06年數(shù)學(xué)真題及解析數(shù)三

1、2006 年入學(xué)數(shù)學(xué)三試題一、填空題：16 小題，每小題 4 分，共 24 分把填在題中橫線上（1） lim( n 1)(1)nnn【】1【考點(diǎn)】數(shù)列極限的定義【難易度】【詳解】(1)n ln n1n(1)n1 n 1nlimlim (1) ln(1 ) e n e n e0 1.：方法一： limnnn方法二：令u ( n 1)(1)n ， n 1, 2,3,，則當(dāng) n 2k 1 時(shí)，nn)1 2k 1 1 1 2k11u (；n2k 1n 12k2k ( 2k 1)1 1 1 1 ,1當(dāng) n 2k 時(shí)， un2k2knlim( n 1)(1)n 1.故nn（2）設(shè)函數(shù) f (x) 在 x

2、2 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 f (x) e f (x) ，f (2) 1，則) f 2(【】 2e3【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【難易度】【詳解】：由題設(shè)可知 f (x) 在 x 2 的同一鄰域內(nèi)可導(dǎo)，由 f (x) e f ( x ) ，有f (x) (e f ( x ) ) e f ( x ) f (x) e2 f ( x )f (x) (e2 f ( x) ) e2 f ( x) (2 f (x) 2e2 f ( x) f (x) 2e3 f ( x) 以 x 2 代入，得 f (2) 2e3 f (2) 2e3 .) 1 ，則 z f (4x2 y2 ) 在點(diǎn)(1, 2) 處的全微分f f

3、(u) 可微，且（3）設(shè)函數(shù)2 dz(1,2)【】 4dx 2dy【考點(diǎn)】多元函數(shù)的全微分【難易度】【詳解】z：方法 1：求偏導(dǎo)數(shù)， f (4x2 y2 ) 8x,zy f (4x2 y2 )(2y) .x以 x 1, y 2, f (0) 1 ，代入得2 f (4x 2 y 2 ) 8xdx f (4x 2 y 2 )(2y)dy 4dx 2dy .dz(1,2)(1,2)方法 2：由一階全微分形式不變性dz f (4x2 y2 ) d(4x2 y2 ) f (4x2 y2 ) (8xdx 2 ydy) 2 f (4x2 y2 ) (4xdx ydy) 令 x 1 ， y 2 代入，于是dz

4、 | 2 f (0)(4dx 2dy) 4dx 2dy ,12（4）設(shè)矩陣 A ，E 為 2 階矩陣，矩陣 B 滿足 BA B 2E ，則 B12【】2【考點(diǎn)】抽象型行列式的計(jì)算【難易度】【詳解】：由 BA B 2E 得 B( A E) 2E ，兩邊取行列式，有B A E 4 11 2 ，所以因?yàn)閨 A E | 2 B1 1（5）設(shè)隨量 X 與 Y 相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3 上的均勻分布，則PmaxX ,Y 1 19【】【考點(diǎn)】連續(xù)型隨量分布函數(shù)的計(jì)算【難易度】【詳解】： Pmax( X ,Y ) 1 PX 1,Y 1 Px 1PY 1 1 . 1 1 3 39f (x) 1 e x (

5、x ) ，X1，X2，Xn 為總體 X 的簡(jiǎn)（6）設(shè)總體 X 的概率密度為2單隨機(jī)樣本，其樣本方差為 S2，則 ES 2 【】2【考點(diǎn)】樣本方差【難易度】【詳解】：因?yàn)?E(S 2 ) D( X ) ，故只要計(jì)算 D( X ) .X 概率密度 f (x) 是偶函數(shù)，所以 E( X ) 0D( X ) E( X ) E( X ) E( X ) x f (x)dx 2x f (x)dx222220 x e dx 2 .2 x0二、選擇題：714 小題，每小題 4 分，共 32 分每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)（7）設(shè)函數(shù) y f (x) 具有二階導(dǎo)數(shù)

6、，且 f (x) 0 ，f (x) 0 ，x 為自變量 x 在點(diǎn) x0 處的增量，y 與 dy 分別為f (x) 在點(diǎn) x0 處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若x0，則（）（A）0dyy（C）ydy0（B）0ydy（D）dyy0，【】（A）【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判別；函數(shù)圖形的凹凸性【難易度】【詳解】：方法 1：因?yàn)?f (x) 0, 則 f (x) 嚴(yán)格單調(diào)增加f (x) 0, 則 f (x) 是凹的又x 0 ，故0 dy y .方法 2：用兩次日中值定理 y dy f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x f ( )x f (x0 )x f ()( x0 )x, x0 其中由于 f (x) 0

7、 ，從而 y dy 0又由于 dy f (x0 )x 0 ，故選 A.2f (x) 在 x 0 處連續(xù)，且lim 1，則（8）設(shè)函數(shù)）h2h0（A） f (0) 0 且 f ) 存在（B） f (0) 1且 f ) 存在（C） f (0) 0 且 f （D） f (0) 1且 f ) 存在) 存在【】（C）【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念【難易度】【詳解】：因?yàn)?f (x) 在 x 0 處連續(xù)，所以f (0) lim f (x) lim f (x)x h 2 lim f (h 2)x0 x0h0f (h2 ) limh 02h2h0f (x) f (0)f (h 2)x h lim21,又 limx 0h

8、2x0h0所以 f(0) 存在，故選C .（9）若級(jí)數(shù)an 收斂，則級(jí)數(shù)（n1）（A） | an1（B） n1|收斂)n a收斂nnn 2（C） （D） n1n1n1 收斂收斂nn1【】（D）【考點(diǎn)】收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)【難易度】【詳解】：方法一：題設(shè) an 收斂，所以 an1 也收斂，所以(an an 1) 收斂，n1n1n1從而 an an 1也收斂.選 D.2n1方法二：排除法.(1)n11n1設(shè)a 是條件收斂的級(jí)數(shù)，于是 an1 n1， (1)n a ，nnnnnn1n1n1n1(1)2n11 anan1 n1，它們都發(fā)散選 D.n(n 1)n(n 1)n1n1（10）設(shè)非線性微分方程

9、y P(x) y Q(x) 有兩個(gè)不同的解 y1 (x) ， y2 (x) ，C 為任意常數(shù)，則該方程的通解是（）（A） C y1 (x) y2 (x)（B） y1 (x) C y1 (x) y2 (x) （C） C y1 (x) y2 (x)（D） y1 (x) C y1 (x) y2 (x) 【】（B）【考點(diǎn)】線性微分方程解的性質(zhì)；線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理【難易度】【詳解】：線性非微分方程的兩個(gè)解的差是對(duì)應(yīng)的微分方程的解.因?yàn)?y1 (x) y2 (x) ，所以( y1 (x) y2 (x) 是微分方程的一個(gè)非零解， C 是任意常數(shù)，所以C( y1 (x) y2 (x) 是對(duì)應(yīng)的得原非方程

10、的通解，選 B .（11）設(shè) f（x，y）與 （x，y）均為可微函數(shù)，且y （x，y）0，已知（x0，y0）是 f（x，y）在約束條件 （x，y）0 下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（ ）（A）若 f x (x0 , y0 ) 0 ，則 f y (x0 , y0 ) 0 微分方程的通解.再加上原非方程的一個(gè)特解，便（B）若 f x (x0 , y0 ) 0 ，則 f y (x0 , y0 ) 0 f y (x0 , y0 ) 0 f x (x0 , y0 ) 0 ，則（C）若（D）若 f x (x0 , y0 ) 0 ，則 f y (x0 , y0 ) 0 【】（D）【考點(diǎn)】多元函數(shù)極值存在的

11、必要條件；日乘數(shù)法【難易度】【詳解】：引入函數(shù) F (x, y, ) f (x, y) (x, y) ，有F (x, y) 0(1)(2)F=f (x, y) (x, y) 0yyyF = (x, y) 0 f y(x0 , y0 )代入（1）得f y(x0 , y0 )x (x0 , y0 ) (x , y ) 0, f (x , y ) y00 (x , y )x00 (x , y )y00y00若 fx(x0 , y0 ) 0 ，則 f y(x0 , y0 ) 0 .故選 D.（12）設(shè)1 ,2 ,s 均為 n 維列向量，A 是 m n 矩陣，下列選項(xiàng)正確的是（A）若1 ,2 ,s 線性

12、相關(guān)，則 A1 , A2 , A s 線性相關(guān)（B）若1 ,2 ,s 線性相關(guān)，則 A1 , A2 , A s 線性無(wú)關(guān)（C）若1 ,2 ,s 線性無(wú)關(guān)，則 A1 , A2 , A s 線性相關(guān)（D）若1 ,2 ,s 線性無(wú)關(guān)，則 A1 , A2 , A s 線性無(wú)關(guān)）【】（A）【考點(diǎn)】向量組線性相關(guān)的判別法【難易度】【詳解】：方法 1：若1 ,2 , s 線性相關(guān),則存在不全為0 的數(shù) k1 , k2 , ks 使得k11 k22 ks s 0用 A等式兩邊,得k1 A1 k2 A2 ks A s 0于是 A1 , A2 , A s 線性相關(guān).方法2 ：因?yàn)椋?.1 ,2 , s 線性相關(guān)

13、r(1,2 , s ) s .2. r( AB) r(B) .所以有：矩陣( A1, A2 , A s ) A(1,2 , s ) ,因此r( A1, A2 , A s ) r(1,2 , s ) s由此可判斷應(yīng)為 A .（13）設(shè) A 為 3 階矩陣，將 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再將 B 的第 1 列的1 倍加到第 21列得 C，記 P 0 ，則（ ）（A） C P1AP 1（B） C PAP1 （C） C PT AP （D） C PAPT 【】（B）【考點(diǎn)】矩陣的初等變換；逆矩陣的計(jì)算【難易度】【詳解】 11100 ：將 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，即 B 00

14、A = PA 01 10 1 10將 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C ，即C B 00 記 BQ 01 1 10 10 10 110因 PQ 00 00 E ，故Q P1 01 01 從而 C BP1 PAP1,故選 B .（14）設(shè)隨量 X 服從正態(tài)分布 N ( , 2 ) ，隨量 Y 服從正態(tài)分布 N ( , 2 ) ，且1122P X 1 1 P Y 2 1 ，則必有（ ）（A） 1 2 （C） 1 2 （B） 1 2 （D） 1 2 【】（A）【考點(diǎn)】標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布【難易度】【詳解】 1X1： P( X 1 1) P( ),11X - 1 N (0,1) ，且其概率密度函數(shù)

15、是偶函數(shù).隨量1 1 2P 0X 1X 11112() (0) 2() 1 .故 P1 1 1111 1) 2( 1 ) 1同理 P( Y 22因?yàn)?(x) 是單調(diào)函數(shù)，當(dāng) P| X | 1 P| Y | 1 時(shí)， 2( 1 ) 1 2( 1 ) 1 ，121211即，即 ，故選 A .1212三、解答題：1523 小題，共 94 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（15）（本題滿分 7 分）1 y sin xyy設(shè) f (x, y) ， x 0 ， y 0 求1 xyarctan x（） g(x) lim f (x, y) ；（） lim g(x) yx0【考點(diǎn)】等價(jià)無(wú)窮?。环▌t【難易

16、度】【詳解】1 y sin xyy：() g(x) lim f (x, y) lim ,1 xyarctan xyy x x yy11 x,由于 x 0 ，所以lim y sin lim y lim,xlimy 1 xyy1 xyyyy所以 g(. 2（） lim g(arctan x1（12）arctan lim .等lim2（x 1 x2）x2 x02xx0 x0（16）（本題滿分 7 分）計(jì)算二重積分 y2 xy x y ，其中 D 是由直線 yx，y1，x0 所圍成的平面區(qū)域D【考點(diǎn)】利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分【難易度】【詳解】：積分區(qū)域 D 如右圖，由被積函數(shù)分析知，先積 x 較為簡(jiǎn)單

17、1yDy xydxdy dyy2 xydx2001 3 x y121y dy y 2 xyd (y 2 xy ) (y 2 xy ) 2 dyx 0y3y000 1 22y2dy y3 1 2 .03990（17）（本題滿分 10 分）證明：當(dāng)0 a b 時(shí)， b sin b 2 cos b b a sin a 2 cos a a 【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判別【難易度】【詳解】2 cos x x證明：令 f (只需證明0 x 時(shí), f (x) 單調(diào)增加（嚴(yán)格）f (cos x 2 sin x f (sin x 0sin f (x) 單調(diào)減少（嚴(yán)格）又 f ( ) cos 0 ，故0 x 時(shí) f (

18、x) 0則f (x) 單調(diào)增加（嚴(yán)格）由b a則f (b) f (a) ，即b sin b 2 cos b b a sin a 2 cos a a .（18）（本題滿分 8 分）在 xOy 坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線 L 過(guò)點(diǎn) M (1, 0) ，其上任意點(diǎn) P(x, y)(x 0) 處的切線斜率與直線OP 的斜率之差等于 ax （常數(shù) a 0 ）（）求 L 的方程；（）當(dāng) L 與直線 y ax 所圍成平面圖形的面積為 8 時(shí)，確定 a 的值3【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用；平面圖形的面積【難易度】【詳解】：()設(shè)所求的曲線方程為 y y(x) ，按題意，在其上任意一點(diǎn)P(x, y) 處

19、的切線斜率 y 與OP 的斜率 y 的差等于 ax(a 0, x 0) ，x即有 y y ax .x并且有初始條件 y(1) 0 .，按一階線性微分方程解的公式，y e有dx C eln x axeln xdx C x adx C x(ax C)由 y(1) 0 定出C a ，于是所求的曲線方程為y ax(x 1), a 0 .() 直線 y ax 與曲線 y ax(x 1) 的交點(diǎn)(0, 0) 與(2, 2a) .直線 y ax 與曲線 y ax(x 1) 所圍平面圖形的面積4a 322S (a) ax ax(x 1)dx 2ax ax dx 48按題意， a ，故 a 2 .33（19）（

20、本題滿分 10 分）200 )1x求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù) S(x) ( )n1【考點(diǎn)】?jī)缂?jí)數(shù)的收斂域的求法；簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法【難易度】【詳解】(-1）n x2n3(-1）n-1 x2n 1(n 1)(2n 1)(-1）n-1 x2n 1u：記u lim x n12， 有 limnn(2n -1)unnnn(2n -1)故知當(dāng) x2 1 即 1時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng) x2 1 ，即1 時(shí)，原級(jí)數(shù)通項(xiàng)不趨于 0，xx(-1）n-1，級(jí)數(shù)un 絕對(duì)收斂，故收斂n1級(jí)數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑 R 1 .在 x 1 處unn(2n -1)域?yàn)?,1 .為求和函數(shù)，應(yīng)先在收斂區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，(-1）n-

21、12n(-1）n-1 x2nn1令 f (x) n1由n(2n1)n(2n -1)n12n 1f (x) (n1(-1）n-1有n(2n -1)n(2n -1)2n -1n1n1n12(-1）n-1 x2n 1n12(-1）n-1 x2n 1n1f (x) (n-1 2n 2) ) 2(-1） x2n -12n -1 2 1 x2 2(-1）xn 2n.n02x再倒回去，有 f (x) f (0) f (t)dt 0 xdt 2 arctan x1 t200 xxf (x) f (0) f (t)dt 0 2arctan xdt00 x x 2 dt 2 x arctan t - ln(1 x

22、 2) .= 2arctan t01 t20(-1）n-1 x2n 1 2x arctan t - 1 .2于是n(2n -1)n1又因在 x 1 處，級(jí)數(shù)收斂，右邊和函數(shù)的表達(dá)式在 x 1 處連續(xù)，因此，在 x 1 處上式仍成立，即有1n1 x2n1 n 2n 1s(x) n1 2x 2axc tan2), 1 x 1 .（20）（本題滿分 13 分）設(shè)4 維向量組1 (1 a,1,1,1) ， (2, 2 a, a, a) ， (3, 3,3 a, 3) ，TTT234 (4, 4, 4, 4 a) ，問(wèn) a 為何值時(shí)， , , , 線性相關(guān)？當(dāng) , , , 線性相關(guān)時(shí)，T12341234

23、求其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表出【考點(diǎn)】向量組的極大線性無(wú)關(guān)組【難易度】【詳解】：方法 1：記 A 1,2 ,3 ,4 ，則1 a11122 a22333 a444122 a22333 a444 (10 a) 11134 a34 a12a0030a0400a (10 a) 0 (a 10)a 300于是當(dāng) a 0 或 a 10 時(shí)， 1 ,2 ,3 ,4 線性相關(guān).當(dāng) a 0 時(shí)， 1 為1 ,2 ,3 ,4 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且2 21 ,3 31 ,4 41 .當(dāng) a 10 時(shí),對(duì) A 作初等行變換.9922221 003420001 0034A 7 33

24、01 010 00046400101001019 111011100 , , , 101234011由于 2 , 3 , 4 為 1 , 2 , 3 , 4 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且 1 2 3 4 ，故2 ,3 ,4為1 ,2 ,3 ,4 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且1 2 3 4 .方法 2：記 A 1,2 ,3 ,4 ，對(duì) A 施以初等行變換，有1 a1 a22 a22333 a4442a0030a0400aaaa111A B34 a當(dāng) a 0 時(shí)， A 的秩為 1，因而1 ,2 ,3 ,4 線性相關(guān),此時(shí)1 為1 ,2 ,3 ,4 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且2 21 ,3 31 ,4 41

25、.a 0 時(shí)，再對(duì) B 施以初等行變換，有1 aa 10 11121003010401 00001 000011110 C 1, 2 , 3 , 4 .B 01如果 a 10 ， C 的秩為 4，故1 ,2 ,3 ,4 線性無(wú)關(guān);如果 a 10 時(shí)， C 的秩為 3，故1 ,2 ,3 ,4 線性相關(guān).由于 2 , 3 , 4 是1 , 2 , 3 , 4 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且1 2 3 4 ，于是2 ,3 ,4是1 ,2 ,3 ,4 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組， 1 2 3 4 .（21）（本題滿分 13 分）設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的各行元和均為 3，向量1 (1, 2, 1) ， (0,

26、1,1) 是TT2線性方程組 Ax 0 的兩個(gè)解（）求 A 的特征值與特征向量；（）求正交矩陣 Q 和對(duì)角矩陣 ，使得 QTAQ ；（）求 A 及( A 3 E )6 ，其中 E 為 3 階矩陣2【考點(diǎn)】矩陣的特征值的計(jì)算；矩陣的特征向量的計(jì)算；正交化；相似對(duì)角矩陣【難易度】【詳解】1 31（）因?yàn)?A1 3 31 ，所以 3 是矩陣 A 的特征值， (1,1,1)T 是 A 屬于 3 的特 1 31 征向量.又 A1 0 01 ， A2 0 02 ，故1 ,2 是矩陣 A 屬于 0 的特征向量.因此矩陣 A的特征值是 3，0，0. 3 的特征向量為 k (1,1,1)T ，其中 k 0 為常

27、數(shù)； 0 的特征向量為 k (1, 2, 1) k (0, 1,1)T ，其中 k , k 是不全為 0 的常數(shù).T1212（）因?yàn)? ,2 不正交，故要正交化，1 1 (1, 2, 1) ，T 1 1 0 (2 , 1 ) 1 3 2 1 0 ， 2 22( , )16 1 1 1 11 1 11 12 ， 10 ， 1化 6 2 123 1 1 3 0令Q ( ,) ，得QT AQ 026103 31 1123 6() 由 A(1,2 ,3 ) (0, 0, 3 ) 有11 1 01101 1111) 1 21 11 A (0, 0, 3 )( , ,0 1233 1111 1 311212記 B A 3 E 121 321 ，則 P1BP ，21 3 221其中 P (1,2 , )33于是 B6 P6 P 1 ( ) PEP( ) E .1 662（22）（本題滿分 13 分）2設(shè)隨量 X 的概率密度為1 x , 2f X x 1, x ,其他， 4,0令Y X 2 ， F (x, y) 為二維隨量(