插值法綜述《計算方法》學習報告

1、插值法綜述一、插值法及其國內(nèi)外研究進展插值法簡介插值法是一種古老的數(shù)學方法，它來自生產(chǎn)實踐，早在一千多年前，我國科學家在研究歷法上就應用了線性插值與二次插值， 但它的基本理論卻是在微積分產(chǎn)生之后才逐漸完善的，其應用也日益增多，特別是在計算機廣泛使用之后，由于航空、機械加工、自動控制等實際問題的需要，使插值法在實踐和理論上都顯得更為重要，并得到了空前的發(fā)展。國內(nèi)外研究進展插值法在預測地基沉降的應用 插值法在不排水不可壓縮條件下兩相介質(zhì)的兩重網(wǎng)格算法的應用 拉格朗日插值法在地震動的模擬研究中的應用插值法在結(jié)構(gòu)抗震可靠性分析中的應用 插值法在應力集中應變分布規(guī)律實驗分析中的應用代表性文獻不等時距 G

2、M(1%2c1) 模型預測地基沉降研究秦亞瓊 武漢理工大學學報(交通科學與工程版) 2008.2不排水不可壓縮條件下兩相介質(zhì)的兩重網(wǎng)格算法牛志偉 巖土力學 2008.3基于拉格朗日插值法的地震動的模擬 白 可 山西建筑 2010.10響應表面法用于結(jié)構(gòu)抗震可靠性分析 張文元 世界地震工程1997小議應力集中應變分布規(guī)律的實驗方法查瓏瓏淮海工學院學報（自然科學版）2004.6、插值法的原理設有n+1個互不相同的節(jié)點（Xi , yi ）（i=0, 1, 2,n）則存在唯一的多項式: TOC o 1-5 h z Ln(x)=a0a1x a2x2 . anxn(1)使得 Ln(Xj) =yj(j =0

3、,1,2,.n)證明：構(gòu)造方程組2,2 , na。+&%+a?xo +. + anx0 = y.2 , n產(chǎn)。+&為+a2” + anX =y iHinni1a0 +&xn +a2xn2 +. +anxnn = 丫口令：A二一11方程組的矩陣形式如下：AX =Yn n 4由于|A=r口（x-xj）#0所以方程組（4）有唯一解i 1 j =0從而 Ln(x) =a0+ax+a2x2+. + anxn 唯一存在。三、常用插值法Lagrange 插值法Lagrange插值法的一般提法n x - xjn j z0 xi - xj給定(為，f (Xi) (i =0,1，n),多項式nnn(x)yili(

4、x) =、yi Oi稱為f (x)關于x0, x1，xn的n次Lagrange插值多項式。Lagrange插值多項式的構(gòu)造已知n+1個節(jié)點(xj, yj) (j =0,1,| n,其中xj互不相同，不妨設a =xo|h xn =b),要求形如：Pn(x) =anxn +an4xn+ax +ao的插值多項式。若n次多項式lj (x) (j =0,1,|, n)在n+1個節(jié)點 x | AbsolutePointSize18;InterpolationA,InterpolationOrder-3g2=Plot%x,x,0,0.8Showg1,g2N%0.12,20N%0.72,20Nf0.12,20

5、Nf0.72,203.1.4 Lagrange插值法典型例題及其解法已知3/27 = 3，麻 =4,3/125=5 ,構(gòu)造二次拉格朗日插值多項式(1)計算 3A00 ;(2)估計誤差并與實際誤差相比較。解(1)以插值點(27,3), (64,4), (125,5)代入插值公式，得222(x) = yili(x) = yi i =0 i =02x -x.n - j=0 xi -xj d#i(x-64)(x-125)3 , (x-27)(x-125)4 , (x-27)(x-64)5(27 -64)(27 -125)(64 -27)(64 -125)(125-27)(125 -64).3100 ：

6、 2(100)(100-64)(100-125)(27 -64)(27 -125)3 . (100-27)(100-125) 4. (100-27)(100-64) 5(64-27)(64 -125)(125-27)(125-64)=4.68782(2)由誤差公式有f()R(x)(x-27)(x-64)(x-125)3!8記 f(x) =3x, f (3)(x) =10 x 3, f (3)(x)在27, 125上是單調(diào)遞減函數(shù)f(3) (x) f (3)(27)定 5.64503父10一5R(100尸f(3)(96( )(100 27)(10064)(100125) % 0.618131實際

7、誤差:V100 %(100) =0.04623。3.1.5 Lagrange插值法誤差估計f (n 1)( -) nRn(x) = f (x) -Ln(x)(x-Xj),(a, b)(n 1)! j=0M nf8 Mn|Rn(x)|2 )=+ + 即、-布+ % x?_fx1 卜 f x0 -0-= fx0,x1x,x_10fc 一 f c f ; f c2010 x - x x - x一2一010則引入記號：f =fx 2 x xk kx2 x1fcfc f，f22.0_f x ,x/ x c 0,12fx0,x2 卜 f 乂04 1 _ x2-x0 xfx 0依次遞推可得達式： fx ,x

8、 , .x 0 I kx2 一 x1x2 一 x1fx0，x1，xk_ 2xk，_fx 0 x 1，xkL 1_|xk -xk -1ak的一般表3.1.3 Newton插值法的程序設計x0,x1,x2,x3,x4=10,11,12,13,14;yk_:=LogxkTableyk,k,0,4/N;MatrixForm%fi_,j_:=(yj-yi)/(xj-xi)Tablefi,i+1,i,0,3/N;MatrixForm%fi_,j_,k_:=(fj,k-fi,j)/(xk-xi)Tablefi,i+1,i+2,i,0,2/N;MatrixForm%fi_,j_,k_,l_:=(fj,k,l-

9、fi,j,k)/(xl-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i,0,1/N;MatrixForm%fi_,j_,k_,l_,m_:=(fj,k,l,m-fi,j,k,l)/(xm-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i+4,i,0,0/N;MatrixForm%A=y0,y1,y2,y3,y4,0,f0,1,f1,2,f2,3,f3,4,0,0,f0,1,2,f1,2,3,f2,3,4,0,0,0,f0,1,2,3,f1,2,3,4,0,0,0,0,f0,1,2,3,4;TransposeA/N;MatrixForm%a0=y0;a1=f0,1;a2=f0,1,2;a3=f

10、0,1,2,3;a4=f0,1,2,3,4;Nx=Sumak*ProductKx-xm),m,0,k-1,k,0,4/NExpand%Newton插值法典型例題及其解法已知函數(shù)f(x)的函數(shù)表如下：x0.400.550.650.800.901.05yi0.410 750.578 150.696 750.888 111.026 521.253 82求四次牛頓插值多項式，并由此求 f (0.596 )的近似值。分析 表中給出六對數(shù)據(jù)，故最高可構(gòu)造五次多項式。但由于 0.596接近于Xo=0.40,因此可取前五對數(shù)據(jù)來做差商表。解構(gòu)造差商表如下：Xif (Xi )一階差商二階差商三階差商四階差商0.

11、400.410 750.550.578 151.116 000.650.696 751.186 000.280 000.800.888 111.275 730.358 930.197 330.901.026 521.384 100.433 480.213 000.031 34故四次牛頓插值多項式為P4 x )=0.41075 1.11600 x - 0.40.28000 x - 0.4 x - 0.550.19733 x-0.4 x -0.55 x -0.650.03134 x - 0.4 x -0.55x -0.65 x -0.80于是 f0.596 戶P4(0.596)= 0.631 95

12、。Newton插值法誤差估計Rn(x)”x) - Nn(xn th)=t(t 1)|l|(t n)hn 1f(n 1)(n 1)!其中(x0,xn).四、插值法的比較Lagrange插值是利用基函數(shù)方法構(gòu)造的插值多項式，在理論上十分重要，但計算 不太方便。基函數(shù)方法是將插值問題劃歸為特定條件下容易實現(xiàn)的插值問題，本質(zhì)上是 廣義的坐標系方法。Newton插值在計算插值多項式及求解函數(shù)近似值都比較方便且計 算量相對較小，是求函數(shù)近似值常用的方法，尤其是等距節(jié)點的差分插值公式最為常用。五、插值法在結(jié)構(gòu)工程專業(yè)的應用案例.案例敘述應用Matlab求解水道測量數(shù)據(jù)問題摘要：水道測量數(shù)據(jù)問題是一個給定數(shù)據(jù)

13、散亂、隨機分布的二維離散數(shù)據(jù)的插值問 題。本文以水道測量數(shù)據(jù)問題為例，應用 Matlab軟件提供的求解三維網(wǎng)格點數(shù)據(jù)的函 數(shù)，對求解決給定數(shù)據(jù)散亂、隨機分布的二維離散數(shù)據(jù)插值問題，給出了一個簡便易行 的方法。問題重述水道測量數(shù)據(jù)問題是1986年美國大學生數(shù)學建模競賽的 A題，由加州海軍研究生 院數(shù)學系的Richard Franke提供。問題如下：在某海域測得一些點（x, y）處的水深z （單位：英尺）由表1給出，水深數(shù)據(jù)是 在低潮時測得的。船的吃水深度為 5英尺，問在矩形區(qū)域（75, 200）M（-50, 150）里 的哪些地方船要避免進入。表1水道水深測量數(shù)據(jù)（單位：英尺）x129.0140

14、.0108.588.0185.5195.0105.5y7.5141.528.0147.022.5137.585.5z4868688x157.5107.577.081.0162.0162.0117.5y-6.5T1.03.056.5-66.584.038.5z9988949.案例解法假設與問題分析由題目給出的信息是很少的，除了 14個位置的水深之外一無所知。顯然，題目要求我們找出水深不到5英尺的區(qū)域。為了討論方便，下面三個假設是合理的：1）所給數(shù)據(jù)是精確的；2）討論區(qū)域的海底曲面是光滑的，更確切地說，可以認為曲面的一階、二階導數(shù) 是連續(xù)的。因為我們可以認為討論區(qū)域為淺水海域，由于長期的海水水流作

15、用，形成的是以礫石或沙為主要組成部分的海底，不存在珊瑚礁、水底峽谷、山脊等不可意料的突 變地形。3)水深是一個按區(qū)域來劃分的變量， 在某個位置的水深與其周圍區(qū)域的水深是相互依賴的，但這種依賴作用隨距離的增大而減小。就我們討論的問題來說，每一個給定 數(shù)據(jù)點影響周圍的每一個未知點，一個給定數(shù)據(jù)點離未知點越近，作用就越大。根據(jù)假設，海底曲面是連續(xù)光滑的，不存在珊瑚礁、水底峽谷、山脊等不可意料的突變地形，因而很自然的想法就是用某種光滑的擬合曲面去逼近已知的 14個數(shù)據(jù)點或 以14個已知的數(shù)據(jù)點為基礎，利用二維插值補充一些點的水深，以求得水深不超過 5 米的區(qū)域。問題求解題目中2&定的14個已知數(shù)據(jù)點，

16、是一組散亂、隨機分布的二維離散數(shù)據(jù)集合，一般首先采用改進的Shepard方法，從給定的數(shù)據(jù)恢復出規(guī)則分布點上的數(shù)據(jù)，然后再應用雙三次樣條插值或其它的二維數(shù)據(jù)插值方法來處理。然而，利用 Matlab中求解三維網(wǎng)格點數(shù)據(jù)的函數(shù)griddata ,卻可直接對散亂、隨機分布的二維離散數(shù)據(jù)進行插值。函數(shù)griddata的調(diào)用格式為：xi, yi, zi = griddata(x, y, z, xi, yi, v4),其返回與向量x、y和z所描述的數(shù)據(jù)點集合相匹配的表面f(x, y)上網(wǎng)格點的z坐標矩陣zi。函數(shù)griddata在點(xi, yi)處對表面函數(shù)f(x, y)進行插值，從而得到zi的值。在此

17、，我們采用求解三維網(wǎng)格點數(shù)據(jù)的函數(shù)griddata ,對題目中給出的二維離散數(shù)據(jù)集合進行插值，作出矩形區(qū)域(75, 200) X (-50, 150)范圍內(nèi)的海底地形圖、水深不超過5米的危險區(qū)域的海底地貌圖、矩形區(qū)域(75, 200) x (50, 150)范圍內(nèi)的海底等高線圖以及水深不超過 5米的危險區(qū)域的平面圖，并求出水深不超過5米的危險海域范圍為：113.75, 200 x0, 100。問題求解的Matlab程序及運行結(jié)果附后。.求解案例的程序設計求解水道測量數(shù)據(jù)問題的Matlat程序clear;x = 129, 140, 108.5, 88, 185.5, 195, 105.5, 15

18、7.5, 107.5, 77, 81, 162, 162, 117.5;y = 7.5, 141.5, 28, 147, 22.5, 137.5, 85.5, -6.5, -81, 3, 56.5, -66.5, 84,-38.5;z = -4, -8, -6, -8, -6, -8, -8, -9, -9, -8, -8, -9, -4, -9;nx = 100;px = linspace(75, 200, nx);ny = 200;py = linspace(-50, 150, ny);xi, yi = meshgrid(px, py);xi, yi, zi = griddata(x, y

19、, z, xi, yi, v4);figure(1), meshc(xi, yi, zi+5);title(75, 200), (-50, 150)范圍內(nèi)的海底地形圖);rotate3dfigure(2), contour(xi, yi, zi);title(75, 200), (-50, 150)范圍內(nèi)的海底等高線圖);gridfigure(3), contour(xi, yi, zi, -5 -5);title(水深不超過5米的危險區(qū)域的平面圖)；grida, b = find(zi=-5);amin = min(a);amax = max(a);bmin = min(b);bmax = max(b);xmin = 75+(200-75)/100)*bminxmax = 75+(200-75)/100)*bmaxymin = -5