分形幾何概述講座

1、分形幾何概述講座第1頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一分形(fractal)分形幾何理論誕生于20世紀(jì)70年代中期，創(chuàng)始人是美國(guó)數(shù)學(xué)家-曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的大自然的分形幾何學(xué) (The Fractal Geometry of Nature)是這一學(xué)科經(jīng)典之作。分形(fractal)是20多年來科學(xué)前沿領(lǐng)域提出的一個(gè)非常重要的概念，混沌(chaos,)、分形和孤立子(soliton) 是非線性科學(xué)(nonlinear science)中三個(gè)最重要的概念。第2頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一什么是分形呢？

2、曼德爾布萊特最先引入分形(fractal)一詞，意為“破碎的，不規(guī)則的”。目前對(duì)分形還沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，只能給出描述性的定義。粗略地說:分形是對(duì)沒有特征長(zhǎng)度但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的總稱； 分形是整體與局部在某種意義下的對(duì)稱性的集合；分形是具有某種意義下的自相似集合；分形是其豪斯道夫維數(shù)嚴(yán)格大于其拓?fù)渚S數(shù)的集合。第3頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一認(rèn)識(shí)分形如果您從未聽說過“分形”，一時(shí)又很難搞清楚分形是什么，有一個(gè)簡(jiǎn)單迅捷的辦法：去市 場(chǎng)買一個(gè)新鮮的菜花(花椰菜)，掰下一枝，切開，仔細(xì)觀察，思考其組織結(jié)構(gòu)。這就是分形 ! 分形可以是自然存在的，也可以是人造

3、的。花椰菜、樹木、山 川、云朵、腦電圖、材料斷口等都是典型的分形。閃電、沖積扇、泥裂、凍豆腐、水系、晶簇、蜂窩石、小麥須根系、樹冠、支氣管、星 系、材料斷口、小腸絨毛、大腦皮層。想想它們的形狀、結(jié)構(gòu)!第4頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一海岸線的長(zhǎng)度是多少？1967年曼德布羅特在科學(xué)上發(fā)表題為英國(guó)海岸線有多長(zhǎng)?統(tǒng)計(jì)自相似性與分?jǐn)?shù)維數(shù)的 著名論文。此文的原由在于曼德布羅特發(fā)現(xiàn)許多國(guó)家公布的公共邊界線存在極大的誤差，及大國(guó)公布的公共邊界線小，而小國(guó)公布的公共邊界線大。原因在于邊界線是一個(gè)復(fù)雜的曲線，所用的測(cè)量尺度越小，測(cè)量的長(zhǎng)度越大。為了說明這一問題，考慮下面的科赫曲線。第

4、5頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一實(shí)例一 科赫曲線及構(gòu)造過程設(shè)E0是單位長(zhǎng)直線段；E1是由E0除去中間13的線段、而代之以底邊在被除去的線段上的等邊三角形的另外兩條邊所得到圖形,它包含四個(gè)線段；對(duì)E1的每個(gè)線段都進(jìn)行同一過程來構(gòu)造E2，依此類推。于是得到一個(gè)曲線序列E k；其中E k是把E k-1的每一個(gè)直線段中間13用等邊三角形的另外兩邊取代而得到的；當(dāng)k充分大時(shí)，曲線E k和E k-1 只在精細(xì)的細(xì)節(jié)上不同而當(dāng)k時(shí)，曲線序列E k趨于一個(gè)極限曲線F，稱F為馮.科赫曲線。 第6頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖1 柯赫曲線第7頁，共91頁，

5、2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一科赫曲線F的特性科赫曲線F是自相似的，四個(gè)部分與整體的相似比例為1/4；F具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體；F是不規(guī)則的，不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述；F 的長(zhǎng)度為，而面積為0；第8頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一科赫曲線F 的長(zhǎng)度為事實(shí)上，對(duì)于每個(gè)k，E k的長(zhǎng)度為第9頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一科赫曲線F的自相似維數(shù)由于F 的長(zhǎng)度為，而面積為0，因此F的維數(shù)既不是1，也不是2，而是一個(gè)介于1與2之間的分?jǐn)?shù)?？坪涨€F的自相似維數(shù)為第10頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)4

6、0分，星期一實(shí)例二 康托爾集F及構(gòu)造過程設(shè)E0是單位長(zhǎng)直線段， E1是由E0除去中間13的線段所得到圖形,它包含四個(gè)線段。對(duì)E1的每個(gè)線段都進(jìn)行同一過程來構(gòu)造E2 ，依此類推。于是得到一個(gè)曲線序列E k，其中E k是把E k-1的每一個(gè)直線段中間13除去而得到的；當(dāng)k充分大時(shí)，曲線E k和E k-1只在精細(xì)的細(xì)節(jié)上不同，當(dāng)k時(shí)，曲線序列E k趨于一個(gè)極限曲線F，稱F為康托爾三分集.第11頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖2 康托爾三分集第12頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一康托爾集F的特性康托爾集曲線F是自相似的，兩個(gè)部分與整體的相似比例為1

7、/3；F具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體；F是不規(guī)則的，不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述；F 中點(diǎn)的數(shù)目為，而長(zhǎng)度為0；第13頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一康托爾集F 的長(zhǎng)度為0事實(shí)上，對(duì)于每個(gè)k，E k的長(zhǎng)度為第14頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一康托爾集F的自相似維數(shù)由于康托爾集F中點(diǎn)的數(shù)目為，而長(zhǎng)度為0，因此F的維數(shù)既不是0，也不是1，而是一個(gè)介于0與1之間的分?jǐn)?shù)?？坪涨€F的自相似維數(shù)為第15頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一實(shí)例三 謝爾賓斯基地毯波蘭著名數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915-1916年期間構(gòu)造了

8、幾個(gè)典型的例子， 這些怪物常稱作“謝氏地毯”、“謝氏三角”、“謝氏海綿” 。如今，講分形都要提到。它們不但有趣，而且有助于形象地理解分形。 第16頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一 圖3 謝爾賓斯基三角形 第17頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一謝爾賓斯基地毯F的自相似維數(shù)第18頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一分形的特性英國(guó)數(shù)學(xué)家Falconer在分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用一書中認(rèn)為：分形的定義應(yīng)該以生物學(xué)家給出“生命”定義的類似方法給出，即不尋求分形的確切簡(jiǎn)明的定義，而是尋求分形的特性，將分形看作具有某些性質(zhì)的集合。第1

9、9頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一分形將分形看作具有如下性質(zhì)的集合:1.F具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體。2.F是不規(guī)則的，以致于不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述。3.F通常具有某種自相似性，或許是近似的或許是統(tǒng)計(jì)意義下的。4.F在某種方式下定義的“分維數(shù)”通常大于F的拓?fù)渚S數(shù)。5.F的定義常常是非常簡(jiǎn)單的，或許是遞歸的。第20頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一分形理論是一門橫斷學(xué)科分形理論是一門交叉性的橫斷學(xué)科，從振動(dòng)力學(xué)到流體力學(xué)、天文學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，從分 子生物學(xué)到生理學(xué)、生物形態(tài)學(xué)，從材料科學(xué)到地球科學(xué)、地理科學(xué)，從經(jīng)濟(jì)學(xué)到語

10、言學(xué)、 社會(huì)學(xué)等等，無不閃現(xiàn)著分形的身影。分形理論已經(jīng)對(duì)方法論和自然觀產(chǎn)生強(qiáng)烈影響，從分 形的觀點(diǎn)看世界，我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)世界是以分形的方式存在和演化著的世界。 第21頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一陳省身的觀點(diǎn)歷史上幾 何學(xué)可分為六個(gè)時(shí)期：1)公理(歐幾里德)；2)坐標(biāo)(笛卡爾，費(fèi)馬)；3)微積分(牛頓，萊布 尼茲)；4)群(克萊因，李)；5)流形(黎曼)；6)纖維叢(嘉當(dāng)，惠特尼)。7）分形幾何（曼德布羅特）第22頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一“分形fractal”的命名1975年的一天，曼德布羅特翻看兒子的拉丁語課本，突然受到啟發(fā)，決定

11、根據(jù)fractus 創(chuàng)造一個(gè)新詞，于是有了fractal這個(gè)英文詞。同年他用法文出版了專著分形對(duì)象:形、機(jī)遇與維數(shù)(Les objets fractals: forme, hasard et dimension)，1977年出版了此書的英譯本分形：形、 機(jī)遇與維數(shù)。1982年又出版了此書的增補(bǔ)本，改名為大自然的分形幾何學(xué)。第23頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一“分形”的命名70年代末fractal傳到中國(guó)，一時(shí)難以定譯。中科院物理所李蔭遠(yuǎn)院士 說，fractal應(yīng)當(dāng)譯成“分形”，郝柏林、張恭慶、朱照宣等科學(xué)家表示贊同，于是在中國(guó)大陸fractal逐漸定譯為“分形 ”。

12、如今臺(tái)灣還譯“碎形”，顯然不如“分形”好。分形的特點(diǎn)是，整體與部分之間存在某種自相似性，整體具有多種層次結(jié)構(gòu)。“分形”之譯 的確抓住了fractal的本質(zhì)-科學(xué)本質(zhì)、哲學(xué)本質(zhì)和藝術(shù)本質(zhì)。第24頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一“分形”的命名中國(guó)傳統(tǒng)文化中關(guān)于“分” 與“形”有豐富的論述，想必李蔭遠(yuǎn)院士極為熟悉。李院士是物理學(xué)名詞審定委員會(huì)三名顧 問之一。宋明理學(xué)關(guān)于“理”(“理念” 或者“太極”)與“萬物”、整體與部分、一般與具 體的關(guān)系的思想吸收了佛家觀念，特別是華嚴(yán)宗和禪宗的觀念。李蔭遠(yuǎn)的譯名實(shí)在于平凡處見功力，如李善蘭(1811-1882)譯“微分” (diffe

13、rentiation)、“積分” (integration)，王竹溪(1911-1983)譯“湍流”(turbulence )、 “逾滲” (percolation)和“運(yùn)輸”(transportation)。第25頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一一個(gè)有趣的故事70年代末曼德布羅特的分形：形、機(jī)遇和維數(shù)(Fractals: Form,Chance,and Dimension)英文版在北京中關(guān)村一帶的地?cái)偵媳憧梢姷綌?shù)十部，當(dāng)時(shí) 北京大學(xué)力學(xué)系黃永念教授和朱照宣教授每人買了一部，據(jù)說只花了幾元錢。十多年后，當(dāng)分形理論被科學(xué) 界認(rèn)同、熱起來時(shí)，在世界上再去尋找這部原版名著，

14、幾乎不可能了。當(dāng)時(shí)，國(guó)際、國(guó)內(nèi) 科學(xué)界基本上不知道分形是怎么回事。第26頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一分形的歷史發(fā)展分形理論是非線性科學(xué)研究中十分活躍的一個(gè)分支,它的研究對(duì)象是自然界和非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的不光滑和不規(guī)則的幾何形體。分形理論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是分形幾何。分形理論的發(fā)展大致可分為三個(gè)階段。下面簡(jiǎn)要回顧一下分形理論在這三個(gè)歷史階段的發(fā)展過程。第27頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一第一階段為1875年至1925年,在此階段,人們已認(rèn)識(shí)到幾類典型的分形集,并且力圖對(duì)這類集合與經(jīng)典幾何的差別進(jìn)行描述、分類和刻劃。 19世紀(jì),盡管人們已能區(qū)別連續(xù)與可

15、微的曲線,但是普遍認(rèn)為連續(xù)而不可微的情形是極為例外 的,并且在理論研究中應(yīng)排除這類“怪物”,特別認(rèn)為一條連續(xù)曲線上不可微的點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是極少的。 第28頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一維爾斯特拉斯型函數(shù)在1872年，維爾斯特拉斯(Weierstrass)證明了一種連續(xù)函數(shù)在任意一點(diǎn)均不具有有限或無限導(dǎo)數(shù)(稱為維爾斯特拉斯型函數(shù)) 。這一結(jié)果在當(dāng)時(shí)曾引起了極大的震動(dòng)；但是人們認(rèn)為維爾斯特拉斯型的函數(shù)是極為“病態(tài)”的例子。既使如此，人們?nèi)詮牟煌矫嫱茝V了上述函數(shù)，并對(duì)這類函數(shù)的奇異性質(zhì)作了深入的研究，獲得了豐富的結(jié)果。 第29頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，

16、星期一馮.科赫(Von Koch)曲線馮.科赫于1904年通過初等方法構(gòu)造了處處不可微的連續(xù)曲線，如今被稱為馮.科赫曲線的，并且討論了該曲線的性質(zhì)。由于該曲線的構(gòu)造極為簡(jiǎn)單，從而改變了人們認(rèn)為連續(xù)不可微曲線的構(gòu)造一定非常復(fù)雜的看法。特別重要的是，該曲線是第一個(gè)人為構(gòu)造的具有局部與整體相似的結(jié)構(gòu)，被稱為自相似結(jié)構(gòu)。 第30頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一皮亞諾曲線皮亞諾(Peano)于1890年構(gòu)造出填充平面的曲線，這一曲線出現(xiàn)后，人們提出應(yīng)正確考慮以往的長(zhǎng)度與面積的概念。皮亞諾曲線以及其它的例子導(dǎo)致了后來拓?fù)渚S數(shù)的引入。 第31頁，共91頁，2022年，5月20日，1

17、9點(diǎn)40分，星期一Peano曲線第32頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一康托爾三分集康托爾(Cantor)于1872年引入了一類全不連通的緊集F，F(xiàn)被稱為康托爾三分集。在當(dāng)時(shí)，人們認(rèn)為這類集合在傳統(tǒng)的研究中是可以忽略的。但是進(jìn)一步的研究結(jié)果表明，這類集合在象三角級(jí)數(shù)的唯一性這樣重要問題的研究中不僅不能忽略，而且起著非常重要的作用。第33頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一謝爾賓斯基地毯波蘭著名數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915-1916年期間，為實(shí)變函數(shù)理論構(gòu)造了幾個(gè)典型的例子， 這些怪物常稱作“謝氏地毯”、“謝氏三角”、“謝氏海綿”、“謝氏墓垛”。如今，

18、幾乎 任何一本講分形的書都要提到這些例子。它們不但有趣，而且有助于形象地理解分形。 第34頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一布朗(Brown)運(yùn)動(dòng)一類極為典型的隨機(jī)分形集，即布朗(Brown)運(yùn)動(dòng)。珀瑞(Perrin)在1913年對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡進(jìn)行了深入研究，明確指出布朗運(yùn)動(dòng)作為運(yùn)動(dòng)曲線不具有導(dǎo)數(shù)。他的這些論述在1920年左右使年輕的維納(Wiener)受到震動(dòng)，并促使他建立了很多布朗運(yùn)動(dòng)的概率模型。為了表明自然混亂的極端形式，維納采用了“混沌”（Chaos）一詞。珀瑞曾經(jīng)注意到：一方面，自然界的幾何是混亂的，不能用歐氏幾何或微積分中那種完美的序表現(xiàn)出來；另一方面，它

19、能使人們想到1900年左右創(chuàng)立的數(shù)學(xué)的復(fù)雜性。 第35頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一布朗(Brown)運(yùn)動(dòng)的意義曼德爾布萊特(Mandelbrot)在回顧珀瑞及維納的工作以及分形幾何的發(fā)展歷史時(shí)指出，分形幾何以下面兩種選擇為其特征：一是在自然界的混沌中選擇問題，因?yàn)槊枋稣麄€(gè)混沌是既無意義又無可能的主張；二是在數(shù)學(xué)中選擇工具。這兩種選擇逐漸成熟并創(chuàng)造了新東西，在無序混沌與歐氏幾何過分有序之間，產(chǎn)生了一個(gè)具有分形序的新領(lǐng)域。由于非?！皬?fù)雜”的集合的引入，而且長(zhǎng)度、面積等概念必須重新認(rèn)識(shí)。 第36頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一維數(shù)的提出為了測(cè)量

20、這些集合，更為了一般的理論，閔可夫斯基(Minkowski)于1901年引入了閔可夫斯基容度。豪斯道夫(Hausdorff)于1919年引入了豪斯道夫測(cè)度和豪斯道夫維數(shù)。這些概念指出為了測(cè)量一個(gè)幾何對(duì)象，必須依賴于測(cè)量方式以及測(cè)量所采取的尺度。 第37頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一第二階段大致為1926年到1975年,在這半個(gè)世紀(jì)里,人們實(shí)際上對(duì)分形集的性質(zhì)做了深入的研究,特別是維數(shù)理論的研究已獲得了豐富的成果。 貝西康維奇(Besicovitch)及其他學(xué)者的研究工作貫穿了第二階段。他們研究了曲線的維數(shù)、分形集的局部性質(zhì)、分形集的結(jié)構(gòu)、S-集的分析與幾何性質(zhì)、以及

21、在數(shù)論、調(diào)和分析、幾何測(cè)度論中的應(yīng)用。 他們的研究結(jié)果極大地豐富了分形幾何理論。 第38頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一維數(shù)理論在此期間，維數(shù)理論得到了進(jìn)一步發(fā)展并日臻成熟。Bouligand于1928年引入了Bouligand維數(shù)，Poutrjagin與Schnirelman于1932年引入覆蓋維數(shù)，柯爾莫哥諾夫(Kolmogorov)與Tikomirov于1959年引入熵維數(shù)。另外，刻劃集合“大小”的容量及容量維數(shù)亦引入到分析之中。由于維數(shù)可以從不同的角度來刻劃集合的復(fù)雜性，從而起了重要的作用。 第39頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一維數(shù)

22、眾所周知，點(diǎn)是零維的，直線是一維的,平面是二維的。當(dāng)我們測(cè)量幾何圖形的長(zhǎng)度和面積時(shí)，分別用單位長(zhǎng)線段與單位面積的正方形來度量，因?yàn)榫€段與正方形的歐氏維數(shù)分別是1和2 。若用線段來測(cè)量正方形，其結(jié)果為無窮，說明所用的尺度太“細(xì)”；反之，若用正方形為尺度來度量線段，所得的結(jié)果為0，說明所用的尺度太“粗”。在測(cè)量集合時(shí)，其測(cè)量結(jié)果與所采用的尺度有關(guān)。特別是，經(jīng)典幾何對(duì)象的測(cè)量只容許整數(shù)維的尺度。第40頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一分維數(shù)人們用分維數(shù)來刻劃分形集的復(fù)雜性。對(duì)于分形曲線，比如馮.科赫曲線，1維尺度太細(xì)，即在1維尺度下，它的長(zhǎng)度為無限；而2維尺度太粗，而在2維尺

23、度下 ，它的面積為0?？蓪ⅠT.科赫曲線看成是一個(gè)介于1維與2維之間的幾何對(duì)象，用非整數(shù)維的尺度來測(cè)量它能定量地表現(xiàn)馮.科赫曲線的復(fù)雜程度。第41頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一分維數(shù)的多種定義分?jǐn)?shù)維可用于定量描述分形集的復(fù)雜性。分維數(shù)已有多種定義。豪斯道夫維數(shù)是基于豪斯道夫測(cè)度而建立起來的一種分形維數(shù)，它是分形幾何的維數(shù)理論的基礎(chǔ)；盒維數(shù)或稱盒計(jì)數(shù)維數(shù)是一個(gè)具有廣泛應(yīng)用的維數(shù)，計(jì)算一個(gè)分形的盒維數(shù)是相對(duì)簡(jiǎn)單的。其他分維數(shù)有：柯爾莫哥諾夫熵、熵維數(shù)、容量維數(shù)、對(duì)數(shù)維數(shù)和信息維數(shù)等。 第42頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一列維(Levy)及法國(guó)學(xué)

24、派的工作列維(Levy) 的工作：其一，第一個(gè)系統(tǒng)研究自相似集；其二，建立了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的理論，實(shí)際上他是自相似分形與隨機(jī)分形理論的先驅(qū)之一。法國(guó)學(xué)派從稀薄集的研究出發(fā)，對(duì)各種類型的康托爾集及稀薄集作了系統(tǒng)的研究，建立了相應(yīng)的理論方法與技巧，并應(yīng)用于調(diào)和分析理論。維數(shù)的乘積理論、投影理論、位勢(shì)方法、網(wǎng)測(cè)度技巧、隨機(jī)技巧均先后建立并成熟，已使分形幾何的研究具有自己的特色與方法。第43頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一研究工作的局限性 盡管在此階段分形的研究取得了許多重要的結(jié)果，并使這一學(xué)科在理論上初見雛形，但是絕大部分從事這一領(lǐng)域工作的人主要局限于純數(shù)學(xué)理論的研究，而未與

25、其它學(xué)科發(fā)生聯(lián)系。 第44頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一相關(guān)學(xué)科的問題物理、地質(zhì)、天文學(xué)和工程學(xué)等等學(xué)科已產(chǎn)生了大量與分形幾何有關(guān)的問題，迫切需要新的思想與有力的工具來處理。曼德爾布萊特以其獨(dú)特的思想，自60年代以來，系統(tǒng)、深入、創(chuàng)造性地研究了海岸線的結(jié)構(gòu)、具強(qiáng)噪聲干擾的電子通訊、月球的表面、銀河系中星體的分布、地貌的生成的幾何性質(zhì)等等典型的自然界中的分形現(xiàn)象，并取得了一系 列令人矚目的成功 。第45頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一第三階段為1975年至今,是分形幾何在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用取得全面發(fā)展,并形成獨(dú)立學(xué)科的階段。 曼德爾布萊特將前人的

26、結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，集其大成，于1975年以“分形:形狀、機(jī)遇和維數(shù)”為名發(fā)表了他的劃時(shí)代的專著。 專著第一次系統(tǒng)地闡述了分形幾何的思想、內(nèi)容、意義和方法。此專著的發(fā)表標(biāo)志著分形幾何作為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)科正式誕生，把分形理論推進(jìn)到一個(gè)更為迅猛發(fā)展的新階段。 第46頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一DLA分形生長(zhǎng)模型1981年，維騰(Witten)和桑德(Sander)提出著名的DLA分形生長(zhǎng)模型。1982年，曼德爾布萊特出版分形：形、機(jī)遇與維數(shù)增補(bǔ)版改名大自然的分形幾何學(xué)1985年，曼德爾布萊特榮獲杰出科學(xué)貢獻(xiàn)獎(jiǎng)?wù)? 1989年，曼德爾布萊特榮獲哈維(Harvey)獎(jiǎng)。第47頁，

27、共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一學(xué)術(shù)性刊物1991年英國(guó)創(chuàng)辦國(guó)際學(xué)術(shù)性刊物混沌、孤子和分形(Chaos,Soliton and Fractals )。目前，混沌、分形、小波、時(shí)空離散系統(tǒng)、斑圖、自組織系統(tǒng)仍然是非線性科學(xué)研究的重點(diǎn) ,而分形與所有其他方面都有聯(lián)系。第48頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一謝和平院士的分形研究謝和平院士是我國(guó)最早從事分形應(yīng)用研究的科學(xué)家之一，他的主要工作是將分形理論應(yīng)用于巖石損傷力學(xué)的研究，提出了巖石損傷的分形模型及演化機(jī)理，取得了國(guó)際領(lǐng)先的成果。第49頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一分形藝術(shù)

28、80年代初，弗爾聶(A.Fournier)將分形圖形推向好萊塢影視業(yè)，主要影片有星際旅行之二：可罕之怒最后的星球斗士1988年，紐約時(shí)報(bào)記者格萊克著暢銷書混沌：開創(chuàng)新科學(xué)出版，1990年英國(guó)成立了一家利用混沌/分形理論生產(chǎn)并出售計(jì)算機(jī)藝術(shù)品的商店。第50頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一分形藝術(shù)圖片第51頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖5 謝爾賓斯基/門格爾海綿 第52頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖6 三維謝氏塔的自相似結(jié)構(gòu) 第53頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖4 謝氏四方墊片 第5

29、4頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一洛倫次曲線第55頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖7 四方內(nèi)生樹第56頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖8 分形龍 第57頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖10 曼德勃羅集圖 第58頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖10 曼德勃羅集圖 第59頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一第60頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖10a 曼德勃羅集逐步放大圖 第61頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖11曼德勃羅集逐步放大圖 第62頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖12 曼德勃羅集逐步放大圖 第63頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖13 曼德勃羅集“峽谷地帶”放大圖 第64頁，共91頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)40分，星期一圖16 廣義曼德勃