量子力學 第二章 算符理論

1、第二章（一維）算符理論本章提要：本章從線性變換和微分算子出發(fā)，建立算符理論統(tǒng)一它們來處理觀測行為，引入觀測公設。接著，從觀測值=本征值為實數(shù)的要求出發(fā)，找到了符合條件的厄米矩陣來描述力學量，引入算符公設。之后介紹了運算法則、基本的位置和動量算符、復合算符的對易子、哈密頓算符等。最后，作為對上述內容的綜合應用，討論了不確定性原理。算符：每一個可觀測量，在態(tài)空間中被抽象成算符。在態(tài)空間中，觀測行為被抽象為，某可測量對應的算符作用在態(tài)矢量上線性變換：線性代數(shù)告訴我們，一個線性變換作用到n維向量上會獲得一個新的n維向量，這等價于一個n階方陣作用在n行1列矩陣上得到新的n行1列矩陣，用數(shù)學語言可表示為P

2、=TG）ob二Ta?？傊疥嚺c線性變換對應。由于方陣性質比矩陣更豐富，我們將只研究方陣。微分算子：在微積分中，4也可簡寫成Df,D2f,Vf,V2f。前兩種在解dxdx2dxdx2i歐拉方程和高階方程式時常用，后兩種則經(jīng)常出現(xiàn)在矢量分析中。簡寫法可看作是微分算子作用在函數(shù)上，我們知道它遵守加法和數(shù)乘法則，是一種線性運算本征值和本征矢：在矩陣方程Ax=九x中，把九稱為矩陣本征值，x稱為矩陣的本征矢本征值和本征函數(shù)：在微分方程Dmixf二叮中，把卩稱為問題本征值，f稱為本征函數(shù)線性算符：現(xiàn)在把上述概念統(tǒng)一為線性算符理論。/八八考慮一個可測量Q，定義它的對應算符為Q,它的本征方程是Q|屮：=九|屮

3、；：或。屮=九屮，把九稱為算符的本征值，九的取值集合稱為算符的譜|屮稱為算符的本征態(tài)（或本征矢），屮稱為算符的本征函數(shù)（注意：有時也把|屮；記作本征值的對應本征態(tài)x，如后面將遇到的坐標算符本征態(tài)|x動量算符本征態(tài)|V：第三公設一一觀測公設:對于量子系統(tǒng)測量某個量Q，這過程可以抽象為對應的算符Q作用于系統(tǒng)粒子的態(tài)矢量|屮；，測量值只能為算符Q的本征值-。在這次測量后，假設得到測量值片，則意味著系統(tǒng)狀態(tài)|屮：此時已坍縮到對應于本征值勺的Q的本征態(tài)卜（觀測的影響：測量任何力學量都必須使用儀器。在觀測的過程中，探測儀器不可避免地要與被測粒子發(fā)生相互作用：例如，要觀測粒子的自旋，必須外加磁場）厄米矩陣：

4、根據(jù)實際要求觀測量應為實數(shù)，即算子對應的矩陣的本征值為實數(shù)，我們找到這樣的矩陣，在數(shù)學上稱為厄米矩陣（自共軛矩陣）厄米矩陣定義：方陣A任一元素滿足a丄），稱方陣為厄米矩陣，記作AH=A.jj.由這個定義，今后就把轉置共軛稱作厄米共軛厄米矩陣性質：（1）本征值是實數(shù)（2）不同本征值對應的本征矢正交（3）本征矢量構成一組完備基（經(jīng)施密特規(guī)范正交化就得到標準正交完備基）第二公設一一可觀測量公設（算符公設：每個可觀測量Q都有其對應的厄米算符Q，算符的所有本征矢組成一個完備基線性厄米算符的運算法則：基本運算：（1）Af=Bf,A=B（2）單位算符if=f,九二1八八八/八八I八/(3)Af+Ag=A(f

5、+g丿Af+Bf=n+B丿fV/V/I八丿I八八丿(5)A+%+CJ=%+B作C(6)B冷=%Af(般地AB豐BA)算符作用在態(tài)矢（在坐標表象下）:（1）回顧投影式：匕丸忙：，：y|=i=1，c*二jci=呂忙2）算符作用在右矢/左矢的矩陣表示（這要求本征值必須是離散的?。?P.M|a；=|p：nEe同eea：=:e|p：n工Ma=pnMajj(aNN=(pn工aej(eNej:=：pe-n工a*N=p*na*Nii*jjiijjij由此可得a*N=P*nN*a=pnN*=MnM=Nh=Njj.j.j.j.j此結論可簡單表述為：同一算符作用在右矢與作用在左矢得到的結果構成厄米共軛(3)算符的

6、矩陣形式：由上可知M=(eMeijI(4)厄米算符判別條件：【a卩:匸Q訓)|qQ卩:=a+Qb)=G+a)b=Qha算符對函數(shù)作用時，條件改為：,Q卩)=a，卩)4位置算符：X是一個極其特殊的厄米算符，它的本征函數(shù)系平方不可積但是完備本征方程：Xg二xg二九g本征值：本征值的集合就是實數(shù)集R，這種本征值取值連續(xù)的情況稱為連續(xù)譜相應地，本征值取值離散的情況稱為離散譜本征函數(shù)：除了點X二九之外g取值都是0,考慮歸一化要求有g迂BS(x-九)(g,g)=|B|26(X-X)Tg，本征函數(shù)規(guī)格化：雖然無法歸一化，但可考慮用函數(shù)代替克羅內克符號5.ij于是有規(guī)格化處理g=5(x九)，(g,g)=5(x

7、x),簡寫作(x,x)=5(x-x)九Xx5.動量算符：p=-說D和X相同，它的本征函數(shù)系平方不可積但是完備從X到p:推導過程留在本章結尾本征方程：Pf=-滴Df=f=dfdX=(心力)f本征值：本征值的集合是實數(shù)集R，本征值可直接記作P本征函數(shù)：f=AelhX，(f,f)=|AI21gdXTg，(f,f)=|a|22兀力5匕-p)尢xxg入p(*5函數(shù)的傅里葉變換公式：5(k)=IgeikxdX)g2兀本征函數(shù)規(guī)格化：f=eTX，(f,f)=5(pp)，簡寫作(p,p)=5(pp)p2兀hpp6對易子：一般地AB豐BA，不妨定義運算L,BIAB-BA，稱為對易子八/八八八八八八八八對易子的性

8、質：(1)久B+B，A丄0(2)久B+C丄,B+%,C八八八八/八八八|/八/八八八八八八卜(3)ABC=BAC+ABC,ABC=AB,C+ACB4）（4）雅可比恒等式：R,B,+B,卜,+C,a,b=o位置-動量對易關系（最基本）：kp=滴，進一步地L,pL淤kjjk哈密頓量-力學量算符對易關系：學=總,Q1+特別地，如果Q不顯含時且b,Q10，那么力學量Q是守恒量7不確定性原理：aacB1）解說：當12i，其中aq=|（q;q;）|f；|（方差定義）0，稱兩算符可對易，此時存在|屮令二二0即A,B在該狀態(tài)下的觀測值可以同時確定當L,B10，稱兩算符不可對易，若a=0，則aT8AB即A的觀測

9、值確定時，無論如何都無法確定B的觀測值（反之亦然）（2）算符相容性：1,B10稱兩算符相容，此時它們有共同的本征態(tài)和本征函數(shù)力力（3）位置-動量不確定性關系：aa或寫作AxApxp22能量-時間不確定性關系：ahAB，其中AdqQ/表示Q變化aq所用時間本征值還是平均值？：當a=a=0，易知AB顯然這是算符Q的本征方程，|屮是本征態(tài)，：:Q】是平均值又是本征值，這是怎么一回事？粒子狀態(tài)對測量結果有什么影響？答案見第三章2不妨設z=；ab，考察；a|b代入麗昭B歸一條件-z-z*l丁丿8.附錄1：不確定性原理的推導，故b2=：;a|a；：,方差bQ=|（Q-（Q）M=|q|2二伽根據(jù)柯西-施瓦茨不等式有（a|aXbbSb2，對任意復數(shù)有|zI2Gm（z弧二同理有z*=ab*=：b|a：BA；B：A,代入得b2b2此過程來源于量子力學導論3.4節(jié)，格里夫斯著）附錄2：從X到p的推導過程（波動力學觀點）已知一維薛定譚方程一般形式為彷7dt-h2d2+V屮l2mdx2丿整理為罕=dtihd2屮2mdx2ihd2屮*2mdx2d屮d屮dtdtd2屮d2屮*“八ihdd屮d屮*“八屮*-屮屮*-屮ldx2dx2丿2mdxldxdx丿+嚴*屮埠二ih_2mid屮*，方程兩邊取共轆得百=