奧數(shù)-第5講線束定理、相似-競賽班學(xué)生版

1、北京市初二數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練與平行線相關(guān)的幾何結(jié)論：一、線束定理：過一點(diǎn)的三條直線截兩條平行線，截得的線段對應(yīng)成比例.如圖所示，直線i i過點(diǎn)O的三條直線分別交l、l于A、A，ABBCAC證明：因?yàn)锳B ABABOBOAOB OA同理可證BCOBACOAABBCOBOAACC、C，求證，,Bi與 A1s*特別地，當(dāng)AB = BC時(shí)，有A!B = BC，反之亦然.點(diǎn)評：平行線的這種性質(zhì)易于理解和掌握，它的證明利用了平行線截線段成比例定理，但它不同 于后者，定理只考慮兩條平行線上被截得的線段之間的關(guān)系，且由一條平行線上被截得的兩線段 相等，立即可得另一條平行線上被截得的兩線段也相等，這一結(jié)論是證明兩

2、線段相等或線段被平 分的重要依據(jù).平行線的這一性質(zhì)還可推廣到兩條平行線被過一點(diǎn)的n條直線所截的情形，即“過 一點(diǎn)的n (n 3，n e N)條直線截兩條平行線，截得的線段對應(yīng)成比例.”因?yàn)檫^一點(diǎn)的若干條直 線叫作線束，故該定理叫作線束定理.二、線段等式：1 + 1 =1 x y z如圖所示，AB CD EF .若 AB = x， CD = y，EF = z，貝U - + - =1.證明：由題意可得-=竺,-=竺 x CA y AC則-+ - = 1,x y出111即一+ =.x y z三、線段等式：EF = AB + - CD .1+ X1+ X在梯形ABCD中，EF平行于兩條底邊，交BC和D

3、A于EF,其中竺=業(yè)=X，則有如下等式成EC FD立EF =AB +證明：由面積關(guān)系有:S + S + S = S + S + S = S = S + S = S + SAABF ABEC AFCD AABE ABEC AECD 梯 形ABCD AABC AACD AABC ABCD則由 AABF + ABEC + SAFCD = SAABC + ABCD得到sin0 - AB - BF +sin0 - EF - BC + sin0 - CD - FC =sin0 - AB - BC + sin0 - CD - BC TOC o 1-5 h z 22222（0為底邊和腰BC的夾角）所以 AB

4、- BF + EF - BC + CD - FC = AB - BC + CD - BC即 EF - BC = AB -（BC - BF）+ CD （BC - CF）、 CF RF1入可化間為 EF =AB + CD，即 EF = - AB + - CD . BC BC1+ X1+ X這條關(guān)系式也可以通過平移梯形的腰，將梯形轉(zhuǎn)化為三角形后用平行線截線段成比例定理證明.example板塊一：線束定理【例1】如圖所示，已知D、E是AABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，BD、CE交于O , AO的延長線交BC于 M .若DE BC,求證AM是AABC的中線.ABMC【例2】如圖所示，M、N分別是矩形的邊AD

5、、BC的中點(diǎn)，在CD的延長線上取點(diǎn)P , PM交對角 線AC于Q，求證NM平分ZPNQ .【例3】如圖所示，在AABC中，D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，DM、DN分別是XCDB和ACDA的角平分線，MN交CD于O , EO、FO的延長線分別交AC、BC于Q、P，求證PQ = CD .【例4】如圖所示，H是AABC的高AD上的任意一點(diǎn)，BH、CH分別交AC、AB于E、F，求證 ZEDH = ZFDH.【例5】如圖所示，AD是AABC的外接圓。0的直徑，過D的切線交CB的延長線于P，PO分別交AB、 AC 于 M、N，求證 0M = ON .板塊二：線段等式相關(guān)若AB = BC = a，

6、貝U EF等于（).(A) -a(B) 1 a(C) 2 a(D) 2 a3235【例6】如圖所示，在等腰RtAABC中，AD是直角邊BC的中線，BE AD，且交 AC 于 E，EF 1BC.【例7】如圖所示，直線l同側(cè)有三個(gè)相鄰的等邊AABC、AADE、AAFG，且G、A、B都在直線l上， 設(shè)這三個(gè)三角形的邊長依次分別為a、b、c，連接GD交AE于N，再連接BN交AC于乙，求證AL =abcab + bc + ca【例8】（基輔數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題）在凸四邊形ABCD中，K和M分別是AB和CD邊上的點(diǎn)，且有BK DMKA MCAM與DK交于點(diǎn)P，BM與CK交于點(diǎn)Q，求證SD = S+ S邸函

7、且【變式】如圖所示，在四邊形ABCD中，DE = EF = FC于四邊形EFHG的面積的三倍.AG = GH = HB,求證四邊形ABCD的面積等【例9】河凰回（2004年北京市初二數(shù)學(xué)競賽）設(shè)A ,B ,C ,D ,E ,F分別是凸六邊形ABCDEF的邊AB , BC , 111111CD, DE, EF, FA 的中點(diǎn).AABC , ABCD , ACDE , ADEF , EFA , AFAB 的面積之和 1111112為m，六邊形ABCDEF的面積為S .證明：S = - m .3P為半圓上的任習(xí)題1.如圖所示，以線段AB為直徑作半圓，在另一側(cè)作矩形ABCD ,意一點(diǎn)，PC、PD分別交

8、AB于F、E兩點(diǎn)，求證AF- + BE- = AB-.習(xí)題2.(蘇州市數(shù)學(xué)競賽試題)如圖所示，D、E分別是AABC的邊BC、AB上的點(diǎn)，AD、CE交于F , BF、DE交于G .過G作BC的平行線分別交AB、CE、AC于M、H、N，求證GH = NH .習(xí)題3.如圖所示，已知梯形ABCD , AB CD且AB = 7、CD = 4 .延長AD、BC交于點(diǎn)E，過E作平行于AB的直線，分別交AC、BD的延長線于N、M，則MN =.習(xí)題4.(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題)如圖所示，AB EF，EF CD，已知AB = 20，CD = 80， BC = 100，那么EF的值為().(A) 10(B) 2(

9、C) 16(D) 18兩個(gè)簡單的“悖論”你知道1 -1+1 -1+1 -1+1-1+.等于多少?解：設(shè)L=11 + x21 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +=，2一 X + X 2 x 3 +， 則當(dāng)X = 1時(shí)，有-=1 -1 +1 -1 +即另解1：1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 + =(1-1) + (1-1) + (1-1) +=0 + 0 + + 0 + =0，即 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 + =0另解2：1 -1 +1 -1 +1-1 + = 1 + (-1 +1) + (-1 +1) + (-1 +1) + =1 + 0 + 0 +

10、=1即 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1-1 + .=1大家覺得怪不怪，同一個(gè)式子，由于計(jì)算方法不同而得到了不同的值，這該 怎樣解釋才使人信服？原來這是一個(gè)令大數(shù)學(xué)家歐拉既感興趣又傷腦筋的問題， 這里暫且用“悖論”作答吧.薩維爾村理發(fā)師給自己訂了一條規(guī)則：他給村子里不給自己刮胡子的人刮胡子， 也只給這樣的人刮胡子.于是有人問他：您自己的胡子由誰來刮呢？理發(fā)師頓 時(shí)啞口無言.因?yàn)椋绻o自己刮胡子，那么他就屬于自己給自己刮胡子的那類人.但 是，招牌上說明他不給這類人刮胡子，因此他不能自己給自己刮.如果由另外一 個(gè)人給人刮，他就是不給自己刮胡子的人，而招牌上明明說他要給所有不自己刮 胡子的男人刮胡子，因此，他應(yīng)該自己為自己刮胡子.由此可見，不管作怎樣的 推論，理發(fā)師所