2015考研數(shù)學(xué)微積分下課件

1、(2009-2010學(xué)年期未四、級(jí)數(shù)計(jì)算題 (6分)題)n判斷級(jí)數(shù) (1)n的斂散性,n2 1n1若收斂, 是絕對(duì)收斂還是條件收斂 .九、證明題 (4分)n 2nn 2n由級(jí)數(shù) n1 0 .證明 limn!n!n2P D Fc r e a t e dw i t hp da lv e r第八章 多元函數(shù)微積分學(xué)8.18.28.38.48.58.68.7預(yù)備知識(shí)多元函數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)與全微分多元復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法高階偏導(dǎo)多元函數(shù)的極值與最值二重積分38.1預(yù)備知識(shí) (空間幾何簡(jiǎn)介)一、空間直角坐標(biāo)系與空間中的點(diǎn)二、空間曲面與方程三、平面區(qū)域的概念4P D Fc r e a t e dw i

2、 t hp da lv e r一、空間直角坐標(biāo)系和空間中的點(diǎn)1、空間直角坐標(biāo)系在空間中任取一點(diǎn)O, 過(guò)點(diǎn)O 作三條互相垂直(兩兩垂直)的直線(xiàn)ox, oy, oz, 并按右手系規(guī)定ox, oy, oz的正向, 規(guī)定長(zhǎng)度, 這樣建立的坐標(biāo)系O xyz 稱(chēng)為空間(右手)直角坐標(biāo)系.通常按右圖放置.z坐標(biāo)原點(diǎn)O長(zhǎng)度yz 平面ox, oy, oz 分別稱(chēng)為x 軸(橫軸),y軸(縱軸), z 軸(立軸),統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸.每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸確定一個(gè)平面,稱(chēng)為坐標(biāo)平面: xy 平面、yz 平面、zx平面.zx 平面yOxy平面x三個(gè)坐標(biāo)平面將空間分成了八個(gè)部分, 稱(chēng)為八個(gè)卦限.5P D Fc r e a t e dw

3、 i t hp da l v e r2、空間中任一點(diǎn) P 的坐標(biāo)的確定在空間中任取一點(diǎn)P, 過(guò)點(diǎn)P 作三個(gè)垂直于坐標(biāo)軸的平面,y軸,它們分別與 x 軸,z軸交于點(diǎn) A, B, C ,zC設(shè)OA x,OB y,OC z,則點(diǎn)P有序數(shù)組 x, y, z一一對(duì)應(yīng)P稱(chēng)有序數(shù)組 x, y, z 為點(diǎn)P 的坐標(biāo),記為P ( x, y, z).點(diǎn)P 的坐標(biāo)也可以這樣確定: 過(guò)點(diǎn) P 作垂直于x y平面的直線(xiàn),交xy 平面于點(diǎn)Q( x, y),設(shè) QP z, 則點(diǎn)P 的坐標(biāo)為P( x, y, z).Byx AzPzyOyxQ ( x, y)x6P D Fc r e a t e dw i t hp da l v

4、 e rzyxO坐標(biāo)原點(diǎn)O (0, 0, 0)x 軸上的點(diǎn) ( x, 0, 0);y軸上的點(diǎn)(0, y, 0);z 軸上的點(diǎn)(0, 0, z),x y平面上的點(diǎn)( x, y, 0);zx平面上的點(diǎn)( x, 0, z).設(shè)點(diǎn) P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ),yz平面上的點(diǎn)(0, y, z);則| P1P2 |( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z 2) 2設(shè) P (x , y, z ),則| PO |x 2y 2z 27P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r!ijvhRwx5zhpqrstu,a

5、aa9M a;vA, y) 0)wx+wx(x)Z(x) 1=.(x),vA1wx, vA,wx5ijpqrstu ,(, y, z)&)iju1a$_,(x, y) Z( , y, z) 0, LF1_1_1rswx_Ua()iju1a$vh S .z f (x yzaa9M a$vhwxZ+wx( x, y), y, z) 0)S(, y, z)(x, y),vh1wx,yO(x, y)1=.vh,wxx8P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e rF (x) 0 的幾何意義:如 x 0,xOy的數(shù)軸上表示原點(diǎn) ,的平面坐標(biāo)系中表示 y 軸,的空間坐標(biāo)系中表示

6、 yz平面.在一在二在三xOzF (x, y) 0 的幾何意義:如 x y 0,yz平面yO的平面坐標(biāo)系中表示一條直線(xiàn),的空間坐標(biāo)系中表示一個(gè)平面.在二在三xzyyOOxx9P D Fc r e a t edw i t hp da l v e r常見(jiàn)的空間曲面1、平面:ax by cz d一般方程:a, b, c, d為常數(shù), a, b, c 不全為零.z如: x 1 0,y 1 0, x y 1, y z 1,x y z 1.zzy 1 0 x y 1x 1 01yOyO1y1x1xxzz11y z 1x y z 1y1yO1O1xx10P D Fc r e a t e dw i t hp

7、da lv e r2!jh:jh:r 2:g1jhO:+,kjh,+,lmjh.z2 2z2 2lmjhr 2ykjhyooxx113、二次曲面: (用截痕法研究形狀)三元二次方程a1 x 2 a2 y 2 a3 z 2 b1 xy b2 xz b3 yz c1 x c2 y c3z d所表示的空間曲面稱(chēng)為二次曲面,bi ,ci (i 1,2,3)其中ai和 d 均為常數(shù).z球面:( x a)2 ( y b)2 ( z c) 2 r 2(r 0)oyxz橢球面:y2x2z21a 2b2c2oy(a,b,c 0)x12P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e rz單

8、葉雙曲面:y2x 2z 2o1ya 2b2c2(a,b,c 0)xz雙葉雙曲面:y2x 2z 2 1oya 2b2c2(a,b,c 0)x13P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e rzzoz橢圓拋物面:yxy2x2 2zpqyOoyq 0 xx( p 與q同號(hào))p 0,q 0p 0,z雙曲拋物面:y2x2 2zpqoy( p , q 0)x俗稱(chēng)馬鞍面用截痕法可作出二次曲面的圖形.14P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e ry!zh|1NO_ P0 1 6|: N, y0 ), x y zhY1a$_, ,(X P0 ,k7 ,

9、891.kaD#,2 ( yy2 2D ( 0 ) (y, y) | ( x x0 )+,_ P0 1 6|.yy0PP(_P123W4RD,VWh4RD ).0P (0DDxx0 OOxO+_:, 5,5 0,N D7zhY1a_,-+_ P0 1,D 1+_.D (0._: d:_ Du16e_;7 D1+_, L+ D,._./0_: 5_ P 16a6|+3O_ D+1_, 5Oh4R D 1_, L+_ P 7 D 1/0_.15P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r邊界: 點(diǎn)集D 的邊界點(diǎn)全體稱(chēng) D的邊界.連通區(qū)域:設(shè)D是一個(gè)開(kāi)集, 若對(duì)D內(nèi)任意

10、兩點(diǎn),總可用D內(nèi)的有限段折線(xiàn)連接起來(lái), 則稱(chēng)開(kāi)集 D 是連通的.連通的開(kāi)集也稱(chēng)為連通區(qū)域簡(jiǎn)稱(chēng)(開(kāi))區(qū)域.(如若在此區(qū)域充進(jìn)水,則水在此區(qū)域的即是連通的)是暢通無(wú)阻的,閉區(qū)域: 區(qū)域與區(qū)域邊界的集合.有界區(qū)域、區(qū)域若存在正數(shù) R ,使得 D DR (O ), 則稱(chēng) D為有界區(qū)域;否則, 稱(chēng)D區(qū)域.16P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r不連通連通y例如:( x, y) | 1 x 2 y2 4 是有界閉區(qū)域,o12x(x , y) | x y 0 是開(kāi)區(qū)域.yoxx y 017P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r第八章多

11、元函數(shù)微積分學(xué)8.18.28.38.48.58.68.7預(yù)備知識(shí)多元函數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)與全微分多元復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法高階偏導(dǎo)多元函數(shù)的極值與最值二重積分188.2多元函數(shù)的概念一、二元函數(shù)的定義與幾何意義二、二元函數(shù)的極限三、二元函數(shù)的連續(xù)性19P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r一、二元函數(shù)的定義與幾何意義定義: 設(shè)D是一個(gè)平面點(diǎn)集, 若對(duì)于D 內(nèi)每個(gè)點(diǎn)P( x, y), 變量z 按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則 f 都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng),則稱(chēng) f 是定義在 D 上的二元函數(shù), 記為z f ( x, y),x, y 稱(chēng)為自變量,z為因變量.這里, D

12、稱(chēng)為定義域, 記為Df ,二元函數(shù)有兩個(gè)自變量, 其定義域是 xy 平面上的一個(gè) ( x, y) | ( x, y) D .平面區(qū)域: Df類(lèi)似地可定義一般的n 元函數(shù) y f (n ),當(dāng)n 2 時(shí),n元函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為多元函數(shù).多元函數(shù)同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念.20P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r二元函數(shù)的圖形定義: 設(shè)函數(shù)z f (x, y)的定義域?yàn)镈,D中的點(diǎn)P( x, y),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為z f ( x, y), 這樣, 就確定了以 x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)、z 為豎坐標(biāo)的空間中的一個(gè)點(diǎn)M( x, y, z),當(dāng)P 取遍 D上的一切

13、點(diǎn)時(shí), 得到一個(gè)空間點(diǎn)集:(x, y, z ) | z f (x, y),( x, y) D, 這個(gè)點(diǎn)集稱(chēng)為二元函數(shù)的圖形,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.二元函數(shù)的幾何意義就是表示中的一張曲面, 曲面在xy三平面上的投影就是函數(shù)的定義域.21P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r例題與講解例1: 求下列函數(shù)的定義域:(1) z x2 y2 x y2解: D ( x, y)| x R, y R ,即為整個(gè)xy平面.yf ( x, y) 1(2)ln( x y)x y 1解: D ( x, y) | x y 1oxz 1 x 2 y2 1(3)ln(2 x2 y

14、2 )y解: D ( x, y) | 2 x2 y2 0且 2 x2 y2且 x2 y2 1 0 ( x, y)| 1 x2 y2 2 1o1x222P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e rx2 y2 423二、二元函數(shù)的極限描述性定義:當(dāng)二元函數(shù) z f (x, y)定義域Df 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x, y)無(wú)限趨近定點(diǎn)P0 (x0 , y0 ) (且(x, y) ( x0, y0) ) 時(shí), 相應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近某確定的常數(shù)A, 則稱(chēng)當(dāng)( x, y) ( x0 , y0 )時(shí),(f以A)y為極限, 記為z函數(shù),x或 lim f (x, y) A.f (x, y)

15、Alim( x, y)( x0 ,y 0 )x x0 y y024P D Fc r e a t e dw i t hp dal v e r注意: 在一元函數(shù)的極限 limf (x) 中, 自變量只要沿x軸從x x0左右兩個(gè)方向趨向于x0 時(shí), 函數(shù)值變化趨勢(shì)一致就夠了.x0 xlimf ( x, y),而對(duì)于二元函數(shù)的極限( x , y )( x0 , y0 )y動(dòng)點(diǎn) P( x, y) 定點(diǎn) P0 ( x0 , y0 )的方式是 P多種多樣的,路徑可以是千姿百態(tài)的,P 所謂極限存在是指當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于0 xO定點(diǎn)時(shí), 函數(shù)都趨于同一常數(shù)這是與一元函數(shù)極限的本質(zhì)區(qū)

16、別.25P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r二元函數(shù)極限的分析定義定義: 設(shè)函數(shù) z f (x, y)的定義域?yàn)镈, 若對(duì)于任給定的 0,總存在正數(shù) , 使得對(duì)于適合不等式0 ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 ,f ( x, y) A | 成立,的一切點(diǎn)(x, y) , 恒有|則稱(chēng)當(dāng)P( x, y) P0 ( x0 , y0 )時(shí),f (x, y)以A為的極限,f ( x, y) Alim記為( x, y)( x0 ,y 0 )f ( x, y ) A( 0)或26P D Fc r e a t e dw i t hp da l v er例題與講解例

17、2: 求下列極限xlim(1)( x, y )(0,5) sin xy xy 1 x limy lim解:( x , y )(0,5) sin xysin xy( x , y )(0,5) xy 1y 1 1 1limlim5( x , y )(0,5) sin xy ( x , y )(0,5)5xy2(2)lim( x , y )(0,0)22x yy2y2解:當(dāng)( x, y) (0,0) 時(shí), 0 1,即是有界變量,x2y2 0 .x 2y2xy2x 0,lim( x, y )(0,0)lim( x, y )(0,0)又22x y27P D Fc r e a t e dw i t hp

18、da l v e r例題與講解xy(x, y) (0,0)(x, y) (0,0),f ( x, y) 2y2例3: 設(shè)x0,當(dāng)(x , y ) (0,0)時(shí),f ( x, y) 的極限是否存在.kx2xy limf ( x, y) 解:lim( x, y )(0,0)y kxlim( x , y )(0,0)x2y2x 2 k 2 x2x 0 k ,k 不同,它不同,1 k 2f (x, y) 的極限不存在.當(dāng)( x, y) (0,0) 時(shí),對(duì)于二元函數(shù)其它極限趨向可類(lèi)似定義,二元以上的函數(shù)極限也類(lèi)似.28P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r三、二元函數(shù)

19、的連續(xù)定義：設(shè)二元函數(shù) z f (x, y)在點(diǎn)P0 (x0 , y0 )某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,f (x , y) limf ( x0 , y0)若( x , y )( x0 , y0 )則稱(chēng) z f (x, y) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 處連續(xù),稱(chēng)點(diǎn)P0 (x0 , y0 )為 f (x, y) 的連續(xù)點(diǎn),否則稱(chēng) z f (x, y)在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 處間斷,稱(chēng)點(diǎn)P0 (x0 , y0 )為 f (x, y) 的間斷點(diǎn).給x在點(diǎn)x0 以 x, 給y 在點(diǎn)y0 以 y, 則 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ),f (x, y) 在點(diǎn)P0 (x0

20、 , y0 )處連續(xù)lim z 0 . x0 y0所以z 29P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r例題與講解例4:下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的連續(xù)性:xy 2(x , y ) (0,0)(x , y ) (0,0),在點(diǎn)(0,0) 處.(1)f (x, y) x y220,2xyf (x, y) 解: 0 f (0,0)limlim( x , y )(0,0)x 2y2( x , y )(0,0) f (x, y) 在點(diǎn)(0,0)處連續(xù).xy(x , y ) (0,0),(2)y20,f (x, y) 2在點(diǎn)(0,0) 處.x(x , y ) (0,0)xy 不存在,解: f (x, y) lim( x , y )(0,0)limx 2y2( x, y )(0,0) f (x, y) 在點(diǎn)(0,0) 處間斷.30P D Fc r