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1、How can multiple regression handle nonlinear relationships?為何迴歸稱之為”線性”迴歸?當(dāng)我們不知道真正關(guān)聯(lián)的型式時，我們從最簡單的關(guān)係著手。即使真正的關(guān)連形式不是線性，線性關(guān)係往往也是真正關(guān)係形式很好的近似值。我們可以很容易修改線性關(guān)係來代表非線性關(guān)係的形式。汽車防盜器 8/31/20221CopyrightKuo-Hsien Su 2002Proportion and percentagesProportion小數(shù)點百分比：二位整數(shù)例：男性所佔的比例為.82，男性佔82%8/31/20222CopyrightKuo-Hsien Su

2、 2002Proportionate change or relative changeProportionate change （比例變動）: divide the change of x by its initial value.Percentage change （百分比變動）:Percentage point change (百分點的變動）：兩個百分比分數(shù)的差距8/31/20223CopyrightKuo-Hsien Su 2002Proportionate change or relative change調(diào)薪之後，蘇老師的薪水從75000變成77250，今年的加薪幅度為(77250

3、-75000)/75000 = 0.03或100(0.03)%蘇老師的家庭負擔(dān)從60000漲成69525，從原來的80%變成90%，百分點的變動增加了10個百分點。家庭負擔(dān)的比例變動為增加了百分之12.58/31/20224CopyrightKuo-Hsien Su 2002The natural logarithm在之前的電腦練習(xí)中，我們曾經(jīng)介紹過如何將非常態(tài)分配的變數(shù)（如收入）透過log的轉(zhuǎn)換之後變成常態(tài)分配。一般而言，在做log轉(zhuǎn)換時，我們同常使用以e (e=2.71828)為底的自然對數(shù)natural log。8/31/20225CopyrightKuo-Hsien Su 2002Th

4、e natural logarithm將等號兩邊取exponential。8/31/20226CopyrightKuo-Hsien Su 2002The natural logarithm將依變數(shù)取log有幾個優(yōu)點：常態(tài)化有些變數(shù)的值不可能為負（如收入），取log之後可以確保無論B及X的數(shù)值為何，y的預(yù)測值永遠為正。X對Y的影響解釋有特殊的意涵8/31/20227CopyrightKuo-Hsien Su 2002The natural logarithm在普通線性關(guān)係中，迴歸係數(shù)的解釋為每增加一單位x1，對於y值所造成的絕對量的變動。將y取log後，迴歸係數(shù)可以解釋成每單位X的改變，對Y所造

5、成的百分比的變動。8/31/20228CopyrightKuo-Hsien Su 2002The natural logarithm其他條件不變，年資每增加一年，收入增加8.9千元。其他條件不變，教育年數(shù)每增加一年，收入增加3.3萬元8/31/20229CopyrightKuo-Hsien Su 2002The natural logarithm假設(shè)年資為0，教育程度從9年增加成10年，收入增加多少？此一年的收入增加了多少百分比（比起教育程度為9年的收入）？gen lnincome=ln(income)8/31/202210CopyrightKuo-Hsien Su 2002The natur

6、al logarithm教育程度10年的收入教育程度9年的收入20.313百分比變動=20.313/308.3391 = 6.5879%8/31/202211CopyrightKuo-Hsien Su 2002The natural logarithm假設(shè)年資為0，教育程度從16年增加成17年，收入增加多少？此一年的收入增加了多少百分比（比起教育程度為16年的收入）？教育程度17年的收入教育程度16年的收入31.7492百分比變動=31.7492/328.6522 = 6.5879%8/31/202212CopyrightKuo-Hsien Su 2002The natural logarit

7、hm教育程度從9年增加成10年，收入增加20.313教育程度從16年增加成17年，收入增加31.749但兩者所造成的百分比變動皆為：當(dāng)依變數(shù)取log後，迴歸係數(shù)可以解釋成對Y所造成百分比的變動8/31/202213CopyrightKuo-Hsien Su 2002Models involving polynomials在迴歸方程式中，有時自變數(shù)以二次項(parabola)或三次項(cubic polynomial)的型態(tài)出現(xiàn)。X年資收入8/31/202214CopyrightKuo-Hsien Su 2002Quadratic Function二次函數(shù)當(dāng)B10 B20時，此曲線有極大值，且極

8、大值為：我們稱上述函數(shù)為具有遞減邊際效果(diminishing marginal effect)，其斜率為：其斜率不是一個固定值，隨x值不同而有變化。8/31/202215CopyrightKuo-Hsien Su 2002Quadratic Function二次函數(shù)8/31/202216CopyrightKuo-Hsien Su 2002Quadratic Function二次函數(shù)X=2, slop = 0X=1, slop = 4X=3, slop = -48/31/202217CopyrightKuo-Hsien Su 2002二次式模型8/31/202218CopyrightKuo-

9、Hsien Su 2002二次式模型gen agesqr = age*age8/31/202219CopyrightKuo-Hsien Su 2002二次式模型8/31/202220CopyrightKuo-Hsien Su 2002How can I check for nonlinearity?從scatterplots看資料分佈的情形。加入二次項檢視其迴歸係數(shù)是否顯著。以dummy variable 來檢查非線性關(guān)係。練習(xí)：檢查教育程度與收入是否具有非線性關(guān)係？8/31/202221CopyrightKuo-Hsien Su 2002How can I check for nonline

10、arity?8/31/202222CopyrightKuo-Hsien Su 2002How can I check for nonlinearity?qfit :quadratic prediction plot8/31/202223CopyrightKuo-Hsien Su 2002How can I check for nonlinearity?8/31/202224CopyrightKuo-Hsien Su 2002二次項顯著表示非線性的適合度可能較好8/31/202225CopyrightKuo-Hsien Su 2002以dummy來檢驗非線性關(guān)係omit category 為0-6年的教育程度。recode educ (7/9=2)(else=0), gen(ed2) recode educ (10/12=1)(else=0), gen(ed3) recode educ (13/16=1)(else=0), gen(ed4) recode educ (17/max=1)(else=0), gen(ed5) 8/31/202226CopyrightKuo-Hsien Su 2002以dummy來檢驗非線性關(guān)係8/31/202227CopyrightKuo-Hsien Su 2002練習(xí)分析年資與性別對於收入的影響。控制性別後，年資是否對於收入有非線性