7 容斥原理之最值問(wèn)題.學(xué)生版

1、7-7-5.容斥原理之最值問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1.了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2.掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用知識(shí)要點(diǎn)一、兩量重疊問(wèn)題在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成：ABABAB(其中符號(hào)“”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)“”:讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思)則稱這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱容斥原理圖示如下A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：A部分，B表示大圓部

2、分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：A1先包含ABB，即陰影面積圖示如下:A表示小圓B，即陰影面積重疊部分A包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A、B的并集AB計(jì)算了2次，多加了1次；B的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合A、B的元素個(gè)數(shù)，然后加起來(lái)，即先求AB(意思是把A、B的一切元素都“包含”進(jìn)來(lái)，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去CAB(意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù))二、三量重疊問(wèn)題A類、B類與C類元素個(gè)數(shù)的總和A類元素的個(gè)數(shù)B類元素個(gè)數(shù)C類元素個(gè)數(shù)既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)同時(shí)是A類、

3、B類、C類的元素個(gè)數(shù)用符號(hào)表示為：ABCABCABBCACABC圖示如下：7-7-5.容斥原理之最值問(wèn)題.題庫(kù)學(xué)生版page1of4圖中小圓表示A的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示B的元素的個(gè)數(shù)，1先包含：ABC重疊部分AB、BC、CA重疊了2次，多加了1次2再排除：ABCABBCAC在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來(lái)幫助分析思考例題精講【例1】“走美”主試委員會(huì)為三八年級(jí)準(zhǔn)備決賽試題。每個(gè)年級(jí)12道題，并且至少有8道題與其他各年級(jí)都不同。如果每道題出現(xiàn)在不同年級(jí)，最多只能出現(xiàn)3次。本屆活動(dòng)至少要準(zhǔn)備道決賽試題?！纠?】將113這13個(gè)數(shù)字分別填入如圖所示的由四個(gè)大小相同的圓分割成的

4、13個(gè)區(qū)域中，然后把每個(gè)圓內(nèi)的7個(gè)數(shù)相加，最后把四個(gè)圓的和相加，問(wèn)：和最大是多少？【例3】如圖，5條同樣長(zhǎng)的線段拼成了一個(gè)五角星如果每條線段上恰有1994個(gè)點(diǎn)被染成紅色，那么在這個(gè)五角星上紅色點(diǎn)最少有多少個(gè)?【例4】某班共有學(xué)生48人，其中27人會(huì)游泳，33人會(huì)騎自行車，40人會(huì)打乒乓球那么，這個(gè)班至少有多少學(xué)生這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)？7-7-5.容斥原理之最值問(wèn)題.題庫(kù)學(xué)生版page2of4【鞏固】某班有50名學(xué)生，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有23人，參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有20人，每人最多參加兩科，那么參加兩科的最多有人【鞏固】60人中有的人會(huì)打乒乓球，的人會(huì)打羽毛球，的人會(huì)打排球，這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)

5、都會(huì)的人有22人，234345問(wèn)：這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不會(huì)的最多有多少人？【例5】圖書室有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名已知這100本書中有甲、乙、丙簽名的分別有33，44和55本，其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書為29本，同時(shí)有甲、丙簽名的圖書為25本，同時(shí)有乙、丙簽名的圖書為36本問(wèn)這批圖書中最少有多少本沒(méi)有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過(guò)?【鞏固】甲、乙、丙都在讀同-一本故事書，書中有100個(gè)故事每個(gè)人都從某一個(gè)故事開(kāi)始，按順序往后讀已知甲讀了75個(gè)故事，乙讀了60個(gè)故事，丙讀了52個(gè)故事那么甲、乙、丙3人共同讀過(guò)的故事最少有多少個(gè)?【例6】某數(shù)學(xué)競(jìng)賽共160人進(jìn)入決賽，決賽共四題，做對(duì)第一題的有

6、136人，做對(duì)第二題的有125人，做對(duì)第三題的有118人，做對(duì)第四題的有104人。在這次決賽中至少有_得滿分。7-7-5.容斥原理之最值問(wèn)題.題庫(kù)學(xué)生版page3of4【例7】某班有46人，其中有40人會(huì)騎自行車，38人會(huì)打乒乓球，35人會(huì)打羽毛球，27人會(huì)游泳，則該班這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的至少有人?！纠?】在陽(yáng)光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水，已知甲澆了30盆，乙澆了75盆，丙澆了80盆，丁澆了90盆，請(qǐng)問(wèn)恰好被3個(gè)人澆過(guò)的花最少有多少盆？【鞏固】甲、乙、丙同時(shí)給100盆花澆水已知甲澆了78盆，乙澆了68盆，丙澆了58盆，那么3人都澆過(guò)的花最少有多少盆?【鞏固】在陽(yáng)光明媚的一天下午，甲、