量子力學(xué) 第二章 算符理論

1、第二章（一維）算符理論本章提要：本章從線性變換和微分算子出發(fā)，建立算符理論統(tǒng)一它們來(lái)處理觀測(cè)行為，引入觀測(cè)公設(shè)。接著，從觀測(cè)值=本征值為實(shí)數(shù)的要求出發(fā)，找到了符合條件的厄米矩陣來(lái)描述力學(xué)量，引入算符公設(shè)。之后介紹了運(yùn)算法則、基本的位置和動(dòng)量算符、復(fù)合算符的對(duì)易子、哈密頓算符等。最后，作為對(duì)上述內(nèi)容的綜合應(yīng)用，討論了不確定性原理。算符：每一個(gè)可觀測(cè)量，在態(tài)空間中被抽象成算符。在態(tài)空間中，觀測(cè)行為被抽象為，某可測(cè)量對(duì)應(yīng)的算符作用在態(tài)矢量上線性變換：線性代數(shù)告訴我們，一個(gè)線性變換作用到n維向量上會(huì)獲得一個(gè)新的n維向量，這等價(jià)于一個(gè)n階方陣作用在n行1列矩陣上得到新的n行1列矩陣，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表示為P

2、=TG）ob二Ta?？傊?，方陣與線性變換對(duì)應(yīng)。由于方陣性質(zhì)比矩陣更豐富，我們將只研究方陣。微分算子：在微積分中，4也可簡(jiǎn)寫成Df,D2f,Vf,V2f。前兩種在解dxdx2dxdx2i歐拉方程和高階方程式時(shí)常用，后兩種則經(jīng)常出現(xiàn)在矢量分析中。簡(jiǎn)寫法可看作是微分算子作用在函數(shù)上，我們知道它遵守加法和數(shù)乘法則，是一種線性運(yùn)算本征值和本征矢：在矩陣方程Ax=九x中，把九稱為矩陣本征值，x稱為矩陣的本征矢本征值和本征函數(shù)：在微分方程Dmixf二叮中，把卩稱為問(wèn)題本征值，f稱為本征函數(shù)線性算符：現(xiàn)在把上述概念統(tǒng)一為線性算符理論。/八八考慮一個(gè)可測(cè)量Q，定義它的對(duì)應(yīng)算符為Q,它的本征方程是Q|屮：=九|屮

3、；：或。屮=九屮，把九稱為算符的本征值，九的取值集合稱為算符的譜|屮稱為算符的本征態(tài)（或本征矢），屮稱為算符的本征函數(shù)（注意：有時(shí)也把|屮；記作本征值的對(duì)應(yīng)本征態(tài)x，如后面將遇到的坐標(biāo)算符本征態(tài)|x動(dòng)量算符本征態(tài)|V：第三公設(shè)一一觀測(cè)公設(shè):對(duì)于量子系統(tǒng)測(cè)量某個(gè)量Q，這過(guò)程可以抽象為對(duì)應(yīng)的算符Q作用于系統(tǒng)粒子的態(tài)矢量|屮；，測(cè)量值只能為算符Q的本征值-。在這次測(cè)量后，假設(shè)得到測(cè)量值片，則意味著系統(tǒng)狀態(tài)|屮：此時(shí)已坍縮到對(duì)應(yīng)于本征值勺的Q的本征態(tài)卜（觀測(cè)的影響：測(cè)量任何力學(xué)量都必須使用儀器。在觀測(cè)的過(guò)程中，探測(cè)儀器不可避免地要與被測(cè)粒子發(fā)生相互作用：例如，要觀測(cè)粒子的自旋，必須外加磁場(chǎng)）厄米矩陣：

4、根據(jù)實(shí)際要求觀測(cè)量應(yīng)為實(shí)數(shù)，即算子對(duì)應(yīng)的矩陣的本征值為實(shí)數(shù)，我們找到這樣的矩陣，在數(shù)學(xué)上稱為厄米矩陣（自共軛矩陣）厄米矩陣定義：方陣A任一元素滿足a丄），稱方陣為厄米矩陣，記作AH=A.jj.由這個(gè)定義，今后就把轉(zhuǎn)置共軛稱作厄米共軛厄米矩陣性質(zhì)：（1）本征值是實(shí)數(shù)（2）不同本征值對(duì)應(yīng)的本征矢正交（3）本征矢量構(gòu)成一組完備基（經(jīng)施密特規(guī)范正交化就得到標(biāo)準(zhǔn)正交完備基）第二公設(shè)一一可觀測(cè)量公設(shè)（算符公設(shè)：每個(gè)可觀測(cè)量Q都有其對(duì)應(yīng)的厄米算符Q，算符的所有本征矢組成一個(gè)完備基線性厄米算符的運(yùn)算法則：基本運(yùn)算：（1）Af=Bf,A=B（2）單位算符if=f,九二1八八八/八八I八/(3)Af+Ag=A(f

5、+g丿Af+Bf=n+B丿fV/V/I八丿I八八丿(5)A+%+CJ=%+B作C(6)B冷=%Af(般地AB豐BA)算符作用在態(tài)矢（在坐標(biāo)表象下）:（1）回顧投影式：匕丸忙：，：y|=i=1，c*二jci=呂忙2）算符作用在右矢/左矢的矩陣表示（這要求本征值必須是離散的?。?P.M|a；=|p：nEe同eea：=:e|p：n工Ma=pnMajj(aNN=(pn工aej(eNej:=：pe-n工a*N=p*na*Nii*jjiijjij由此可得a*N=P*nN*a=pnN*=MnM=Nh=Njj.j.j.j.j此結(jié)論可簡(jiǎn)單表述為：同一算符作用在右矢與作用在左矢得到的結(jié)果構(gòu)成厄米共軛(3)算符的

6、矩陣形式：由上可知M=(eMeijI(4)厄米算符判別條件：【a卩:匸Q訓(xùn))|qQ卩:=a+Qb)=G+a)b=Qha算符對(duì)函數(shù)作用時(shí)，條件改為：,Q卩)=a，卩)4位置算符：X是一個(gè)極其特殊的厄米算符，它的本征函數(shù)系平方不可積但是完備本征方程：Xg二xg二九g本征值：本征值的集合就是實(shí)數(shù)集R，這種本征值取值連續(xù)的情況稱為連續(xù)譜相應(yīng)地，本征值取值離散的情況稱為離散譜本征函數(shù)：除了點(diǎn)X二九之外g取值都是0,考慮歸一化要求有g(shù)迂BS(x-九)(g,g)=|B|26(X-X)Tg，本征函數(shù)規(guī)格化：雖然無(wú)法歸一化，但可考慮用函數(shù)代替克羅內(nèi)克符號(hào)5.ij于是有規(guī)格化處理g=5(x九)，(g,g)=5(x

7、x),簡(jiǎn)寫作(x,x)=5(x-x)九Xx5.動(dòng)量算符：p=-說(shuō)D和X相同，它的本征函數(shù)系平方不可積但是完備從X到p:推導(dǎo)過(guò)程留在本章結(jié)尾本征方程：Pf=-滴Df=f=dfdX=(心力)f本征值：本征值的集合是實(shí)數(shù)集R，本征值可直接記作P本征函數(shù)：f=AelhX，(f,f)=|AI21gdXTg，(f,f)=|a|22兀力5匕-p)尢xxg入p(*5函數(shù)的傅里葉變換公式：5(k)=IgeikxdX)g2兀本征函數(shù)規(guī)格化：f=eTX，(f,f)=5(pp)，簡(jiǎn)寫作(p,p)=5(pp)p2兀hpp6對(duì)易子：一般地AB豐BA，不妨定義運(yùn)算L,BIAB-BA，稱為對(duì)易子八/八八八八八八八八對(duì)易子的性

8、質(zhì)：(1)久B+B，A丄0(2)久B+C丄,B+%,C八八八八/八八八|/八/八八八八八八卜(3)ABC=BAC+ABC,ABC=AB,C+ACB4）（4）雅可比恒等式：R,B,+B,卜,+C,a,b=o位置-動(dòng)量對(duì)易關(guān)系（最基本）：kp=滴，進(jìn)一步地L,pL淤kjjk哈密頓量-力學(xué)量算符對(duì)易關(guān)系：學(xué)=總,Q1+特別地，如果Q不顯含時(shí)且b,Q10，那么力學(xué)量Q是守恒量7不確定性原理：aacB1）解說(shuō)：當(dāng)12i，其中aq=|（q;q;）|f；|（方差定義）0，稱兩算符可對(duì)易，此時(shí)存在|屮令二二0即A,B在該狀態(tài)下的觀測(cè)值可以同時(shí)確定當(dāng)L,B10，稱兩算符不可對(duì)易，若a=0，則aT8AB即A的觀測(cè)

9、值確定時(shí)，無(wú)論如何都無(wú)法確定B的觀測(cè)值（反之亦然）（2）算符相容性：1,B10稱兩算符相容，此時(shí)它們有共同的本征態(tài)和本征函數(shù)力力（3）位置-動(dòng)量不確定性關(guān)系：aa或?qū)懽鰽xApxp22能量-時(shí)間不確定性關(guān)系：ahAB，其中AdqQ/表示Q變化aq所用時(shí)間本征值還是平均值？：當(dāng)a=a=0，易知AB顯然這是算符Q的本征方程，|屮是本征態(tài)，：:Q】是平均值又是本征值，這是怎么一回事？粒子狀態(tài)對(duì)測(cè)量結(jié)果有什么影響？答案見第三章2不妨設(shè)z=；ab，考察；a|b代入麗昭B歸一條件-z-z*l丁丿8.附錄1：不確定性原理的推導(dǎo)，故b2=：;a|a；：,方差bQ=|（Q-（Q）M=|q|2二伽根據(jù)柯西-施瓦茨不等式有（a|aXbbSb2，對(duì)任意復(fù)數(shù)有|zI2Gm（z弧二同理有z*=ab*=：b|a：BA；B：A,代入得b2b2此過(guò)程來(lái)源于量子力學(xué)導(dǎo)論3.4節(jié)，格里夫斯著）附錄2：從X到p的推導(dǎo)過(guò)程（波動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)）已知一維薛定譚方程一般形式為彷7dt-h2d2+V屮l2mdx2丿整理為罕=dtihd2屮2mdx2ihd2屮*2mdx2d屮d屮dtdtd2屮d2屮*“八ihdd屮d屮*“八屮*-屮屮*-屮ldx2dx2丿2mdxldxdx丿+嚴(yán)*屮埠二ih_2mid屮*，方程兩邊取共轆得百=