食品工程原理-馮骉-衡算方程

1、一、系統(tǒng)和控制體第一節(jié) 簡(jiǎn)單流動(dòng)系統(tǒng)的衡算“系統(tǒng)”或“控制體”：衡算的范圍。拉格朗日（Lagrange）方法： 以確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的整體微團(tuán)作為研究對(duì)象，觀(guān)察者與這些流體微團(tuán)一起運(yùn)動(dòng)，考察各物理量與時(shí)間的關(guān)系。被考察的流體微團(tuán)的集合即為系統(tǒng)，系統(tǒng)之外所有與系統(tǒng)發(fā)生作用的物質(zhì)統(tǒng)稱(chēng)為外界，將系統(tǒng)和外界分開(kāi)的真實(shí)或假想的表面稱(chēng)為系統(tǒng)的邊界。第二章衡算方程系統(tǒng)的特點(diǎn)：（1）系統(tǒng)的質(zhì)量保持不變，但其邊界的形狀、大小和位置可以隨時(shí)間而變化；（2）在系統(tǒng)的邊界處沒(méi)有質(zhì)量交換，但可以有能量交換；（3）在邊界上受到系統(tǒng)外的物質(zhì)施加的力。歐拉（Euler）方法：在固定的空間位置上，對(duì)一定的空間體積進(jìn)行觀(guān)察，考

2、察運(yùn)動(dòng)參數(shù)在空間的分布及其隨時(shí)間的變化。被考察的空間體積稱(chēng)為控制體，控制體的邊界面稱(chēng)為控制面，它總是封閉表面。控制體的特點(diǎn)：（1）控制體內(nèi)的流體質(zhì)量可以隨時(shí)間而變化；（2）控制面相對(duì)于坐標(biāo)系而言是固定的，在控制面上可以有質(zhì)量交換，也可以有能量交換；（3）在控制面上受到控制體以外的物質(zhì)施加的力。二、簡(jiǎn)單流動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量衡算簡(jiǎn)單流動(dòng)系統(tǒng)：控制體為流動(dòng)系統(tǒng)的某一段管道或一個(gè)（或數(shù)個(gè)）設(shè)備。質(zhì)量衡算：輸入的質(zhì)量流量-輸出的質(zhì)量流量=質(zhì)量累積速率（一）單組分系統(tǒng) mqm1qm2流動(dòng)為穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，積累量為零，上式即轉(zhuǎn)化為連續(xù)性方程。（二）無(wú)化學(xué)反應(yīng)的多組分系統(tǒng)對(duì)單個(gè)組分分別進(jìn)行質(zhì)量衡算：對(duì)于n個(gè)組分，可寫(xiě)出

3、n個(gè)衡算方程，加上總衡算方程，共有n+1個(gè)方程，其中只有n個(gè)方程是獨(dú)立的。例2-1-1某樓頂?shù)墓┧b置有一水池，橫截面積S為0.4m2，池內(nèi)水的深度Z為1.8m。槽底部閥門(mén)打開(kāi)后，水即流出。若無(wú)水量補(bǔ)充，測(cè)得水的流量qm2與水深Z的關(guān)系為：qm2=0.25Z1/2。問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后，水位下降至0.5m？解 Z1=1.8m，Z2=0.5m，qm1=0，qm2=0.25Z1/2kg/s，水的密度取r=1000kg/m3，瞬時(shí)質(zhì)量： m=SZr=0.41000Z=400Z 故： 將已知數(shù)據(jù)代入得： 分離變量并積分： 解出q得： q=2030.5 s例2-1-2將水與糖分別加入一攪拌槽內(nèi)進(jìn)行混合。水的

4、流量為120kg/h，糖的流量為80kg/h。制成溶液以160kg/h的流量離開(kāi)攪拌槽。由于攪拌充分，槽內(nèi)濃度各處均勻。開(kāi)始時(shí)槽內(nèi)有水80kg。試計(jì)算1小時(shí)后槽中流出的溶液濃度。 溶液 160kg/h糖 80kg/h水 120kg/h解：以糖為組分A。qm1A=80kg/h，qm1B=120kg/h， qm2=160kg/h，qm1=120+80=200kg/h。當(dāng)q=0時(shí)， m0=80kg。對(duì)糖作質(zhì)量衡算得： 代入q=1 h： w2A=0.347當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，出口糖濃度趨于0.4。 即：將微分項(xiàng)展開(kāi)： 總質(zhì)量衡算式： 將總質(zhì)量衡算式積分： m=40q+m0=40q+80分離變量并積分：

5、總摩爾生成速率R應(yīng)根據(jù)反應(yīng)的化學(xué)計(jì)量關(guān)系確定?？梢赃x擇一種產(chǎn)物或生成物作為基準(zhǔn)，用此基準(zhǔn)來(lái)表示其它組分的摩爾生成速率。（三）有化學(xué)反應(yīng)的系統(tǒng)在衡算方程中應(yīng)加入產(chǎn)物生成速率一項(xiàng)：總質(zhì)量衡算式： 例2-1-3甲醇的制造按下列反應(yīng)式進(jìn)行： CO+2H2 CH3OH生產(chǎn)流程如附圖所示，將反應(yīng)氣體通入以ZnO-Cr2O3為催化劑的反應(yīng)器中，在200atm和648K下進(jìn)行反應(yīng)獲得甲醇。制備過(guò)程中凈進(jìn)料的成分為66%（mol%，下同）的H2、33%的CO和1%的Ar。在分離器中可將全部產(chǎn)物甲醇以純態(tài)形式分離出來(lái)，故排空氣中無(wú)甲醇，且過(guò)程無(wú)副反應(yīng)。排空的摩爾流量為凈進(jìn)料摩爾流量的10%。生產(chǎn)過(guò)程維持穩(wěn)定狀態(tài)。

6、試計(jì)算：（1）甲醇在產(chǎn)物中的摩爾流率與凈進(jìn)料的摩爾流率之比；（2）循環(huán)氣的組成。解：（1）在穩(wěn)態(tài)下，dn/dq=0 故得： qn2+qn2-qn1=R=R甲醇+RCO+R氫 凈進(jìn)料循環(huán)氣排空反應(yīng)器分離器純甲醇qn1qn2qn2選甲醇為基準(zhǔn)物質(zhì)，根據(jù)反應(yīng)方程： R=R甲醇+RCO+R氫=R甲醇-R甲醇-2R甲醇=-2R甲醇對(duì)甲醇作質(zhì)量衡算： qn2x2甲醇+qn2x2甲醇-qn1x1甲醇+dn甲醇/dq=R甲醇 由于進(jìn)料及排空氣中不含甲醇，故：x2甲醇=0，x1甲醇=0。在穩(wěn)態(tài)下，dn甲醇/dq=0。產(chǎn)物為純甲醇，x2甲醇=1故： qn2 =R甲醇 代入甲醇的衡算式: qn2-qn1=-3R甲醇

7、 由題設(shè)： qn2/qn1=0.1 所以： R甲醇/qn1=0.3 （2）循環(huán)氣的組成可由Ar的質(zhì)量衡算得到。循環(huán)氣的組成 與排空氣的組成相同。為維持穩(wěn)態(tài)，必有： qn1x1Ar=qn2x2Ar 由于： x1Ar=0.01 及 qn2=0.1qn1 得： 0.01qn1=0.1qn1x2Ar 故： x2Ar=0.1在循環(huán)氣中，CO和H2是按化學(xué)計(jì)量的比例組成的，即： x2CO=x2氫/2 又： x2CO+x2氫=1- x2Ar=0.9故： x2CO=0.3 x2氫=0.6（四）管內(nèi)流動(dòng)的物料衡算過(guò)程可以是間歇的，也可以是連續(xù)式的。無(wú)論何種情況，必須選定一種計(jì)算基準(zhǔn)。常用的計(jì)算基準(zhǔn)有：（1）以加

8、入設(shè)備的一批物料為基準(zhǔn)；（2）以物料流量為基準(zhǔn)；（3）以單位質(zhì)量原料或產(chǎn)品為基準(zhǔn)。在無(wú)物料損失的情況下，對(duì)于穩(wěn)態(tài)過(guò)程，應(yīng)有：解簡(jiǎn)單流動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量衡算問(wèn)題的步驟：（1）畫(huà)出過(guò)程框圖，標(biāo)出物料的名稱(chēng)、物料量、組分濃度、溫度、密度等；（2）選擇計(jì)算基準(zhǔn)；（3）列物料衡算方程，對(duì)每一種組分均可作物料衡算，然后解此方程組。例2-1-4某廠(chǎng)配制雪利酒，產(chǎn)品成分為酒精16%、糖3.0%。配制用的原料酒有以下三種： a b c 酒精含量/% 14.6 16.7 17.0 糖含量/% 0.2 1.0 12.0試求三種酒的配用比例。解：取產(chǎn)品雪利酒m=100 kg為基準(zhǔn)，設(shè)a、b、c三種酒的配 用量分別為ma、mb

9、 、mc。 總物料衡算： ma+mb+mc =100 酒精的物料衡算： 0.146ma+0.167mb+0.170mc = 0.16100 糖的物料衡算： 0.002ma+0.01mb+0.12mc = 0.03100 聯(lián)立可解得： ma =36.8kg，mb =42.4kg，mc =20.8kg三、穩(wěn)定流動(dòng)熱力體系中的熱功交換熱力體系：某一由邊界所限定的控制體。封閉體系：體系與外界無(wú)物質(zhì)交換。開(kāi)口體系或流動(dòng)體系：體系與外界有物質(zhì)交換。穩(wěn)定流動(dòng)體系：體系內(nèi)部任一點(diǎn)上表明流體性質(zhì)和流動(dòng)參數(shù)的物理量如密度、流速、壓強(qiáng)和溫度等均不隨時(shí)間而變。穩(wěn)定流動(dòng)熱力體系必須具備的條件：（1）在進(jìn)口截面和出口截面

10、上，流體的組成、狀態(tài)、流速等參數(shù)不隨時(shí)間而變；（2）進(jìn)入體系的質(zhì)量流量恒等于離開(kāi)體系的質(zhì)量流量；（3）體系與外界在單位時(shí)間內(nèi)的功和熱交換均保持定值。引入焓的概念： H=U+pv 代入總能量衡算式得： H1+gz1+u12/2+q-w=H2+gz2+u22/2 或： q-w=DH+gDz+Du2/2上式又稱(chēng)為穩(wěn)定流動(dòng)總能量方程式。穩(wěn)定流動(dòng)總能量方程的應(yīng)用實(shí)例（1）換熱器 此時(shí)w=0，忽略位能和動(dòng)能的變化，Dz=0，Du2/2=0，方程簡(jiǎn)化為： q=DH=H1-H2 （2）壓縮機(jī)設(shè)對(duì)外無(wú)熱交換，q=0，忽略位能和動(dòng)能的變化，則： w=DH=H2-H1（3）噴嘴 一般流體流過(guò)噴嘴的時(shí)間很短，可視為q

11、=0，w=0。忽略位能，且u1u2，近似可得：（4）節(jié)流閥q=0，w=0，流體流速近似相等。方程簡(jiǎn)化為： H1=H2例2-1-5某燃?xì)廨啓C(jī)裝置示意圖如附圖所示。若在穩(wěn)定工況下工作，壓氣機(jī)進(jìn)、出口氣體的比焓分別為H1=290kJ/kg，H2=580kJ/kg，燃燒室出口氣體H3=1300kJ/kg，燃?xì)廨啓C(jī)出口處廢氣的焓H4=750kJ/kg。假定空氣流量qm=5kg/s，并忽略氣體流經(jīng)壓氣機(jī)和燃?xì)廨啓C(jī)時(shí)的散熱損失。求燃?xì)廨啓C(jī)裝置的功率P。壓氣機(jī)燃燒室燃?xì)廨啓C(jī)解： （1）分別將壓氣機(jī)和燃?xì)廨啓C(jī)取作體系進(jìn)行計(jì)算。 對(duì)壓氣機(jī)體系有： q=H2-H1+(u22-u12)/2+g(z2-z1)-wc 忽

12、略進(jìn)出口動(dòng)、位能的變化，且q=0，則軸功為： -wc=H1-H2=290-580=-290kJ/kg 同樣，對(duì)燃?xì)廨啓C(jī)體系有： q=H4-H3+(u42-u32)/2+g(z4-z3)-wT 忽略動(dòng)能、位能的變化，且q=0，則燃?xì)廨啓C(jī)的軸功： -wT=H3-H4=1300-750=550kJ/kg 整個(gè)裝置的功為兩個(gè)系統(tǒng)軸功的代數(shù)和，即 -ws=-wT+(-wc)=550-290=260kJ/kg 裝置功率為：P=qmws=5260=1300kW（2）將整個(gè)裝置取作體系進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)穩(wěn)定流動(dòng)能量方程式，若動(dòng)能、位能的變化忽略，則可寫(xiě)成： q=H4-H1-ws -ws=q-(H4-H1)=(H3

13、-H2)-(H4-H1) =1300-580-(750-290)=260kJ/kg P=qmws=5260=1300kW 兩種解法結(jié)果一致。一、通用總質(zhì)量衡算第二節(jié) 通用的總衡算方程任意形狀控制體，總體積為V，控制面的總面積為S。任取一面積為dS的微元，流過(guò)此微元的流體質(zhì)量流量為rucosadS，流過(guò)控制面的流體質(zhì)量流量為： una在控制體內(nèi)任取一微元體積dV，其質(zhì)量為rdV，整個(gè)控制體的質(zhì)量累積速率為：總質(zhì)量衡算方程： 二、通用總能量衡算以ET為單位質(zhì)量流體具有的能量，則通過(guò)微元面積dS流出的能量為ruETcosadS，而通過(guò)整個(gè)控制面流出的能量為：整個(gè)控制體的能量累積速率為：總能量衡算方程

14、：三、通用總動(dòng)量衡算通過(guò)整個(gè)控制面流出的凈動(dòng)量速率為：整個(gè)控制體的動(dòng)量累積速率為：總動(dòng)量衡算方程：在直角坐標(biāo)系中可寫(xiě)成 ： 穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，動(dòng)量的累積為零。對(duì)穩(wěn)定的管道流動(dòng)，取截面與流動(dòng)方向垂直，并假設(shè)截面上的速度為均勻分布，則： SFx=qm(u2x-u1x) SFy=qm(u2y-u1y) SFz=qm(u2z-u1z)例2-2-1 試?yán)每倓?dòng)量衡算方程導(dǎo)出不可壓縮流體作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)突然擴(kuò)大的機(jī)械能損失與主體流速、截面面積之間關(guān)系。摩擦損失可忽略不計(jì)。0 1 2 0 1 2解：選擇附圖中虛線(xiàn)所示的范圍為控制體，其控制面為截面S1、S2和靠近大管內(nèi)壁的流體層（不包括管壁）。由于流體作一維流動(dòng)，流速

15、u與ux相等，并且流速與截面S1、S2的法線(xiàn)方向平行，cosa=1。在湍流條件下，截面上的速度分布較為均勻，故可用主體流速u(mài)b代替ux?？刂企w在x方向上所承受的外力為壓力和摩擦阻力，在摩擦阻力可以忽略時(shí)，合外力即等于凈壓力Fxp： SFx=Fxp=qm(u2-u1) （1） 由于S1=S2，假定作用在S1和S2面上的壓強(qiáng)均勻，分別以p1、p2表示，又截面S1與截面0相接近，設(shè)p1=p0、u1=u0，則可得： Fxp=S1p1-S2p2=S2(p1-p2)=S2(p0-p2)=-S2Dp （2）又由總質(zhì)量衡算，得： u2=S0u0/S2 （3）代入式（1），得 -S2Dp=qm(u2-u1)=u

16、0rS0(u2-u1)=u0rS0(u2-u0) 將式（3）代入： S2Dp=u0rS0(u0-S0u0/S2) 或： Dp/r=u02(1-S0/S2)S0/S2 （4）在無(wú)外功加入時(shí)，流體在水平直管中流動(dòng)的柏努利方程為： Du2/2+Dp/r+Lf=0 （5）即： Lf=-Du2/2-Dp/r =-(u22-u02)/2-u02(1-S0/S2)S0/S2 =-(S02u02/S22-u02)-u02(S0/S2-S02/S22) =u02(1-S0/S2)2/2 （6） 一、流動(dòng)場(chǎng)的概念第三節(jié) 微分衡算方程如果在空間的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)某一個(gè)物理量的一個(gè)確定值，則稱(chēng)在這空間里確定了該物理量的

17、場(chǎng)。根據(jù)物理量是數(shù)量或矢量，相應(yīng)地場(chǎng)就有數(shù)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)。如果物理量的值不隨時(shí)間而變化，則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為穩(wěn)定場(chǎng)，否則為不穩(wěn)定場(chǎng)。為更好地描述速度場(chǎng)中各點(diǎn)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，引入“流線(xiàn)”的概念。流線(xiàn)就是與空間各點(diǎn)的速度矢量相切的曲線(xiàn)，也就是作矢量場(chǎng)的速度場(chǎng)中的矢量線(xiàn)。流線(xiàn)的性質(zhì)：（1）流線(xiàn)不能相交；（2）在任一瞬時(shí)，空間的任何一點(diǎn)都有一條流線(xiàn)通過(guò)，因此流線(xiàn)是一曲線(xiàn)族；（3）在不穩(wěn)定流動(dòng)場(chǎng)中，流線(xiàn)的形狀和位置隨時(shí)間而變化。在穩(wěn)定流動(dòng)場(chǎng)中，流線(xiàn)不隨時(shí)間而變。質(zhì)點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)軌跡稱(chēng)為跡線(xiàn)。當(dāng)流動(dòng)為穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，流線(xiàn)與跡線(xiàn)重合。 設(shè)流線(xiàn)上任一點(diǎn)的速度為u，其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量分別為ux、uy和uz。該點(diǎn)處曲線(xiàn)的切線(xiàn)

18、為ds，其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量分別為dx、dy和dz，則由流線(xiàn)的定義知u與ds平行，故有： uds=0根據(jù)矢量運(yùn)算法則將上式展開(kāi)，即得流線(xiàn)方程：在流場(chǎng)內(nèi)取一封閉曲線(xiàn)，通過(guò)曲線(xiàn)上的每一點(diǎn)作流線(xiàn)，這些流線(xiàn)即構(gòu)成一個(gè)管狀表面，稱(chēng)為流管。流管的性質(zhì)：（1）因?yàn)榱骶€(xiàn)不能相交，所以流體只能在流管內(nèi)流動(dòng)，不能穿過(guò)流管表面；（2）流管表面上的速度方向永遠(yuǎn)與表面相切；（3）穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)流管的形狀不隨時(shí)間而變，不穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)流管的形狀則隨時(shí)間而變化。二、微分質(zhì)量衡算和連續(xù)性方程（一）物理量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)1. 偏導(dǎo)數(shù)r/q 某固定點(diǎn)處流體密度隨時(shí)間的變化率2. 全導(dǎo)數(shù)dr/dq 觀(guān)測(cè)者在流體中以任意速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)考察密度的

19、變化。此時(shí)密度對(duì)時(shí)間的變化率除與時(shí)間和空間位置有關(guān)外，也與觀(guān)測(cè)者的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)。以密度為例：3隨體導(dǎo)數(shù)Dr/Dq 觀(guān)測(cè)者以與流體流動(dòng)的速度相同的速度運(yùn)動(dòng)，則有： ux=dx/dq uy=dy/dq uz=dz/dq 這種導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為“隨體導(dǎo)數(shù)”，或稱(chēng)“拉格朗日導(dǎo)數(shù)”。局部導(dǎo)數(shù)對(duì)流導(dǎo)數(shù)（二）連續(xù)性方程的通用形式 x z y0dxdydz在流動(dòng)的流體中取一平行六面體微元，邊長(zhǎng)分別為dx、dy和dz，流速分量分別為ux，uy和uz，則從左側(cè)面流入的質(zhì)量通量為： ruxdydz從右側(cè)面流出的質(zhì)量通量為：在x方向上凈流出的質(zhì)量通量為： 在y方向上凈流出的質(zhì)量通量為：在z方向上凈流出的質(zhì)量通量為：總的凈質(zhì)量流

20、量為： 微元體內(nèi)質(zhì)量的累積速率為： 由此得微分質(zhì)量衡算式： （三）連續(xù)性方程的化簡(jiǎn) 引入隨體導(dǎo)數(shù)的概念后： 穩(wěn)態(tài)流動(dòng) 不可壓縮流體柱坐標(biāo)系中的通用連續(xù)性方程 球坐標(biāo)系中的通用連續(xù)性方程 例2-3-1不可壓縮流體二維流動(dòng)的速度分布為： 問(wèn)此流動(dòng)是否滿(mǎn)足連續(xù)性方程式。解： 滿(mǎn)足連續(xù)性方程式，流動(dòng)是連續(xù)的。 三、微分動(dòng)量衡算和運(yùn)動(dòng)方程 （一）流動(dòng)的流體所受的力 體積力 dFgx=Xrdxdydz=0 dFgy=Yrdxdydz=0 dFgz=Zrdxdydz=-grdxdydz 表面力： 當(dāng)微元的體積縮小為一點(diǎn)時(shí)，相對(duì)兩個(gè)表面上的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力相應(yīng)地大小相等，方向相反。因此，用3個(gè)法向應(yīng)力分量和6

21、個(gè)剪應(yīng)力分量就可以表達(dá)任何一點(diǎn)流體所受的應(yīng)力，這9個(gè)應(yīng)力分量分別是： txx、tyy、tzz、txy、tyx、txz、tzx、tyz、tzy?？梢宰C明，在6個(gè)剪應(yīng)力分量中只有3個(gè)是獨(dú)立的，即有： txy=tyx txz=tzx tyz=tzy這樣，任何一個(gè)微分控制體的受力狀態(tài)，可以用9個(gè)獨(dú)立的分量（3個(gè)法向應(yīng)力，6個(gè)剪應(yīng)力）完全表達(dá)。 （二）用應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程 用拉格朗日方法考察流動(dòng)流體微元，牛頓第二定律為：在x方向上流體微元受的應(yīng)力為：xzy0合力：加上質(zhì)量力后：y方向： z方向： 即以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程 （三）應(yīng)力與剪切速率的關(guān)系 1. 剪應(yīng)力與速度梯度（即剪切速率）之間的關(guān)系：

22、 2. 法向應(yīng)力與靜壓力和剪切速率的關(guān)系： （四）納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程 將應(yīng)力和剪切速率間的關(guān)系代入運(yùn)動(dòng)方程：四、運(yùn)動(dòng)方程的應(yīng)用 （一）理想流體的穩(wěn)態(tài)層流 對(duì)重力場(chǎng)內(nèi)的穩(wěn)定流動(dòng)，有： 流線(xiàn)方程： uydx=uxdy uzdx=uxdz uydz=uzdy 將運(yùn)動(dòng)方程諸式分別乘以dx、dy和dz，再代入流線(xiàn)方程，最后將三個(gè)方程相加，得到： uxdux+uyduy+uzduz=-gdz-dp/r 積分得流線(xiàn)上的柏努利方程： u2/2+gz+p/r=常數(shù) （二）平壁間的穩(wěn)態(tài)層流設(shè)粘度為常數(shù)的不可壓縮流體流過(guò)兩平行平板之間，流動(dòng)為充分發(fā)展的穩(wěn)態(tài)層流，兩塊板是固定的，且為無(wú)限

23、寬，流動(dòng)的推動(dòng)力為x方向的壓強(qiáng)梯度。xy z02y0連續(xù)性方程： Navier-Stokes方程： 可見(jiàn)p不是z的函數(shù)，若2y0很小，p也不是y的函數(shù) 。積分得： 可見(jiàn)速度分布為拋物線(xiàn)。（三）圓管內(nèi)的穩(wěn)態(tài)層流 設(shè)粘度為常數(shù)的不可壓縮流體由一恒定的壓強(qiáng)梯度推動(dòng)，在一半徑為r0的水平管內(nèi)流動(dòng)。 zxy0qr連續(xù)性方程： Navier-Stokes方程： 五、微分能量衡算方程 （一）微分能量衡算方程的推導(dǎo)用拉格朗日方法，微元控制體的熱力學(xué)第一定律為： DU=q-w 流體做的功： 即： dU=dq-(pdv-dhf)用隨體導(dǎo)數(shù)的形式表達(dá)為： 取微元六面體，由于采用拉格朗日方法，所以其質(zhì)量不變，上式各項(xiàng)

24、均乘以rdxdydz得： 引入焓： H=U+pv 則： 代入上式：若考慮內(nèi)熱源的存在：（二）微分能量衡算方程的特定形式在一般工程問(wèn)題中，流體的摩擦熱可以忽略不計(jì)。 1無(wú)內(nèi)熱源不可壓縮流體的對(duì)流傳熱 2固體中的導(dǎo)熱 無(wú)內(nèi)熱源時(shí)為傅立葉（Fourier）第二定律 ：有內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為泊松（Poisson）方程 ： 無(wú)內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為拉普拉斯（Laplace）方程： 例2-3-3密度為常數(shù)的流體在水平管內(nèi)作層流流動(dòng)時(shí)被加熱，試用微分能量衡算方程導(dǎo)出其偏微分方程及其邊界條件。流體的流速為常數(shù)，在半徑r=r0的管壁處熱流率是常數(shù)q0，過(guò)程處于穩(wěn)定狀態(tài)，并假定在z=0的進(jìn)口處已建立起速度分布。假設(shè)物性是常數(shù)。解：根據(jù)連續(xù)方程得ux/z=0。采用柱坐標(biāo)求解穩(wěn)定狀態(tài)的 運(yùn)動(dòng)方程，得到拋物線(xiàn)型的速度分布： uz=uzmax1-(r/r0)2 （1） 因?yàn)榱黧w的密度為常數(shù)，可用柱坐標(biāo)系的微分能量衡算方程。在這種情況下ur=0和uq=0。因?yàn)檩S對(duì)稱(chēng)，t/q=0，2t/q2=0。對(duì)于穩(wěn)態(tài)，t/q=0。因此有： 通常z方向?qū)犴?xiàng)2t