yùn)動(dòng)方程的矢量式及其分量式，最后對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求解。 解題步驟進(jìn)行受力分析，作示力圖；判斷加速度方向；建立坐標(biāo)系，列出運(yùn)動(dòng)方程（分量

20、形式）；求解，討論。解決兩大類問(wèn)題積分法：由力求運(yùn)動(dòng)量；微分法：由運(yùn)動(dòng)量求力。3. 典型例題例1 (P38,例1)阿特伍德（Atwood）機(jī)。（1）如圖2-5（a）所示，一根細(xì)繩跨過(guò)定滑輪，在細(xì)繩兩側(cè)各懸掛質(zhì)量分別為m1和m2的物體，且m1m2，假設(shè)滑輪的質(zhì)量與細(xì)繩的質(zhì)量均略去不計(jì)，滑輪與細(xì)繩間的摩擦力以及輪軸的摩擦力亦略去不計(jì)。試求重物釋放后，物體的加速度和細(xì)繩的張力。（2）若將上述裝置固定在如圖2-4(b)所示的電梯頂部。當(dāng)電梯以加速度a 相對(duì)地面豎直向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求兩物體相對(duì)電梯的加速度和細(xì)繩的張力。解 (1)選取地面為慣性參考系，并作如圖2-4(a)所示的示力圖，考慮到可忽略細(xì)繩和滑輪

21、質(zhì)量的條件，故細(xì)繩作用兩物體上的力FT1、FT2，與繩的張力FT應(yīng)相等，即FT1=FT2=FT。又按圖示的加速度a，則根據(jù)牛頓第二定律，有聯(lián)立求解以上兩式，可得兩物體的加速度的大小和繩的張力分別為m1m2m1m2P2P1FTFTaam1m2m1m2P2P1FT1FT2a2a1(b)(a)圖2-5阿特伍德機(jī) (2)仍選取地面為慣性參考系，電梯相對(duì)地面的加速度為a，如圖2-5(b)所示，如以aT為物體1相對(duì)電梯的加速度，那么物體1相對(duì)地面加速度為a1= ar+a ，由牛頓第二定律，有按如圖所選的坐標(biāo)，考慮到物體1被限制在y軸上運(yùn)動(dòng)，且a1= ar-a。故上式為 (1) 由于繩的長(zhǎng)度不變，物體2相對(duì)

22、電梯的加速度的大小也是aT，物體2相對(duì)地面的加速度為a2，按如圖所選的坐標(biāo)，a2= ar+a。于是，物體2的運(yùn)動(dòng)方程為 (2)由式(1)和式(2)，可得物體1和2相對(duì)電梯的加速度的大小為 將上式代入式(1)，輕繩的張力為 例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在力的作用下，沿方向作直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于x0處，其速度為，求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位置。解 由牛頓第二定律 質(zhì)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則 作用力F是時(shí)間t的函數(shù)，用積分方法求得速度 由速度定義，則 得 例題3 質(zhì)量m，長(zhǎng)為l的勻質(zhì)鏈條，一部分置與桌面，另一部分下垂，下垂長(zhǎng)度為b，開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，如圖2-5所示，鏈條由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，已知鏈條與桌面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為

23、，求鏈條在滑離桌面的過(guò)程中任一位置時(shí)的速度大小。圖2-9 鏈條下滑示意圖解 取圖示坐標(biāo)系Oy軸豎直向下 當(dāng)鏈條下滑到下垂長(zhǎng)度為y時(shí)，鏈條的受力情況是：在桌面上鏈條受重力、桌面的支持力和桌面的摩察力，而下垂鏈條受重力的作用 對(duì)整根鏈條，由牛頓定律得 所以 對(duì)作變量變換，將變量t變換成為變量y：所以 分離變量積分 圖2-9(a)PvFrFB例4 （P42，例5）物體在粘滯液體中的運(yùn)動(dòng)的一質(zhì)量為m，半徑為r的球體，由水面靜止釋放沉入水中，計(jì)算豎直沉降的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。已知水對(duì)運(yùn)動(dòng)小球的粘滯阻力，式中b是與水的粘性、小球的半徑有關(guān)的一個(gè)常量。 解 如圖2-9（a）所示，球體在水中受到重力P、浮力

24、FB和粘滯阻力FT的作用，浮力FB的大小等于物體所排除的流體的重量，即FB=mg。粘滯阻力的大小為Fr，重力P與浮力FB的合力稱為驅(qū)動(dòng)力F0=P+FB，其大小為F0=P-FB= mg-mg，其方向與球體的運(yùn)動(dòng)方向相同，為一恒力。由牛頓第二定律，可得出球體的運(yùn)動(dòng)方程為 tvOF0/b圖2-9(b)即 （1）因此有 （2）由于球體是由靜止釋放，即t=0時(shí)，v0=0，故其速度是隨時(shí)間的增加而增加的；當(dāng)v=F0/b時(shí)，球體的速度才達(dá)到極限值。上式取分離量變量并積分，得 于是有 （3）按照式（3）的速度時(shí)間函數(shù)，可作如圖2-9（b）所示的圖線。 從式（3）和圖線可以看出，球體下沉速度隨時(shí)間的增加而增加；

25、當(dāng)t時(shí)， e(b/m)t0，這時(shí)下沉速度達(dá)到極限值vL=F0/b。實(shí)際上，下沉速度達(dá)到極限值并不需要無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間，當(dāng)t=3m/b時(shí)，e-(b/m)t= e-30.05，從式（3）可以看出，此時(shí)的下沉速度為這就是說(shuō)，下沉速度已達(dá)極限速度的95%。因此，一般認(rèn)為t3m/b時(shí)，下沉速度已達(dá)到極限 速度了，如t=5m/b，則vvL若球體落在水面上時(shí)具有豎直向下的速率v0，且在水中所受的浮力FB與重力P亦相等，即F0=FB+P=0，那么球體在水中僅受阻力F=bv的作用，則式（1）可寫(xiě)成 （4）tvOv0圖2-9(c)由題意可設(shè)時(shí)，上式取分離變數(shù)并積分，有積分后，可得 （5）球體在水中的速率與時(shí)間的關(guān)系如

26、圖2-9（c）所示。v0vetenFTOPAl圖2-6例5 （P39，例2）如圖2-6所示，長(zhǎng)為l的輕繩，一端系質(zhì)量為m的小球，另一端系于定點(diǎn)O，開(kāi)始時(shí)小球處于最低位置，若使小球獲得如圖所示的初速v0，小球?qū)⒃阢U直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。求小球在任意位置的速率及繩的張力。解 由題意知，在t=0時(shí)，小球位于最低點(diǎn)，速率為v0，在時(shí)刻t時(shí)，小球位于點(diǎn)A，輕繩與鉛直線成角，速率為v，此時(shí)小球受重力P和繩的拉力FT作用。由于繩的質(zhì)量不計(jì)，故繩的張力就等于繩對(duì)小球的拉力。由牛頓第二定律，小球的運(yùn)動(dòng)方程為 (1)為列出小球運(yùn)動(dòng)方程的分量式，我們選取自然坐標(biāo)系，并以過(guò)點(diǎn)A與速度v同向的軸線為et軸，過(guò)點(diǎn)A指向圓心

27、O的軸en軸，那么式（1）在兩軸上的運(yùn)動(dòng)方程分量式分別為由變速圓周運(yùn)動(dòng)知，an為法向加速度，at為切向加速度，。這樣上面兩式為 （2） （3）式（3）中 由角速度定義式 =d /dt以及角速度與線速度之間的關(guān)系式v=l，上式為 于是式（3）可寫(xiě)成 上式積分，并注意初始條件有 得 （4）把上式代入式（2），得 （5）從式（4）可以看出，小球的速率與位置有關(guān)，即v()，所以，小球作變速率圓周運(yùn)動(dòng)。例6 如圖2-7（a）所示（圓錐擺），長(zhǎng)為l的細(xì)繩一端固定在天花板上，另一端懸掛質(zhì)量為m的小球，小球經(jīng)推動(dòng)后，在水平面內(nèi)繞通過(guò)圓心O的鉛直軸作角速率為勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。問(wèn)繩和鉛直方向所成的角度 為多少？空氣

28、阻力不計(jì)。圖2-7(a)lrO解 小球受重力P和繩的拉力FT作用，其運(yùn)動(dòng)方程為 （1）式中a為小球的加速度。由于小球在水平面內(nèi)作線速率為的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，過(guò)圓周上任意點(diǎn)A取自然坐標(biāo)系，其軸線方向的單位矢量分別為en和et小球的法向加速度的大小為，而切向加速度，且小球在任意位置的速度v的方向均與P和FT所成的平面垂直。因此，按圖2-7（b）所選的坐標(biāo)，式（1）的分量式為 和 由圖知，故由上兩式，得 及 得 可見(jiàn)，當(dāng) 越大時(shí)，繩與鉛直方向所成的夾角 也越大。據(jù)此道理制作蒸汽機(jī)的調(diào)速器。思考題 總結(jié)應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)向題的一般步驟和方法。*2-5 力學(xué)相對(duì)性原理 慣性系和非慣性系1. 非

29、慣性系從第2-1節(jié)關(guān)于慣性參考系的討論中已經(jīng)知道，牛頓定律只適用于慣性系，而相對(duì)慣性系作加速運(yùn)動(dòng)的參考系，牛頓定律則是不適用的。這種相對(duì)慣性系作加速運(yùn)動(dòng)的參考系就是非慣性系。相對(duì)地面加速運(yùn)動(dòng)的火車、升降機(jī)以及旋轉(zhuǎn)的圓盤(pán)等都是非慣性系。xOmma0a0圖2-10 慣性力為了方便地求解非慣性系中的力學(xué)問(wèn)題，我們引入慣性力，如圖2-10所示的加速火車，當(dāng)車以加速度a0沿Ox軸正向運(yùn)動(dòng)。如果我們?cè)O(shè)想作用在質(zhì)量為m的小球上有一個(gè)慣性力，并認(rèn)為這個(gè)慣性力為Fi=-ma0，那么對(duì)火車這個(gè)非慣性參考系也可應(yīng)用牛頓第二定律了，這就是說(shuō)，對(duì)處于加速度為a0的火車中的觀察者來(lái)說(shuō)，他認(rèn)為有一個(gè)大小等于ma0， 方向與

30、a0相反的慣性力作用在小球上。2. 非慣性系中牛頓第二定律的表達(dá)式一般來(lái)說(shuō)，如果作用在物體上的力含有慣性力Fi，那么牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 （2-9）或 式中a0是非慣性系相對(duì)慣性系的加速度，a是物體相對(duì)非慣性系的加速度，F(xiàn)是物體所受到的除慣性力以外的合外力。例題 （P46，例2）在如圖2-14所示的車廂內(nèi)，一根質(zhì)量可略去不計(jì)的細(xì)棒，其一端固定在車廂的頂部，另一端系一小球，當(dāng)列車以加速度a行駛時(shí)，細(xì)桿偏離豎直線成角，試求加速度a與擺角間的關(guān)系。xOOa圖2-12 加速運(yùn)動(dòng)的車廂yPFiFT 解 設(shè)以加速度a運(yùn)動(dòng)的車廂為參考系，此參考系為非慣性系，在此非慣性系中的觀測(cè)者認(rèn)為，當(dāng)細(xì)棒的擺角為時(shí)

31、，小球受到的重力P、拉力FT和慣性力Fi= ma的作用。由于小球處于平衡狀態(tài)，所以有如下方程： 上式在Ox軸Oy軸上的分量式則為解得 3. 離心力下面介紹慣性離心力的概念，在水平放置的轉(zhuǎn)臺(tái)上，有輕彈簧系在細(xì)繩中間，細(xì)繩的一端系在轉(zhuǎn)臺(tái)中心，另一端系一質(zhì)量為m的小球，設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)平面非常光滑，它與小球和彈簧的摩擦力均可略去不計(jì)。轉(zhuǎn)臺(tái)可繞垂直于轉(zhuǎn)臺(tái)中心的豎直軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，有兩個(gè)觀察者，一個(gè)站在地面上（處在慣性系中），另一個(gè)相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止并隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)（處在非慣性中）。當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，站在地面上的觀察者觀察到彈簧被拉長(zhǎng)。這時(shí)，繩對(duì)小球作用的力為指向轉(zhuǎn)臺(tái)中心的向心力F。力F的大小為ml2。從牛頓第二定律來(lái)說(shuō)

32、，這一點(diǎn)是很好理解的，在向心力作用下，小球作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。而相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止的另一個(gè)觀察者，雖也觀察到彈簧被拉長(zhǎng)，有力F沿向心方向作用在小球上，但小球卻相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止不動(dòng)，這就不好理解了，為什么有力作用在小球上，小球卻靜止不動(dòng)呢？于是這個(gè)觀察者認(rèn)為，要使小球保持平衡的事實(shí)仍然遵從牛頓第二定律，就必須想像有一個(gè)與向心力方向相反、大小相等的力作用在小球上，這個(gè)力Fi叫做慣性離心力，應(yīng)當(dāng)注意，向心力和慣性離心力都是作用在同一小球上的，它們不是作用力和反作用力，也就是說(shuō)，它們不服從牛頓第三定律。思考題（1）什么是慣性力？如何確定慣性力的大小和方向？（2）在非慣性系中引入慣性力后，牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式是

33、什么？式中各物理量的含義是什么?補(bǔ)充：牛頓（配照片）牛頓（Issac Newton， 1643-1727），杰出的英國(guó)物理學(xué)家，經(jīng)典物理學(xué)的奠基人，他的不朽巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理總結(jié)了前人和自己關(guān)于力學(xué)以及微積分學(xué)方面的研究成果，其中含有牛頓三條運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，以及質(zhì)量、動(dòng)量、力和加速度等概念。在光學(xué)方面，他說(shuō)明了色散的起因，發(fā)現(xiàn)了色差及牛頓環(huán)，他還提出了光的微粒說(shuō)。物理學(xué)中四種最基本的相互作用。力是物體間的相互作用，目前所知道的基本相互作用有四種，即引力相互作用，電磁相互作用，弱相互作用和強(qiáng)相互作用。引力相互作用是存在于任何兩個(gè)物體之間的吸引力；電磁相互作用從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是運(yùn)動(dòng)電荷間產(chǎn)

34、生的；弱相互作用是產(chǎn)生于放射性衰變過(guò)程和其他一些“基本”粒子衰變等過(guò)程之中的；強(qiáng)相互作用則能使像質(zhì)子、中子這樣一些粒子集合在一起。弱相互作用和強(qiáng)相互作用是微觀粒子間的相互作用?，F(xiàn)在我們常遇到的力，如重力、摩擦力、彈性力、庫(kù)侖力、安培力、分子力、原子力、核力等等，都可歸結(jié)為這四種基本相互作用。然而這四種相互作用的范圍即力程是不一樣的。萬(wàn)有引力作用和電磁作用的作用范圍，原則上講是不限制的，即可達(dá)無(wú)限遠(yuǎn)；強(qiáng)相互作用范圍為10-15m；而弱相互作用的有效作用范圍僅為10-18m。這四種力的強(qiáng)度相差也很大，如以距源10-15m處強(qiáng)相互作用的力強(qiáng)度為1，則其它力的相對(duì)強(qiáng)度分別為：電磁力是10-2，弱相互作用力是10-13，萬(wàn)有引力僅是10-38，由此可見(jiàn)，萬(wàn)有引力的強(qiáng)度是這四種相互作用中強(qiáng)度最弱的一種，而且相差懸殊。因此，通常在論及電磁力時(shí)，如不特別指明，萬(wàn)有引力所產(chǎn)生的影響可以略去不計(jì)。長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)物理理論的歸納綜合進(jìn)行了深入探索，能否找到上面所講的四種基本相互作用之間的聯(lián)系呢？這是一次更深刻更基本的綜合，許多物理學(xué)家為此進(jìn)行了不懈的努力。1967-1968年溫伯格（S. Weinberg, 1933-）薩拉姆(A.Salam, 1926-)和格拉肖(S. L.Glashow, 1932-)提出一個(gè)理論，把弱相互作用與