高中數(shù)學(xué)必修二 9.2 用樣本估計(jì)總體（精講）（含答案）

1、9.2 用樣本估計(jì)總體（精講）思維導(dǎo)圖常見考法考法一 總體取值規(guī)律的估計(jì)【例1】（2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）某市2020年4月1日4月30日對(duì)空氣污染指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如下(主要污染物為可吸入顆粒物):61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45，（1）完成頻率分布表；（2）作出頻率分布直方圖；（3）根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在050之間時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51100之間時(shí)，空間質(zhì)量為良；在101150之間時(shí)，空間質(zhì)量為輕微污染；在151200之間時(shí)，空間質(zhì)量為輕度

2、污染.請(qǐng)你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)該市的空氣質(zhì)量給出一個(gè)簡(jiǎn)短評(píng)價(jià).【答案】（1）頻率分布表見解析；（2）頻率分布直方圖見解析；（3）該市空氣質(zhì)量有待進(jìn)一步改善.【解析】（1）頻率分布表分組頻數(shù)頻率分組頻數(shù)頻率41，51)281，91)1051，61)191，101)561，71)4101，111)271，81)6（2）頻率分布直方圖（3）答對(duì)下述兩條中的一條即可:該市一個(gè)月中空氣污染指數(shù)有2天處于優(yōu)的水平，占當(dāng)月天數(shù)的；有26天處于良的水平，占當(dāng)月天數(shù)的；處于優(yōu)或良的天數(shù)共有28天，占當(dāng)月天數(shù)的.說(shuō)明該市空氣質(zhì)量基本良好.輕微污染有2天，占當(dāng)月天數(shù)的.污染指數(shù)在80以上的接近輕微污染的天數(shù)有

3、15天，加上處于輕微污染的天數(shù)，共有17天，占當(dāng)月天數(shù)的，超過(guò)50%.說(shuō)明該市空氣質(zhì)量有待進(jìn)一步改善.【一隅三反】1（2020全國(guó)高一單元測(cè)試）某市為提倡節(jié)約用水，準(zhǔn)備實(shí)行自來(lái)水“階梯計(jì)費(fèi)”方式，用戶用水不超出基本用水量的部分享受基本價(jià)格，超出基本用水量的部分實(shí)行超價(jià)收費(fèi)，為更好地決策，自來(lái)水公司隨機(jī)抽取了部分用戶的用水量數(shù)據(jù)，并繪制了如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖(每組數(shù)據(jù)包括右端點(diǎn)但不包括左端點(diǎn))，請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題：用戶用水量頻數(shù)直方圖 用戶用水量扇形統(tǒng)計(jì)圖（1）此次抽樣調(diào)查的樣本容量是_；（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，求扇形圖中“15噸20噸”部分的圓心角的度數(shù)；（3）如果自來(lái)水公司將基本用水

4、量定為每戶25噸，那么該地區(qū)6萬(wàn)用戶中約有多少用戶的用水全部享受基本價(jià)格【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析，79.2；（3）4.08萬(wàn)戶.【解析】（1）；（2）用水1520噸的戶數(shù)為100103624822(戶)，“1520噸”部分的圓心角的度數(shù)為（3）(萬(wàn)戶)所以該地區(qū)6萬(wàn)用戶中約有4.08萬(wàn)戶的用水全部享受基本價(jià)格2（2020全國(guó)高一單元測(cè)試）對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率10，15）100.2515，20）25n20，25）mp25，302

5、0.05合計(jì)M1（1）求出表中M，p及圖中a的值；（2）若該校高一學(xué)生有360人，試估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間10，15）內(nèi)的人數(shù).【答案】（1）M40，；（2）90人.【解析】（1）由10，15）內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25知，所以M40.因?yàn)轭l數(shù)之和為40，所以1025m240，m3.因?yàn)閍是對(duì)應(yīng)分組15，20）的頻率與組距的商，所以.（2）因?yàn)樵撔８咭粚W(xué)生有360人，分組10，15）內(nèi)的頻率是0.25，所以估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為90人.3（2021北京豐臺(tái)區(qū)）為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計(jì)局調(diào)查了100戶居民去年一年的月均用電量，發(fā)現(xiàn)他

6、們的用電量都在50kWh至350kWh之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后，畫出頻率分布直方圖如圖所示（I）求a的值；（）求被調(diào)查用戶中，用電量大于250kWh的戶數(shù)；（III）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計(jì)劃采用階梯定價(jià)，希望使80%的居民繳費(fèi)在第一檔（費(fèi)用最低），請(qǐng)給出第一檔用電標(biāo)準(zhǔn)（單位：kWh）的建議，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由【答案】（I）；（）；（III） kWh.【解析】（1）因?yàn)?，所以；?）根據(jù)頻率分布直方圖可知：“用電量大于250kWh”的頻率為，所以用電量大于250kWh的戶數(shù)為：，故用電量大于250kWh有戶；（3）因?yàn)榍叭M的頻率和為：，前四組的頻率之和為，所以頻率

7、為時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)在第四組，所以第一檔用電標(biāo)準(zhǔn)為：kWh.故第一檔用電標(biāo)準(zhǔn)為 kWh.4（2021陜西咸陽(yáng)市）某微商對(duì)某種產(chǎn)品每天的銷售量（單位：件）進(jìn)行為期一個(gè)月（按30天計(jì)算）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，并得出了這種產(chǎn)品該月銷售量的頻率分布直方圖（如圖）.假設(shè)用直方圖中所得的頻率來(lái)估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（）求頻率分布直方圖中的值；（）若微商在一天的銷售量不低于25件，則上級(jí)商企會(huì)給微商贈(zèng)送100元的禮金，估計(jì)該微商在一年內(nèi)獲得的禮金數(shù).【答案】（）0.02；（）10800元.【解析】（）由題意可得（）根據(jù)頻率分布直方圖知，日銷售量不低于25件的天數(shù)為：（天），一個(gè)月可獲得的禮金數(shù)為（元），依此可以估計(jì)該

8、微商一年內(nèi)獲得的禮金數(shù)為元.【點(diǎn)睛】本題考查頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查樣本估計(jì)總體以及運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題考法二 總體百分?jǐn)?shù)的估計(jì)【例2】（2020天津和平區(qū)）已知一組數(shù)據(jù)為第百分位數(shù)是（ ）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)橛?位數(shù)，所以，所以第百分位數(shù)是第三個(gè)數(shù)6.故選：C【一隅三反】1（2020山東菏澤市高一期末）數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6的60%分位數(shù)為（ ）A3B3.5C3.6D4【答案】D【解析】由660%=3.6，所以數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6的60%分位數(shù)是第四個(gè)數(shù)，故選：D2（2021山東高一期末）已知從某中學(xué)高一年級(jí)隨機(jī)抽取20名

9、女生，測(cè)量她們的身高（單位：cm），把這20名同學(xué)的身高數(shù)據(jù)從小到大排序：148.0 149.0 150.0 152.0 154.0 154.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 159.0 161.0 162.0 163.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（ ）A163.0B164.0C163.5D164.5【答案】A【解析】因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)從小到大已排序，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第個(gè)數(shù)，即為163.0故選：A3（2020山東濱州市高一期末）“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指

10、標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高，現(xiàn)隨機(jī)抽取6位小區(qū)居號(hào)，他們的幸福感指數(shù)分別為5，6，7，8，9，5，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（ ）A7B7.5C8D9【答案】C【解析】該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：5，5，6，7，8，9，且，故選：C.考法三 總體集中趨勢(shì)的估計(jì)【例3】（2021湖北荊州市）因受新冠疫情的影響，某企業(yè)的產(chǎn)品銷售面臨困難.為了改變現(xiàn)狀，該企業(yè)欲借助電商和“網(wǎng)紅”直播帶貨擴(kuò)大銷售.受網(wǎng)紅效應(yīng)的影響，產(chǎn)品銷售取得了較好的效果.現(xiàn)將該企業(yè)一段時(shí)間內(nèi)網(wǎng)上銷售的日銷售額統(tǒng)計(jì)整理后繪制成如下圖所示的頻率分布直方圖：請(qǐng)根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，求：（1）實(shí)數(shù)a的值；（2）

11、該企業(yè)網(wǎng)上銷售日銷售額的眾數(shù)和中位數(shù)；（3）該企業(yè)在統(tǒng)計(jì)時(shí)間段內(nèi)網(wǎng)上銷售日銷售額的平均數(shù).【答案】（1）0.012；（2）55萬(wàn)元，57萬(wàn)元；（3）57.4萬(wàn)元.【解析】（1）由頻率分布直方圖知：，解得：； （2）用頻率分布直方圖中最高矩形所在區(qū)間的中點(diǎn)值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)為55萬(wàn)元；因?yàn)榈谝粋€(gè)小矩形的面積為0.08，第二個(gè)小矩形的面積為0.12，第三個(gè)小矩形的面積為0.16，設(shè)第四個(gè)小矩形中底邊的一部分長(zhǎng)為x，則，解得，所以中位數(shù)為萬(wàn)元；（3）依題意，日銷售額的平均值為：所以該企業(yè)在統(tǒng)計(jì)時(shí)間段內(nèi)網(wǎng)上銷售日銷售額的平均數(shù)為57.4萬(wàn)元.【一隅三反】1（2020定邊縣第四中學(xué)高一期末）如圖

12、，從參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如圖，觀察圖形，回答下列問(wèn)題：（）79.5-89.5這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？（）估計(jì)這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平均成績(jī)是多少？（）估計(jì)這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的及格率（60分及以上為及格）.【答案】（）；（）；（）.【解析】（）這一組的頻率為，這一組的頻數(shù)為；（）估計(jì)這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平均成績(jī)是：.故估計(jì)這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平均成績(jī)是.（）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的及格率（分及以上為及格）.2（2021河北唐山市開灤第一中學(xué)高一期末）某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其物理成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段后畫出如下頻率分布直方圖觀察圖

13、形的信息，回答下列問(wèn)題：（1）估計(jì)這次考試的眾數(shù)m與中位數(shù)n（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）估計(jì)這次考試的優(yōu)秀率（80分及以上為及格）和平均分【答案】（1），；（2）優(yōu)秀率，平均分71分.【解析】（1）眾數(shù)是最高小矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以眾數(shù)為（分）前三個(gè)小矩形面積為，中位數(shù)要平分直方圖的面積，.（2）依題意，80及以上的分?jǐn)?shù)所在的第五、六組，頻率和為 ，所以，抽樣學(xué)生成績(jī)的合格率是，利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分：，估計(jì)這次考試的平均分是71分.3（2021吉林市）某城市戶居民的月平均用水量（單位：噸），以分組的頻率分布直方圖如圖.（1）求直方圖中的值；并估計(jì)出月平均用水量的眾數(shù).（2）求月平均用

14、水量的中位數(shù)及平均數(shù)；（3）在月平均用水量為，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取22戶居民，則應(yīng)在這一組的用戶中抽取多少戶？（4）在第（3）問(wèn)抽取的樣本中，從這兩組中再隨機(jī)抽取2戶，深入調(diào)查，則所抽取的兩戶不是來(lái)自同一個(gè)組的概率是多少？【答案】(1) x=0.075，7；(2) 6.4，5.36；(3) 2；（4）.【解析】(1)根據(jù)頻率和為1，得2(0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025)=1，解得x=0.075；由圖可知,最高矩形的數(shù)據(jù)組為6,8)，所以眾數(shù)為；(2) 2,6)內(nèi)的頻率之和為(0.02+0.095+0.11)2=0.45；設(shè)中位數(shù)為y，則0.4

15、5+(y6)0.125=0.5，解得y=6.4，中位數(shù)為6.4；平均數(shù)為(3)月平均用電量為的用戶在四組用戶中所占的比例為，月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取11=2(戶).（4）月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取11=1(戶)，月平均用電量在的用戶設(shè)為A、B, 月平均用電量在的用戶設(shè)為C，從，這兩組中隨機(jī)抽取2戶共有 ，3種情況，其中，抽取的兩戶不是來(lái)自同一個(gè)組的有，2種情況，所以，抽取的兩戶不是來(lái)自同一個(gè)組的概率為.考點(diǎn)四 總體離散程度的估計(jì)【例4】（2021山東威海市高一期末）如圖所示的四組數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)差最小的是（ ）ABCD 【答案】A【解析】對(duì)A，對(duì)B，對(duì)C，對(duì)D，所以標(biāo)準(zhǔn)差最小的是A.故選：A.

16、【一隅三反】1（2020全國(guó)高一）已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則，的平均數(shù)和方差分別為（ ）A和B和C和D和【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以，的平均數(shù)和方差分別為和故選：B2（2020安徽蚌埠市蚌埠二中高一月考）一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3，再減去50，得到一組新數(shù)據(jù)，若求得新的數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.6，方差是3.6，則原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（ ）A17.2，3.6B54.8，3.6C17.2，0.4D54.8，0.4【答案】C【解析】設(shè)一組數(shù)據(jù)為，平均數(shù)為，方差為，所得一組新數(shù)據(jù)為，平均數(shù)為，方差為，則，所以，所以，所以，由題意得，所以，所以所以，所以，所以.故選：C.3（2020唐山市第十一中學(xué)）已知樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為2，3，3，7，12，137，183，20，且樣本的中位數(shù)為10.5，若使該樣本的方差最小，則，的值分別為（ ）A10，11B10.5，9.5C10.4，10.6D10.5，10.5【答案】D【解析】由于樣本共有10個(gè)值，且中間兩