研究生數(shù)值分析插值與逼近

1、數(shù)值分析第5章 插值與逼近主講老師: 1 插值與逼近都是指用某個簡單函數(shù)在滿足一定條件下，在某個范圍內近似代替另一個較為復雜或者解 析表達式未給出的函數(shù)，以便于對后者的各種計算或揭示后者的某些性質。 第5章 插值與逼近21 問題的提出 在科學研究和工程計算中，經(jīng)常要研究變量之間的函數(shù)關系，但是在很多情況下，又很難找到具體的解析表達式，往往只能通過測量或者觀察，獲得一張數(shù)據(jù)表，即1 代數(shù)插值3 這種用表格形式給出的函數(shù)，無法求出不在表中的點的函數(shù)值，也不能進一步研究函數(shù)的分析性質，如函數(shù)的導數(shù)及積分等。為了解決這些問題，我們設法通過這張表格求出一個簡單的函數(shù)P(x)這種求P(x)的方法稱為插值法

2、。使4定義1 設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上有定義，且上的值為，若存在一個簡單的函數(shù)p(x) ，使 成立，則稱p(x)為 f (x)的插值函數(shù)。為插值節(jié)點；為插值條件；f(x)為被插值函數(shù);2 插值問題的概念已知在點其中 , a,b為插值區(qū)間；5 從幾何上說，插值法就是求一條曲線 y = P(x) 使它通過已知的 (n+1)個點并取如圖6 根據(jù)不同要求，可以選擇不同的插值函數(shù)。其中最簡單的一類是多項式插值。多項式插值的基礎問題是：根據(jù)給出的函數(shù)表，求一個不高于 n 次的代數(shù)多項式滿足插值條件的多項式，稱為函數(shù)f(x)在節(jié)點上的 n 次插值多項式。使7 特別當 n =1時，所求的一次插值多項式

3、為通過兩點的直線，稱相應的插值問題為線性插值； 函數(shù)插值是計算方法的重要工具，我們常常借助于插值函數(shù) P (x) 來計算被插值函數(shù) f (x)的函數(shù)值、零點和積分等的近似值。 當 n=2時，所求的二次插值多項式為通過三點的拋物線，稱相應的插值問題為拋物線插值。8從插值多項式的定義可知，要求滿足插值的 n 次插值多項式只要把代入，即可得 (n+1) 個方程3 插值多項式的存在唯一性條件式 9的n+1元線性方程組 這是關于其系數(shù)行列式10是n+1階范德蒙德（Vandermonde）行列式，由線性代數(shù)知識因節(jié)點互異，故D0 ，方程組有唯一解。11定理1 當插值節(jié)點互異時，滿足插值條件的 n 次插值多

4、項式存在且唯一。于是有12 我們在討論插值多項式的存在唯一性時，已經(jīng)提供了一種求插值多項式的方法，即通過求解線性方程組4 插值多項式的求法13 由于這種求法計算工作量大，而且不能獲得簡明的表達式，給理論研究和應用帶來不便。通常我們采用的是構造方法，直接構造一個滿足條件的 n 次插值多項式。下面，我們介紹這種簡便實用的方法。的系數(shù)來確定插值多項式14當n=0時為因而當n=1時，為5 基本插值多項式15解得因而16若令 則有 這里的和可以分別看作滿足及的一次插值多項式。插值條件這兩個插值多項式稱為一次插值的基本插值多項式。17表明一次插值多項式可以通過基本插值多項式和的線性組合得到，且系數(shù)恰為所給數(shù)據(jù)和。表達式現(xiàn)在來討論n次多項式的插值問題。18為了得到n次多項式插值，我們先求一個n次多項式，滿足 即 其中，19所以含有如下n個因子：于是可以寫成