比例、黃金分割、平行線分線段成比例定理

1、黃金分割及平行線分線段成比例一、黃金分割 罰金分割A(yù)C BC如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段 AC和BG如果AB AC，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金 分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn).AC與AB的比叫做黃金比.黃金比黃金比值的求法:AC BCAC AB AC因?yàn)?AB AC ,且 BC= AB- AC,所以 AB AC解得AC=51 ADAB,或 AO 0.618AB,即得黃金比ACAB. 5 12 或 0.618求作黃金分割點(diǎn)求已知線段AB的黃金分割點(diǎn)。方法一：如圖1、經(jīng)過點(diǎn)B作BD)AB,且BD=2、連接 AD,在DA上截取 D已DB.3、在AB上截取AC= AE,所以點(diǎn)C是線段AB的黃金分

2、割點(diǎn).、.5.5 13. 5理由：設(shè) AB= 1 ,貝U BD= 1/2,AD= 2 , AC= 2, BC=2AC BC : 5 1所以AB AC 2,所以點(diǎn)方法二如圖1、在線段AB上作正方形ADCB 23、延長 DA至 F,使 EF= EB.4所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn).C是線段AB的黃金分割點(diǎn).、取AD的中點(diǎn)E,連接EB.、以線段AF為邊作正方形AFGH理由：設(shè)AB= 1,則AE= 2 ,所以5BE EF2 一 AFAH HB 5 1所以AB AH,所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn).方法三：如圖1、以AB為腰作等腰 AB口使/ A= 362、作/ ADB的角平分線交 AB于點(diǎn)C所以，點(diǎn)

3、C是線段AB的黃金分割點(diǎn).理由：作圖的理由在本章學(xué)完就知道，對(duì)這做黃金三角形基本圖形我們將會(huì)非常熟悉，此等腰三角形叫例1:如圖所示，矩形AB .5 1ABCD黃金矩形(即 BC =2=0.618),如果在其內(nèi)作正方形CDEF得到一個(gè)小矩形 ABFE試問矩形ABFE是否也是黃金矩形?例2:以長為2的線段AB為邊作正方形 ABCD取AB的中點(diǎn)P,連接PR在BA的延長線上 取點(diǎn)F,使PF= PD,以AF為邊作正方形 AMEF點(diǎn)M在AD上，如圖所示，(1)求AM DM的長，(2)試說明 aM=ad- DM(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？練習(xí)題一、請(qǐng)你填一填(1)如圖，若點(diǎn)P是AB的

4、黃金分割點(diǎn)，則線段 AP、PB AB滿足一機(jī)關(guān)系式,即AP是 與 的比例中項(xiàng).(2)黃金矩形的寬與長的比大約為 (精確到0.001 ).(3)如果線段d是線段a、b、c的第四比例項(xiàng)，其中 a=2 cm, b=4 cm, c=5 cm,則 d=cm.(4)已知O點(diǎn)是正方形 ABCD勺兩條對(duì)角線白交點(diǎn)，則 A。AB： AG.二、認(rèn)真選一選1、有以下命題：如果線段d是線段a,b,c的第四比例項(xiàng)，則有_a 9 b d如果點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，那么 AC是AB BC的比例中項(xiàng)如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且 A3BC那么AC是AB與BC的比例中項(xiàng)如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AOBC且AB=2,則A

5、C=5 - 1 TOC o 1-5 h z 其中正確的判斷有（）A.1個(gè)B.2個(gè) C.3個(gè)D.4個(gè)2、已知P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且 APV PB,則（）A、AP2AB PB；日 AB2AP PB;C、PB2AP AB;D、AP2BP2AB23、.已知點(diǎn)M將線段AB黃金分割（AMBM）,則下列各式中不正確的是 （）A.AM : BM=AB : AMAM= 1 AB2BM = 1 AB D. AM = 0.618AB 2A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)4、已知P、Q是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，且D.4個(gè)AB=10cm,則 PQ 長為（A、5（4專 1） B 5（75 1）C、105 2）D、5（3 疾

6、）三、好好想一想1、已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)AC= 5，55 ,且AC BC,求線段AB與BC的長。2、E、F為線段AB的黃金分割點(diǎn)，已知 AB=10 cm,求EF的長度. AB5 13、如果一個(gè)矩形 ABCD（ABv BC）中， =0.618,那么這個(gè)矩BC 2形稱為黃金矩形，黃金矩形給人以美感.在黃金矩形 ABCD內(nèi)作正方形CDEF ,得至IJ一個(gè)小矩形 ABFE（如圖1）,請(qǐng)問矩形ABFE是否是黃金矩形？ 請(qǐng)說明你的結(jié)論的正確性.、平行線分線段成比例知識(shí)梳理平行線分線段成比例定理及其推論.平行線分線段成比例定理如下圖，如果-2,則ifDE AB ACDF 5 DE dFAD AEA

7、B ACEF ABDF，AC.平行線分線段成比例定理的推論：如圖，在三角形中，如果DE / BC ,則DEBC.平行的判定定理:如上圖，如果有CADAEAB ACDE ,那么 DE / BC。 BC專題講解專題一、平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用【例1】如圖，DE / BC ,且DB AE,若AB 5, AC10 ,求AE的長。【例2】如圖，已知AB/EF/CD ,若AB a , CD b , EF c ,求證：-. cabD , AC和BD相交于點(diǎn)E ,【鞏固】如圖，AB BD , CD BD ,垂足分別為B、 ef町垂足為f.證明：焉CD EF.【鞏固】如圖，找出Sabd、Sbed、

8、S BCD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論【例3】如圖，在梯形ABCD中，AB / CD ,AB 12 , CD 9 ,過對(duì)角線交點(diǎn)。作EF / CD 交 AD , BC 于 E , F ,求 EF 的長?！眷柟獭浚ㄉ虾Ｊ袛?shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖，在梯形ABCD中，AD / BC ,AD a, BCb, E, F分別是AD , BC的中點(diǎn),AF交BE于P, CE交DF于Q,求PQ的長。專題二、定理及推論與中點(diǎn)有關(guān)的問題【例4】（2007年北師大附中期末試題）（1）如圖（1）,在 ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE連接EM并延長，交BC的延長線于D ,則BC（2）如圖（2）,已知 ABC 中，A

9、E：EBBD : DC 2:1 , AD 與 CE 相交于 F ,則 EC AFA. 5的值為（）B.1C.【例5】（2001年河北省中考試題）如圖，在ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AC邊上的任意一點(diǎn),(1)當(dāng)JAEAC(3)試猜想2時(shí),AEACBE交AD于點(diǎn)O .求處的值。（2）AD,時(shí)也n 1 AD當(dāng)JAEAC3、4時(shí)，求AO的值;AD的值，并證明你的猜想.【例6】（2003年湖北恩施中考題）如圖,AD是 ABC的中線，點(diǎn)E在AD上，F(xiàn)是BE延長線與AC的交點(diǎn).AFFC（1）如果E是AD的中點(diǎn)，求證:（2）由（1）知，當(dāng)E是AD中點(diǎn)時(shí)，”-成立，若E是AD上任意一點(diǎn) FC 2 ED（與八

10、、D不重合），上述結(jié)論是否仍然成立，若成立請(qǐng)寫出證明，若不成立， 請(qǐng)說明理由.【鞏固】（天津市競(jìng)賽題）如圖，已知 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD 上的一點(diǎn)，且 BE AC ,延長BE交AC于F 。求證：AF EF ?！纠?】（寧德市中考題）如圖， ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，延長AD至E,延長AB交CE的延長線于P。若AD 2DE ,求證：AP 3AB 0【鞏固】（濟(jì)南市中考題；安徽省中考題）如圖, 別是AB, AC的中點(diǎn)，貝IJ DE -a;若D2、E2分別是D-B、E-C的中點(diǎn),則D2E2ABC 中，BC a ,若 D- , EI分1 a一一 a2 2a- -a若D3、E3分別是

11、D2B、E2c的中點(diǎn)，則D3E3若Dn、巳分別是DnjB、的中點(diǎn)，則口口2 專題三、利用平行線轉(zhuǎn)化比例【例8】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O ,直線l平行于BD ,且 與AB、DC、BC、AD及AC的延長線分別相交于點(diǎn) M、N、R、S和P .求證：PM PN PR PS【鞏固】已知，如圖，四邊形ABCD，兩組對(duì)邊延長后交于E、F，對(duì)角線BD II EF , AC的延長線交 EF于G .求證：EG GF .【例9】已知：P為ABC的中位線MN上任意一點(diǎn),FBP、CP的延長線分別交對(duì)邊AC、AB于D、E,求證：股延1 DC EB【例10在ABC中，底邊BC上的兩點(diǎn)E、F把BC三等分

12、，BM是AC上的中線，AE、AF分別交BM于G、H 兩點(diǎn)，求證： BG:GH:HM 5:3: 2BEFC【例11 如圖，M、N為ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且滿足BM MN NC , 一條 平行于AC的直線分別交AB、AM和AN的延長線于點(diǎn)D、E和F .求證：EF 3DE .【例12已知：如圖，在梯形ABCD中，AB/CD , M是AB的中點(diǎn)，分別連接AC、BD、MD、MC ,且AC與MD交于點(diǎn)E , DB與MC交于F .(1)求證：EF / /CD (2)若 AB a , CD b ,求 EF 的長【鞏固】 如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC , AD 3, BC 9, AB 6, CD 4,若EF / BC ,且梯形AEFD與梯形EBCF的周長相等，求EF的長。【例13(山東省競(jìng)賽題)如圖，YABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,在AB的延長線上任取一點(diǎn)E ,連接OE交BC于點(diǎn)F ,若AB a , AD c, BE b ,求BF的值?！纠?4】已知等腰直角 ABC中，E、D分別為直角邊BC、AC上的點(diǎn)，且CE CD，過E、D分別