傳輸原理邊界層理論

1、傳輸原理邊界層理論第1頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日邊界層理論本章主要內(nèi)容1.介紹邊界層的基本概念及特點(diǎn)；2.平面層流邊界層微分方程及其求解；3.平面層流邊界層積分方程及其求解；4.平板繞流摩擦阻力的計(jì)算 第2頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日邊界層理論 理論形成的背景：實(shí)際流體流動(dòng)方程是非線性偏微分方程，難以求解；人們注意到大多數(shù)實(shí)際流體的流動(dòng)都可以分為兩個(gè)區(qū)域，即靠近壁面、速度梯度較大的一薄層（邊界層）和大部分遠(yuǎn)離壁面、速度梯度較小的區(qū)域。對速度梯度較小的區(qū)域可以利用理想流體的歐拉方程和伯努利方程求解；對很薄的邊界層可以通過簡化后再求解。這樣

2、就將整個(gè)區(qū)域求解問題轉(zhuǎn)化為主流區(qū)的理想流體的流動(dòng)問題和靠近壁面邊界層內(nèi)的流動(dòng)問題。當(dāng)然，與此同時(shí)就有一個(gè)區(qū)域的劃分問題或者說有一個(gè)邊界層厚度的確定問題。第3頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日邊界層理論 意義：粘性流體流動(dòng)理論應(yīng)用于實(shí)際問題，明確了研究理想流體流動(dòng)的實(shí)際意義，在流體力學(xué)的發(fā)展中起了非常重要的作用。第4頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第一節(jié) 邊界層的基本概念一、邊界層的定義邊界層：流體在流經(jīng)固體壁面時(shí)，在固體壁面形成速度梯度較大的流體薄層。邊界層的厚度：流速相當(dāng)于主流區(qū)速度的99%處，到固體壁面的距離稱為邊界層厚度。二、邊界層的形成與特

3、點(diǎn) 為什么會形成邊界層？因?yàn)榱黧w內(nèi)部存在粘附力或粘性力 。我們已經(jīng)知道：流體流過管道時(shí)，其流動(dòng)形態(tài)是通過雷諾數(shù)來判別的。Re=d/第5頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第一節(jié) 邊界層理論的基本概念當(dāng)Re Recr 時(shí)，流動(dòng)為湍流。對于流體掠過平板的流動(dòng)，流動(dòng)形態(tài)仍然可通過雷諾數(shù)來判別，不過此時(shí)的雷諾數(shù)用 Rex=x0/ 計(jì)算。其中：x 為流體進(jìn)入平板的長度，又稱進(jìn)流深度；0 為主流區(qū)流體速度。對于光滑平板而言：Rex310 6 時(shí)為湍流；210 5 Rex 310 6為層流到湍流的過渡區(qū)。第6頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日 第一節(jié) 邊界層理論的基

4、本概念（1）層流區(qū)： xxc ，使得Rex2105，且Rex 3106，這時(shí)邊界層內(nèi)的流動(dòng)形態(tài)已進(jìn)入湍流狀態(tài)，邊界層的厚度隨流進(jìn)長度的增加而迅速增加。 第7頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第一節(jié) 邊界層理論的基本概念應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)的是：無論過渡區(qū)還是湍流區(qū)，其邊界層最靠近壁面的一層始終都是作層流運(yùn)動(dòng)，此即所謂的層流底層。注意：層流底層和邊界層的區(qū)別與聯(lián)系 層流底層是根據(jù)有無脈動(dòng)現(xiàn)象來劃分；邊界層則是根據(jù)有無速度梯度來劃分。邊界層內(nèi)的流體可以是層流流動(dòng)，也可以是作湍流流動(dòng)。第8頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第一節(jié) 邊界層理論的基本概念第9頁，共49頁

5、，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第二節(jié) 平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程） 一、 微分方程的建立對于二維平面不可壓縮層流穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，在直角坐標(biāo)系下滿足的控制方程為連續(xù)性方程x方向動(dòng)量傳輸方程y方向動(dòng)量傳輸方程第10頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第二節(jié) 平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程） 考慮不可壓縮流體作平面層流（二維流場），此時(shí)質(zhì)量力對流動(dòng)產(chǎn)生的影響較小，則有方程組連續(xù)性方程x方向動(dòng)量傳輸方程y方向動(dòng)量傳輸方程因?yàn)槭且粋€(gè)無窮小量，所以是一個(gè)高價(jià)無窮小，可以略去不計(jì)。第11頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第二節(jié)

6、 平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程）于是， x方向動(dòng)量傳輸方程可簡化為關(guān)于y軸方向上的動(dòng)量傳輸方程，因?yàn)檫吔鐚雍穸群苄?，第三式中的Vy對x和y的各項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)與x軸方向上的動(dòng)量傳輸相比均屬無窮小量，可略而不計(jì)。因而，第三式可以簡化為第12頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第二節(jié) 平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程）對主流區(qū)中的同一 y 值，不同的 x 值其伯努利方程可寫為由于與0皆為常數(shù)，故p為常數(shù)，即 dp/dx=0因此第13頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第二節(jié) 平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程） 普朗特邊界層微分

7、方程的解是由他的學(xué)生布拉修斯在1908年首先求出的，他首先引入了流函數(shù)的概念，得出邊界層微分方程的解是一無窮級數(shù)。所以，原方程組就簡化為 定解條件為第14頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第二節(jié) 平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程）邊界層厚度與流進(jìn)距離x 和流速0 的關(guān)系為式中：Cn為二項(xiàng)式的系數(shù)；A2為系數(shù)，可由邊界條件確定。第15頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程） 一、 邊界層積分方程的建立 前面將連續(xù)性方程與納維爾斯托克斯方程應(yīng)用于邊界層，并通過合理的簡化處理，使方程的形式大為簡化。但所得到的布拉

8、修斯解仍然是一個(gè)無窮級數(shù)，使用時(shí)很不方便。而且還只能用于平板表面層流邊界層?，F(xiàn)在我們將直接從動(dòng)量守恒定律出發(fā)，建立邊界層內(nèi)的動(dòng)量守恒方程。第16頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程） 1）從AB面單位時(shí)間流入的質(zhì)量記為mx、動(dòng)量記為Mx 對如圖所示的二維平面流動(dòng)問題，取圖示的控制體（單元體），斷面為ABCD，垂直于圖面方向（z 軸方向）取單位長度。 第17頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程）2）從CD面單位時(shí)間流出的動(dòng)量記為M x+x，流出的質(zhì)量記為m x+x 3）從BC面單位時(shí)間

9、內(nèi)流入的質(zhì)量記為ml，流入的動(dòng)量在x方向的分量記為Ml ；而AD面沒有流體的流入、流出。第18頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程）根據(jù)質(zhì)量守恒定律，則有BC面在邊界層之外，流體沿x方向的速度近似等于0，故此由BC面流入的動(dòng)量在x方向的分量Ml4）AD面沒有質(zhì)量流入、流出，但有動(dòng)量通量存在，其值為0，故此由AD面在單位時(shí)間內(nèi)傳給流體的粘性動(dòng)量為0 x。 第19頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程）5）沿x方向一般情況下還存在著壓力梯度。所以，由于作用在AB面和CD面上的壓力差而施加給

10、控制體的作用力為通過前面的推導(dǎo)我們已經(jīng)知道所以，上式變?yōu)榈?0頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程）建立動(dòng)量守恒方程如下化簡后得第21頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程）上式就是邊界層積分方程，也稱為馮卡門方程。由前面的分析我們知道 是一小量，可略去不計(jì)，這時(shí)方程進(jìn)一步簡化為 第22頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程）上式即為簡化后的馮卡門方程，可以用于不同的流態(tài)，只要是不可壓縮流體就可。 二、 層流邊界層積分方程的解 波爾

11、豪森是最早解出馮卡門方程的人，他分析了方程的特點(diǎn)，假設(shè)在層流情況下，速度的分布曲線是y的三次方函數(shù)關(guān)系，即x=a+by+cy2+dy3式中的四個(gè)待定常數(shù)a、b、c、d 可由以下邊界條件確定：第23頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程）這些邊界條件是條件1），2），3）是顯而易見的; 條件4）是由于y=0時(shí)，x= y =0； 再結(jié)合前面推導(dǎo)的普朗特微分方程而得到第24頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日利用上述邊界條件確定出：a=0，c=0，第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程）因此，速度分布可表示為或者將上式聯(lián)立馮-卡

12、門方程，就可求出速度分布和邊界層厚度 上式給出了邊界層厚度與進(jìn)流距離和速度的關(guān)系。第25頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程）三、湍流邊界層內(nèi)積分方程的解 在湍流情況下，馮-卡門積分方程中的0為一般的應(yīng)力項(xiàng)，要想解上述方程也必須補(bǔ)充一個(gè)x與之間的關(guān)系式，它不能由波爾豪森的三次方函數(shù)給出，此時(shí)要借助圓管內(nèi)湍流速度分布的1/7次方定律用邊界層厚度代替式中的R得到 用它來代替波爾豪森多項(xiàng)式的速度分布，根據(jù)圓管湍流阻力的關(guān)系式，得出壁面切應(yīng)力0為 第26頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程）

13、代入積分方程可得到將它和積分后得第27頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第三節(jié) 邊界層內(nèi)積分方程（馮卡門方程）由邊界條件由此可見：湍流邊界層厚度（x4/5），比層流邊界層厚度（ x1/2）隨進(jìn)流距離增加而增厚要快得多。 從而得到湍流邊界層厚度的分布第28頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計(jì)算 對于實(shí)際流體掠過平板作層流流動(dòng)，由于流體粘性的作用，使得流體和平板之間存在著相互作用力，即 根據(jù)上式，如果我們知道流體在邊界層內(nèi)的速度分布x 和流體的動(dòng)力粘度，則平板對流體的作用力就可以很方便地通過上式求出。 第29頁，共49頁，2022

14、年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計(jì)算一、不可壓縮流體作層流掠過平板表面流動(dòng)時(shí)的摩擦阻力 通常定義摩擦阻力系數(shù)Cf 為對于長度為L、寬度為B 的平板，其總阻力S 為我們注意到第30頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計(jì)算即可求出層流條件下掠過平板表面的摩擦阻力系數(shù)Cf請注意：講義中此處應(yīng)補(bǔ)充以下內(nèi)容霍華斯（Howarth)對微分方程通過數(shù)值計(jì)算給出。其中第31頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計(jì)算 另一方面，由邊界層積分方程的解，也可以計(jì)算出層流平面繞流摩擦阻力，所以，總阻力即 由

15、和可得到注意：原教材中該部分多處有誤！請參照改正。（P 71）第32頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計(jì)算以上的推導(dǎo)可見：無論從邊界層微分方程出發(fā)還是從邊界層積分方程出發(fā)，都可以求出固體壁面與流體之間的摩擦力，其結(jié)果相差不大。所以聯(lián)立式同樣可求得層流條件下掠過平板表面的摩擦阻力系數(shù)Cf第33頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計(jì)算二、不可壓縮流體作湍流流動(dòng)掠過平板表面時(shí)的摩擦阻力計(jì)算 湍流掠過平板表面時(shí)，流體與平壁之間的摩擦阻力不僅與分子粘性有關(guān)，而且還與湍流的脈動(dòng)有關(guān)。此時(shí)在邊界層內(nèi)借助速度的1/7次的

16、經(jīng)驗(yàn)公式，即 把它代入馮卡門方程可得 第34頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計(jì)算此時(shí)由湍流邊界層公式給出，即 對于長度為L、寬度為B 的平板，其總阻力S 為第35頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日這時(shí)平板摩擦阻力系數(shù)可由下式給出上式適用于105 ReL 107，若將系數(shù)0.072改成0.074與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更吻合。第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計(jì)算第36頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第五章 例題講解【例5-1】運(yùn)動(dòng)粘度 的空氣以速度 掠過一平板，試求：1、進(jìn)流深度為50cm處的邊界層厚度；2、進(jìn)流深度為50c

17、m、板面上方距板面5mm處空氣的流速；3、相同的進(jìn)流深度、板面板面上方距板面15mm處空氣的流速。解：1）先計(jì)算Re，判別流態(tài)。 第37頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第五章 例題講解3）對該處， 處于邊界層外。 2）因進(jìn)流深度50cm處的邊界層厚度為7.3mm，求解處位于層流邊界層內(nèi)，該處空氣的流速為：故該處空氣的流速第38頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日【例5-2】如圖所示，=0.73Pas、=925kg/m3 的流體以0.6m/s的速度平行地流過一塊長0.5 m的光滑平板。試求 ： 1）求邊界層的最大厚度？ 2）求A點(diǎn)（位于壁面處）、B點(diǎn)（

18、板上方50mm處）和C點(diǎn)（板面上方90mm處）三處x方向的速度 以及它們在y方向的速度梯度第五章 例題講解 解：先計(jì)算Re，判別流態(tài)。第39頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第五章 例題講解邊界層的最大厚度 在平板的最右端。解：設(shè)在x=200mm處的邊界層厚度為，先計(jì)算該處的Re，判別流態(tài)。 (層流) 第40頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第五章 例題講解A點(diǎn)處：y=0 根據(jù)層流邊界層內(nèi)的速度分布公式第41頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日第五章 例題講解B點(diǎn)處：C點(diǎn)處：第42頁，共49頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)0分，星期日【例5-3】 設(shè)空氣從寬為40cm的平板表面流過，空氣的流動(dòng)速度v0=2.6m/s;空氣在當(dāng)時(shí)溫度下的運(yùn)動(dòng)粘度=1.4710-5m2/s。試求：流入深度x=30cm處的邊界層厚度，以及距板面高y=4.0mm處的空氣流速及板面上的總阻力？解：（1） （2）邊界層厚度（按Re為層流區(qū)）