線性代數(shù)教案43

1、二次型1本節(jié)主要內(nèi)容1. 二次型；2. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形；3. 慣性定理；4. 正定二次型.2二次型當(dāng)系數(shù)矩陣為實(shí)（復(fù)）矩陣時(shí)，上述二次型稱為實(shí)（復(fù)）二次型；定義：含有 個(gè)自變量 的二次齊次函數(shù)叫做二次型.其中 為對稱矩陣，稱為二次型的矩陣.二次型的矩陣的秩就是二次型的秩.思考：矩陣的元素與二次型各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系如何？兩者如何相互確定？3例題1 設(shè) 為任意 階矩陣，求證：二次型 的矩陣為注意： 并不一定表明 為二次型的矩陣，只有當(dāng) 為對稱矩陣的時(shí)候才是二次型的矩陣.例題2 求二次型 的矩陣，并求該矩陣的秩.例題3 求二次型 經(jīng)過線性變換之后的表達(dá)式.本例說明：一個(gè)二次型經(jīng)可逆線性變換后可以化為只含

2、平方項(xiàng)的二次型.4二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定義：只含平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.容易看出，標(biāo)準(zhǔn)形的二次型的矩陣是對角陣若二次型可以通過可逆線性變換 化為標(biāo)準(zhǔn)形，則就是尋找可逆矩陣 使得 為對角陣.5定義：設(shè) 為n階方陣，如果存在n階可逆矩陣 ，使得則稱矩陣 是合同的，稱矩陣 為合同變換矩陣.性質(zhì)：若 為對稱矩陣， 為一可逆矩陣， 則(1) 也是對稱矩陣；(2) .6慣性定理用不同的可逆線性變換所得到的標(biāo)準(zhǔn)形不同，這些標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)不一定就是二次型矩陣的特征值！但是這些標(biāo)準(zhǔn)形有共同的特點(diǎn)：非零項(xiàng)數(shù)相同（稱為慣性指標(biāo)或慣性指數(shù)），且非零項(xiàng)個(gè)數(shù)等于二次型矩陣非零特征值的個(gè)數(shù)（也等于該矩陣的秩）；正項(xiàng)個(gè)數(shù)相

3、同（稱為正慣性指標(biāo)或正慣性指數(shù)）且正項(xiàng)個(gè)數(shù)等于二次型矩陣正特征值的個(gè)數(shù).這個(gè)結(jié)論就是慣性定理.非零項(xiàng)個(gè)數(shù)就是二次型的秩，它等于二次型矩陣的秩，這就是我們定義二次型矩陣的秩為二次型秩的原因.7注意1：這里必須對得到的特征值進(jìn)行正交規(guī)范化，只有正交規(guī)范化后的向量組成的矩陣才是合同變換矩陣！注意2：變換關(guān)系是 ，其中 是變換之前的向量， 是變換之后的向量.定理：任給二次型 ， 為實(shí)對稱矩陣，其特征值設(shè)為 ，對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量為 ，令 則正交變換 使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形8例題4 求下列平面圖形所圍圖形的面積：9正定二次型與判定方法定義：設(shè)有實(shí)二次型 ，如果對任何 ，都有 ，則稱 為正定二次型，稱對稱矩陣

4、 是正定矩陣；如果對任何 ，都有 ，則稱 為負(fù)定二次型，稱對稱矩陣 是負(fù)定矩陣；如果對任何 ，都有 ，則稱 為半正定二次型，對稱矩陣 稱為半正定矩陣。正定二次型的判定定理：設(shè) 是實(shí)對稱陣，則下列命題等價(jià)：(1) 是正定二次型，即 是正定矩陣；(2) 的正慣性指標(biāo)（正慣性指數(shù)）為 ；(3)存在可逆矩陣 ，使得 ；(4) 的 個(gè)特征值 全大于零.10結(jié)論1：若 是正定矩陣，則 也是正定矩陣.結(jié)論2：(霍爾維茨定理)對稱矩陣 正定的充要條件是： 的各階順序主子式都為正.即 對稱矩陣 負(fù)定的充要條件是： 的奇數(shù)階順序主子式為負(fù)，偶數(shù)階順序主子式為正.即11例題5：判斷二次型是否為正定二次型.方法1：二次型矩陣的特征值全為正；方法2：二次型矩陣的各階順