2.2 函數(shù)的表示法（第1課時(shí)）課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊(cè)

1、第二章2函 數(shù)2.2函數(shù)的表示法第1課時(shí)函數(shù)的表示法1.掌握函數(shù)的三種表示法:解析法、列表法、圖象法,以及各自的優(yōu)缺點(diǎn).在解析法中尤其要掌握用換元法和代入法求函數(shù)的解析式. 2.在實(shí)際問(wèn)題中,能夠選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉▉?lái)表示函數(shù).3.能利用函數(shù)圖象求函數(shù)的值域,并確定函數(shù)值的變化趨勢(shì).核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象學(xué)習(xí)目標(biāo)利用醫(yī)療儀器可以方便地測(cè)量出心臟在各時(shí)刻的指標(biāo)值,據(jù)此可以描繪出心電圖,如圖所示.醫(yī)生在看心電圖時(shí),會(huì)根據(jù)圖形的整體形態(tài)來(lái)給出診斷結(jié)果(如根據(jù)兩個(gè)峰值的間距來(lái)得出心率等).如果用t表示測(cè)量的時(shí)間,v表示測(cè)量的指標(biāo)值,可以得出v是t的函數(shù)嗎?如果是,這個(gè)函數(shù)用數(shù)學(xué)符號(hào)可以怎樣

2、表示?情境導(dǎo)學(xué)新知學(xué)習(xí)一、函數(shù)的表示法常用的函數(shù)的表示方法有三種: ,具體如下.列表法、圖象法和解析法 解析法列表法圖象法定義在函數(shù)中,用代數(shù)式(或解析式)來(lái)表達(dá)的方法通過(guò)列出自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法用“圖形”表示函數(shù)的方法優(yōu)點(diǎn)通過(guò)解析式可以求出任意一個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,較便利地利用代數(shù)工具研究其性質(zhì)可直接通過(guò)表格讀數(shù),不必通過(guò)計(jì)算,就表示出兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)值,非常直觀可以通過(guò)圖象直觀地顯示函數(shù)的局部變化規(guī)律缺點(diǎn)用解析式表示函數(shù)時(shí)容易漏掉其定義域,而且對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題很難得到解析式任何一個(gè)表格內(nèi)標(biāo)出的數(shù)都是有限個(gè),只能表示有限個(gè)數(shù)值之間的函數(shù)關(guān)系,若自變量取值有無(wú)數(shù)個(gè),

3、則只能給出局部的對(duì)應(yīng)關(guān)系通過(guò)圖象很難得到每個(gè)自變量取值對(duì)應(yīng)的精確函數(shù)值,誤差較大探究新知觀察下表:則f(f(-1)-g(3)=()A.-4B.-3C.3D.5解析:由題表知,f(-1)=-1,g(3)=-4,所以f(f(-1)-g(3)=f(3)=5.-3-2-112351-1-3351423-2-4D即時(shí)鞏固二、函數(shù)的圖象1.定義一般地,將函數(shù)y=f(x),xA中的自變量x和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y,分別看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo),則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)(x,y)組成的集合F稱(chēng)為函數(shù)的圖象,即F=(x,y)|y=f(x),xA.這就是說(shuō),如果F是函數(shù)y=f(x)的圖象,則圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,

4、y)都滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=f(x);反之,滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=f(x)的點(diǎn)(x,y)都在函數(shù)圖象F上.(3)利用常見(jiàn)函數(shù)圖象作出所求函數(shù)的圖象2.函數(shù)圖象的作法(1)函數(shù)圖象的特征函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線(xiàn),也可以是直線(xiàn)、折線(xiàn)、離散的點(diǎn)等.(2)描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的三個(gè)步驟(注意函數(shù)的定義域) 已學(xué)過(guò)的常見(jiàn)函數(shù)圖象有:常值函數(shù)的圖象,如f(x)=1的圖象為一條平行于x軸的直線(xiàn);一次函數(shù)的圖象,如f(x)=-3x+1的圖象是一條經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的直線(xiàn);二次函數(shù)的圖象,如f(x)=2x2-x+1的圖象是一條開(kāi)口向上的拋物線(xiàn);對(duì)于反比例函數(shù)f(x)= (k0,且k為常數(shù)),當(dāng)k0時(shí),其圖象是在第一、三象限

5、內(nèi),以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的雙曲線(xiàn),當(dāng)k0時(shí),其圖象是在第二、四象限內(nèi),以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的雙曲線(xiàn).名師點(diǎn)析 1.從理論上來(lái)說(shuō),要作出一個(gè)函數(shù)的圖象,只需描出所有點(diǎn)即可.但是,很多函數(shù)的圖象都由無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)組成,描出所有點(diǎn)并不現(xiàn)實(shí).因此,實(shí)際作圖時(shí),經(jīng)常先描出函數(shù)圖象上一些有代表性的點(diǎn),然后根據(jù)有關(guān)性質(zhì)作出函數(shù)圖象,這稱(chēng)為描點(diǎn)作圖法.2.圖象在x軸上的投影所表示的區(qū)間為定義域,在y軸上的投影所表示的區(qū)間為值域.思考 如何檢驗(yàn)一個(gè)圖形是不是一個(gè)函數(shù)的圖象?寫(xiě)出你的檢驗(yàn)法則.提示:檢驗(yàn)法則:過(guò)圖形上任意一點(diǎn)作與x軸垂直的直線(xiàn),若所有直線(xiàn)與圖形都只有一個(gè)交點(diǎn),則此圖形是函數(shù)的圖象,否則這個(gè)圖形不是函數(shù)的圖象.

6、即時(shí)鞏固 如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線(xiàn)段ABC,其中點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(f(f(0)=()A.2B.4C.0D.3解析:結(jié)合圖象可得f(0)=4,f(4)=2,f(2)=0,則f(f(f(0)=f(f(4)=f(2)=0.C例1 已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出:則f(g(1)=;當(dāng)g(f(x)=2時(shí),x=.123211123321典例剖析列表法表示函數(shù)分析：這是用列表法表示的函數(shù)求值問(wèn)題,在解答時(shí),找準(zhǔn)變量對(duì)應(yīng)的值即可.反思感悟 列表法是表示函數(shù)的重要方法,這如同我們?cè)诋?huà)函數(shù)圖象時(shí)所列的表,它的優(yōu)點(diǎn)是變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在表中可直接找到,不

7、需要計(jì)算.解析:由g(x)的對(duì)應(yīng)表,知g(1)=3,f(g(1)=f(3).由f(x)的對(duì)應(yīng)表,知f(3)=1,f(g(1)=f(3)=1.由g(x)的對(duì)應(yīng)表,知當(dāng)x=2時(shí),g(2)=2.又g(f(x)=2,f(x)=2.又由f(x)的對(duì)應(yīng)表,知當(dāng)x=1時(shí),f(1)=2.x=1.11延伸探究 在本例已知條件下,g(f(1)=;當(dāng)f(g(x)=2時(shí),x=.解析:f(1)=2,g(f(1)=g(2)=2.f(g(x)=2,g(x)=1,x=3.23例2 (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).(2)已知f(x)是二次函數(shù),且滿(mǎn)足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解

8、析式.(3)已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).分析：(1)(方法一)令x+1=t,將x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位與f(x)中x的地位相同,因此還可以將f(x+1)=x2-3x+2變形為f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.(2)設(shè)出f(x)=ax2+bx+c(a0),再根據(jù)條件列出方程組求出a,b,c的值.(3)將f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解關(guān)于f(x)與f(-x)的方程組即可.典例剖析求函數(shù)的解析式反思感悟 求函數(shù)解析式的四種常用方法

9、1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x)的解析式,直接將g(x)代入.2.待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類(lèi)型,可用待定系數(shù)法求解,即由函數(shù)類(lèi)型設(shè)出函數(shù)解析式,再根據(jù)條件列方程(或方程組),通過(guò)解方程(或方程組)求出待定系數(shù),進(jìn)而求出函數(shù)解析式.3.換元法(有時(shí)可用“配湊法”):已知函數(shù)f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x)中求出f(t),從而求出f(x).4.消元法:在已知式子中,含有關(guān)于兩個(gè)不同變量的函數(shù),而這兩個(gè)變量有著某種關(guān)系,這時(shí)就要依據(jù)兩個(gè)變量的關(guān)系,建立一個(gè)新的關(guān)于兩個(gè)變量的式子,由兩個(gè)式子建立

10、方程組,通過(guò)解方程組消去一個(gè)變量,得到目標(biāo)變量的解析式.例3 作出下列函數(shù)的圖象,并求其值域:(1)y=1-x(xZ); (2)y=2x2-4x-3(0 x0)或向右(a0)或向下(a0)的圖象沿y軸翻折到y(tǒng)軸左側(cè),函數(shù)y=f(x)(x0)的圖象不變,即可得到函數(shù)y=f(|x|)的圖象.例 已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f(1-x)的圖象為() 解析:將變換分為兩個(gè)過(guò)程:f(x)的圖象 f(-x)的圖象 f(-(x-1)的圖象.即將函數(shù)y=f(x)的圖象先作關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)變換得到函數(shù)y=f(-x)的圖象,再將函數(shù)y=f(-x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=f(1-x)的圖象.A

11、例 作出函數(shù)f(x)=|x2-4x-5|在區(qū)間-2,6上的圖象.解:先作出二次函數(shù)y=x2-4x-5的圖象,再把圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,保留x軸上及其上方的部分,并保留在區(qū)間-2,6上的部分,如圖所示.1.已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,0)和(0,1),則該一次函數(shù)的解析式為()A.f(x)=-xB.f(x)=x-1C.f(x)=x+1D.f(x)=-x+1隨堂小測(cè)D2.某天早上,小明騎車(chē)上學(xué),出發(fā)時(shí)感到時(shí)間較緊,然后加速前進(jìn),后來(lái)發(fā)現(xiàn)時(shí)間還比較充裕,于是放慢了速度,與以上事件吻合得最好的圖象是()C3.已知函數(shù)f(x),g(x)對(duì)應(yīng)值如下表: 則g(f(g(-1)的值為()A.1B.0C.-1D.無(wú)法確定解析:g(-1)=1,則f(g(-1)=f(1)=0,則g(f(g(-1)=g(0)=-1.01-110-101-1-101C4.若一個(gè)長(zhǎng)方體的高為80 cm,長(zhǎng)比寬多10 cm,則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積y(單位:cm3)與長(zhǎng)方體的寬x(單位:cm)之間的函數(shù)解析式是 .解析:由題意可知,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為