高中數(shù)學(xué)必修二 7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義

1、7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義一二三一、復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算1.思考(1)在多項(xiàng)式的加法運(yùn)算中,合并同類項(xiàng)的法則是什么?提示同類項(xiàng)的系數(shù)相加,所得的結(jié)果作為系數(shù),字母和字母的指數(shù)不變.(2)實(shí)數(shù)運(yùn)算中加法交換律和加法結(jié)合律分別是什么?對(duì)復(fù)數(shù)還成立嗎?提示加法交換律:a+b=b+a;結(jié)合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c),對(duì)復(fù)數(shù)加法運(yùn)算仍成立.一二三2.填空(1)復(fù)數(shù)加法、減法的運(yùn)算法則設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),則有:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

2、(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律設(shè)z1,z2,z3C,則有:交換律:z1+z2=z2+z1;結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).一二三3.做一做(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,則z1+z2=.(2)(5-5i)-3i=.答案:(1)1+2i(2)5-8i解析:(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i;(2)(5-5i)-3i=5-8i.一二三二、復(fù)數(shù)加法的幾何意義1.思考(1)什么是向量加法的平行四邊形法則?提示將已知兩個(gè)向量平移至公共起點(diǎn),以向量對(duì)應(yīng)的兩條線段為鄰邊作平行四邊形,和向量為以公共起點(diǎn)為起點(diǎn)的對(duì)角線向量.一二三3.做一做答案:0解析:(5-4i)+

3、(-5+4i)=(5-5)+(-4+4)i=0.一二三三、復(fù)數(shù)減法的幾何意義1.思考(1)什么是向量減法的三角形法則?提示將兩個(gè)向量平移至同起點(diǎn),則差向量是由減向量終點(diǎn)指向被減向量終點(diǎn)的向量.(2)平面直角坐標(biāo)系中,已知A(x1,y1),B(x2,y2),如何求A,B兩點(diǎn)間距離?一二三2.填空一二三3.做一做答案:-1-7i探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z+1-3i=5-2i,求z.分析(1)可根據(jù)復(fù)數(shù)的加、減法法則計(jì)算.(2)可設(shè)z=x+yi(x,yR),根據(jù)復(fù)數(shù)相等計(jì)算,也可把等式看作z的方程,通過移項(xiàng)求解.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(2

4、)解:(方法一)設(shè)z=x+yi(x,yR),因?yàn)閦+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.(方法二)因?yàn)閦+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟 復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的方法技巧1.可把復(fù)數(shù)運(yùn)算類比實(shí)數(shù)運(yùn)算,若有括號(hào),先計(jì)算括號(hào)里面的;若沒有括號(hào),可以從左到右依次進(jìn)行.2.當(dāng)利用交換律、結(jié)合律抵消掉某些項(xiàng)的實(shí)部或虛部時(shí),可以利用運(yùn)算律簡化運(yùn)算,注意正負(fù)號(hào)法則與實(shí)數(shù)相同,不能弄錯(cuò).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練1(1)計(jì)算(-4-6i)-(3

5、+2i)+(5+4i)=.(2)若(1-3i)+z=6+2i,則復(fù)數(shù)z=.答案:(1)-2-4i(2)5+5i解析:(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟 向量加法、減法運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù).利用向量加法“首尾相接”和向量減法“指向被減向量”的特點(diǎn),在三角形內(nèi)可求得第三個(gè)向量及其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).注意向量 對(duì)應(yīng)

6、的復(fù)數(shù)是zB-zA(終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練2如圖所示,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0,3+2i,-2+4i.求:探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的綜合問題例3(1)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|+z=1+3i,求z.(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z|=2 ,且z-4是純虛數(shù),求復(fù)數(shù)z.分析對(duì)于(1),可設(shè)z=x+yi(x,yR),則|z|= ,再根據(jù)復(fù)數(shù)相等求解;對(duì)于(2),可設(shè)z=x+yi(x,yR),然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式以及純虛數(shù)的定義建立關(guān)于x,y的方程組求解.探究一探究二探究三思維辨

7、析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟 一般地,求復(fù)數(shù)的問題都可采用復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化的方法,即求復(fù)數(shù)時(shí),轉(zhuǎn)化為求該復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,因此可設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=x+yi(x,yR),然后根據(jù)條件建立關(guān)于參數(shù)x,y的方程組,通過解方程組,求得x,y的值,也就求得了復(fù)數(shù)z.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練3若復(fù)數(shù)z滿足|z|-1-3i=z,則z=.答案:4-3i探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用典例復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為i,1,4+2i,由ABCD按逆時(shí)針順序作ABCD,求 .審題視角首先由A,C兩點(diǎn)坐標(biāo)求解出AC的中點(diǎn)坐標(biāo),然后再由點(diǎn)B

8、的坐標(biāo)求解出點(diǎn)D的坐標(biāo).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練方法點(diǎn)睛 1.解決此類問題的關(guān)鍵是由題意正確地畫出圖形,然后根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則借助復(fù)數(shù)相等即可求解.2.復(fù)數(shù)的幾何意義包括三個(gè)方面:復(fù)數(shù)的表示(點(diǎn)和向量)、復(fù)數(shù)的模的幾何意義及復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義.復(fù)數(shù)的幾何意義充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想方法,即通過幾何圖形來研究代數(shù)問題.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:|z1+z2|和|z1-z2|是以O(shè)Z1和OZ2為兩鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練1.若(-3a+bi)-(2b+ai)=3-5i,a,bR,則a+b=()答案:B2.若復(fù)數(shù)z滿足z+(3-4i)=1,則z的虛部是()A.-2B.4C.3D.-4答案:B解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虛部是4.探究一探究二探究三