例談?wù)n本例題的應(yīng)用與拓展

1、 PAGE 7例談?wù)n本例題的應(yīng)用與拓展課本上的例題往往是經(jīng)過精心篩選后設(shè)置的，具有一定的示范性、典型性、探索性在教學(xué)中要善于以這些例題為原形進行適當(dāng)?shù)囊?、拓展和解題后的反思，這不但使例題的教學(xué)功能得到充分的發(fā)揮，而且有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探索、創(chuàng)新意識，使之不斷提高觀察問題、分析問題、解決問題的能力通過借題發(fā)揮，適當(dāng)變換、引申、拓展，培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性與創(chuàng)造性下面就以一道課本例題為例，加以闡述課本例題：如圖，要在管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？（人教版八年級上冊第131頁探究）ABQAPl分析：作點A關(guān)于直線l的對稱點

2、A，連結(jié)AB交直線l于點P，則P就是所求的點由對稱性可知PAPBPAPBAB證明PAPB最短：在直線l上取一點異于P的點Q，連結(jié)QA，QB，QA，由對稱性得QAQBQAQB，在QAB中，由二邊之和大于第三邊得QAQBAB，當(dāng)Q在直線AB上時才有QAQBAB，此時點Q和點P重合因此總有PAPBAB，當(dāng)A、P、B三點共線時取等號，此時PAPB的值最短實際上，有不少求線段和最短（或最?。┑膯栴}，都是以該例題為背景，或簡單應(yīng)用、或拓展應(yīng)用這要求我們在解決相關(guān)問題時要善于提煉、抽象出問題的本質(zhì)，從而化歸為本例題模型來解答一、簡單應(yīng)用這一類應(yīng)用只需要作一次對稱就可以，問題相應(yīng)較為簡單，直接運用課本例題的解

3、題思路解答即可ACBED圖2FACBED圖1例1如圖1，在ABC中，ACBC2，ACB90，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則ECED的最小值是_分析：如圖2，作點C關(guān)于AB的對稱點F，連結(jié)FD交AB于E，連結(jié)EC、FB，ECED的最小值即就是FD的長度不難證明ABCFBC，進一步證明ACDFBD，則FDADeq r(,5)，ECED的最小值為eq r(,5)例2如圖3，已知矩形ABCD的邊長AB2，BC3，點P是AD邊上的一動點（P異于A、D），Q是BC邊上的任意一點連AQ、DQ，過P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F略；當(dāng)Q在何處時，ADQ的周長最小？（須給出確定Q在何處的過

4、程或方法，不必給出證明）（2005年無錫市中考題）ABCDEFQPQD圖3分析：求ADQ的周長最小，實質(zhì)上就是求ADDQ最小于是，作點D關(guān)于BC的對稱點D，連結(jié)AD交BC于點Q，顯見Q是BC的中點，從而易求ADQ的周長最小值為ADDQAQADAD38當(dāng)點Q為BC的中點時，ADQ的周長最小，其最小值為8ABOPMNABOPMNC圖5圖6例3如圖5，A是半O的三等分點，B是的中點，P點為直徑MN上的一個動點，O的半徑為1，則PAPB的最小值等于_ 分析：如圖6，由圓本身的軸對稱性可知：點A關(guān)于MN的對稱點為O上一點C，連結(jié)OB、OC，連結(jié)BC交MN于點P，則PAPB的最小值就是BC的長度，易求BO

5、C90，進而求出BC長為eq r(,2)，則PAPB的最小值為eq r(,2)例4如圖7，點A、B的坐標分別為（1，1）、（3，2），P為x軸上一點，且P到A，B的距離之和最小，則P的坐標為_OyxA圖7BAP分析：作點A關(guān)于x軸的對稱點A（1，1），連結(jié)AB交x軸于點P，則點P就是所示的點先求經(jīng)過A（1，1），B（3，2）的直線解析式為：，則該直線與x軸交點P的坐標為P（eq f(1,3)，0）例5如圖8，矩形OABC中OA6，OC2eq r(,3)，AOX30求A、B、C三點的坐標拋物線經(jīng)過A、B、C三點，求其解析式并求拋物線的對稱軸OyxABC圖8P在中拋物線的對稱軸上找一點P使PBA的

6、周長最小，求出P點坐標并寫出周長的最小值分析：第問，A點坐標（3eq f(,)eq r(,3)，3），B點坐標（2eq r(,3)，6），C點坐標（eq r(,3)，3）第問，拋物線解析式為，對稱軸為直線第問，因為線段AB的長已定，故要使PBA的周長最小，只要PAPB最小即可由拋物線本身的軸對稱性可知，點A關(guān)于對稱軸對稱的點在拋物線上，且它的縱坐標與點A的縱坐標相等，又C點的縱坐標與A點的縱坐標相等，故點A關(guān)于對稱軸對稱的點是C點因此，直線BC與對稱軸的交點即為P點，且PAPB最小值為BC的長，最終不難求出PBA的周長的最小值為62eq r(,3)二、拓展應(yīng)用與簡單應(yīng)用不同的是，這一類應(yīng)用往往

7、是求三條線段和最?。ɑ蜃疃蹋┑膯栴}，需要作二次對稱才能解決，思維過程相應(yīng)較為復(fù)雜，是課本例題的深入與拓展ABMNl（河流）草地圖9ABDE例6如圖9，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線（人教版八年級上冊第137頁拓廣探索第9題）分析：如圖9，MN左上方區(qū)域是草地，直線l表示河流，作點A關(guān)于MN的對稱點A，點B關(guān)于l的對稱點B，連結(jié)AB，交MN于點D，交l于點E，連結(jié)AD、BE路線ADEB就是他這一天的最短路線例7如圖10，公園內(nèi)有兩條河OM、ON在點O處匯合，MON60，兩河形成的半島上有一處古跡P現(xiàn)計

8、劃在兩條小河上各建一座小橋Q和R，并在半島上修三段小路分別連結(jié)兩座小橋Q、R和古跡P若古跡P到兩條小河的距離都是50米，則這三段小路長度之和的最小值為_米（2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽山東賽區(qū)預(yù)賽第12題）MNOPQRPeq sdo3(1)Peq sdo3(2)圖10分析：如圖10，作點P關(guān)于OM和ON的對稱點Peq sdo3(1)，Peq sdo3(2)連接Peq sdo3(1)Peq sdo3(2)，分別交OM，ON于點Q，R，則PQQRRP即為所求的最小值在PPeq sdo3(1)Peq sdo3(2)中，PPeq sdo3(1)PPeq sdo3(2)100，Peq sdo3(1)PPe

9、q sdo3(2)120，Peq sdo3(1)Peq sdo3(2)30，易求Peq sdo3(1)Peq sdo3(2)300三段小路長度之和的最小值PQQRRP300米例8如圖11，已知拋物線y=axeq sup3(2)+bx+c與y軸交于點A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點（1）求此拋物線的解析式；OyxABC3MM3AEF圖11（2）若一個動點P自O(shè)A的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點(設(shè)為點E)，再到達拋物線的對稱軸上某點(設(shè)為點F)，最后運動到點A求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長（2006年北京中考題）分析：第問，拋物線解析式為第問，如圖9，易得M（0，eq f(3,2)），點M關(guān)于x軸的對稱點M（0，eq f(3,2)），點A關(guān)于對稱軸x3的對稱點A（6，3），