高中數(shù)學(xué)必修二 專(zhuān)題09 隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體（重難點(diǎn)突破）（無(wú)答案）

1、專(zhuān)題09 隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體知識(shí)結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)與考點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)定義：設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(nN)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.(2)最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.知識(shí)點(diǎn)二 系統(tǒng)抽樣(1)定義：當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)目較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照事先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣.(2)系統(tǒng)抽樣的操作步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行

2、分段，當(dāng)eq f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取keq f(N,n)；在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(lk)；按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)(lk)，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)(l2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本.知識(shí)點(diǎn)三 分層抽樣(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.(2)應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣.【知識(shí)拓展】1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率都是相同的.2.系統(tǒng)抽樣

3、一般也稱(chēng)為等距抽樣，入樣個(gè)體的編號(hào)相差分段間隔k的整數(shù)倍.3.分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘抽樣比.知識(shí)點(diǎn)四 頻率分布直方圖(1)頻率分布表的畫(huà)法：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距eq f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示eq f(頻率,組距)，每個(gè)小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率.知識(shí)點(diǎn)五 莖葉圖統(tǒng)計(jì)中一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).知

4、識(shí)點(diǎn)六 樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把eq f(a1a2an,n)稱(chēng)為a1，a2，an這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，xn的平均數(shù)為eq o(x,sup6()，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是seq r(f(1,n)（x1o(x,sup2()）2（x2o(x,sup2()）2（xno(x,sup2()）2)，s2eq f(1,n)(x1eq o(x,sup2()2(x2eq o(x,s

5、up2()2(xneq o(x,sup2()2.【知識(shí)擴(kuò)展】1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為eq o(x,sup2()，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均數(shù)是meq o(x,sup2()a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為s2.數(shù)據(jù)x1a，x2a，xna的方差也為s2；數(shù)據(jù)ax1，ax2，axn的

6、方差為a2s2.重難點(diǎn)題型突破重難點(diǎn)突破1 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣及其應(yīng)用例1.（1）.（湖南省株洲二中2019屆期末）某學(xué)校為調(diào)查高三年級(jí)的240名學(xué)生完成課后作業(yè)所需的時(shí)間，采取了兩種抽樣調(diào)查方式：第一種由學(xué)生會(huì)的同學(xué)隨機(jī)抽取24名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查；第二種由教務(wù)處對(duì)高三年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行編號(hào)，從001到240，抽取學(xué)號(hào)最后一位為3的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，則這兩種抽樣方法依次為()A.分層抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層抽樣（2）. （遼寧省本溪一中2019屆期中）在一個(gè)容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1，p

7、2，p3，則()A.p1p2p3 B.p2p3p1C.p1p3p2 D.p1p2p3【變式訓(xùn)練1】. （2021廣東惠州市高三一模）某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的50個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將50個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為01，02，50，從中抽取5個(gè)樣本，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第1行到第2行：若從表中第1行第9列開(kāi)始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的第4個(gè)樣本編號(hào)是（ ）A10B09C71D20【變式訓(xùn)練2】. （2021河南安陽(yáng)市高三一模（文）嫦娥五號(hào)的成功發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了中國(guó)航天史上的五個(gè)“首次”，某中學(xué)為此舉行了“講好航天故事”演講比賽.若將報(bào)名的30位同學(xué)編號(hào)為01，02，30，利用下面的隨機(jī)數(shù)表來(lái)決定他

8、們的出場(chǎng)順序，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，重復(fù)的跳過(guò)，則選出來(lái)的第7個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（ ）A12B20C29D23重難點(diǎn)突破2 系統(tǒng)抽樣及其應(yīng)用例2. （1）.（河南省許昌一中2019屆模擬）利用系統(tǒng)抽樣法從編號(hào)分別為1,2,3，80的80件不同產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為16的樣本，如果抽出的產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品的編號(hào)為13，則抽到產(chǎn)品的最大編號(hào)為()A.73B.78C.77D.76（2）.（湖北省咸寧一中2019屆模擬）某校高三年級(jí)共有30個(gè)班，學(xué)校心理咨詢室為了了解同學(xué)們的心理狀況，將每個(gè)班編號(hào)，依次為1到30，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取5個(gè)班進(jìn)行調(diào)查，若抽

9、到的編號(hào)之和為75，則抽到的最小的編號(hào)為_(kāi).【變式訓(xùn)練1】. （山東省青島二中2019屆模擬）一個(gè)總體中有90個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)0，1，2，89，依從小到大的編號(hào)順序平均分成9個(gè)小組，組號(hào)依次為1，2，3，9.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為9的樣本，規(guī)定：如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為m，那么在第k組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與mk的個(gè)位數(shù)字相同，若m8，則在第8組中抽取的號(hào)碼是_.【變式訓(xùn)練2】. （2021奉新縣第一中學(xué)高三三模（文）某學(xué)校決定從該校的2000名高一學(xué)生中采用系統(tǒng)抽樣（等距）的方法抽取50名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)分析，現(xiàn)將2000名學(xué)生從1至2000編號(hào)，已知樣本中第一個(gè)編號(hào)為7，則抽取的第2

10、6個(gè)學(xué)生的編號(hào)為（ ）A997B1007C1047D1087重難點(diǎn)突破3 分層抽樣及其應(yīng)用例3（2020云南昆明一中高三（文）“二萬(wàn)五千里長(zhǎng)征”是1934年10月到1936年10月中國(guó)工農(nóng)紅軍進(jìn)行的一次戰(zhàn)略轉(zhuǎn)移，是人類(lèi)歷史上的偉大奇跡，向世界展示了中國(guó)工農(nóng)紅軍的堅(jiān)強(qiáng)意志，在期間發(fā)生了許多可歌可泣的英雄故事.在中國(guó)共產(chǎn)黨建黨周年之際，某中學(xué)組織了“長(zhǎng)征英雄事跡我來(lái)講”活動(dòng)，已知該中學(xué)共有高中生名，用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本參加活動(dòng)，其中高三年級(jí)抽了人，高二年級(jí)抽了人，則該校高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)為（ ）ABCD【變式訓(xùn)練1】.（2020河南省開(kāi)封市高三模擬（文）為應(yīng)對(duì)新冠疫情

11、，許多企業(yè)在非常時(shí)期轉(zhuǎn)產(chǎn)抗疫急需物資，某工廠轉(zhuǎn)產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的防疫物資，產(chǎn)量分別為件.為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽.取件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從甲種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取_件.重難點(diǎn)突破4 莖葉圖及其應(yīng)用例4（1）（2020屆河南省鄭州市高三第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)）鄭州市2019年各月的平均氣溫?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如下：則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）A20B21C20.5D23（2）（2021山東煙臺(tái)市高三二模）（多選題）某教練組為了比較甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員的競(jìng)技狀態(tài)，選取了他們最近10場(chǎng)常規(guī)賽得分制成如圖的莖葉圖，則從最近10場(chǎng)比賽的得分看（ ）A甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù)B甲的平均數(shù)

12、大于乙的平均數(shù)C甲的競(jìng)技狀態(tài)比乙的更穩(wěn)定D乙的競(jìng)技狀態(tài)比甲的更穩(wěn)定【變式訓(xùn)練1】.（2020河北省滄州市高三一模）某工廠為生產(chǎn)一種標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為的精密器件，研發(fā)了一臺(tái)生產(chǎn)該精密器件的車(chē)床，該精密器件的實(shí)際長(zhǎng)度為，“長(zhǎng)度誤差”為，只要“長(zhǎng)度誤差”不超過(guò)就認(rèn)為合格已知這臺(tái)車(chē)床分晝、夜兩個(gè)獨(dú)立批次生產(chǎn)，每天每批次各生產(chǎn)件已知每件產(chǎn)品的成本為元，每件合格品的利潤(rùn)為元在晝、夜兩個(gè)批次生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取件，檢測(cè)其長(zhǎng)度并繪制了如下莖葉圖：（1）分別估計(jì)在晝、夜兩個(gè)批次的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品為合格品的概率；（2）以上述樣本的頻率作為概率，求這臺(tái)車(chē)床一天的總利潤(rùn)的平均值.【變式訓(xùn)練2】.2021陜西西安市高

13、三月考（文）某中學(xué)高一（1）班在接種了“新冠疫苗”之后，舉行了“疫情防控，接種疫苗”知識(shí)競(jìng)賽.這次競(jìng)賽前21名同學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示，已知前7名女生的平均得分為221分.（1）求莖葉圖中的值；（2）如果在競(jìng)賽成績(jī)高于205分且按男生和女生分層抽樣抽取6人，再?gòu)倪@6人中任選3人作為后期舉行的“接種疫苗，感恩祖國(guó)”主題班會(huì)中心發(fā)言人，求這3人中有女生的概率.重難點(diǎn)突破5 頻率分布直方圖 例5（2020云南昆明一中高三）某學(xué)校為了解本校文、理科學(xué)生的學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)情況，分別從理科班學(xué)生中隨機(jī)抽取人的成績(jī)得到樣本甲，從文科班學(xué)生中隨機(jī)抽取人的成績(jī)得到樣本乙，根據(jù)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方

14、圖：甲樣本數(shù)據(jù)直方圖乙樣本數(shù)據(jù)直方圖已知乙樣本中數(shù)據(jù)在的有個(gè).（1）求和乙樣本直方圖中的值；（2）試估計(jì)該校理科班學(xué)生本次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值和文科班學(xué)生本次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）.【變式訓(xùn)練1】.（2020東北師大附中高三模擬）2019年10月1日我國(guó)隆重紀(jì)念了建國(guó)70周年，期間進(jìn)行了一系列大型慶?；顒?dòng)，極大地激發(fā)了全國(guó)人民的愛(ài)國(guó)熱情.某校高三學(xué)生也投入到了這場(chǎng)愛(ài)國(guó)活動(dòng)中，他(她)們利用周日休息時(shí)間到社區(qū)做義務(wù)宣講員，學(xué)校為了調(diào)查高三男生和女生周日的活動(dòng)時(shí)間情況，隨機(jī)抽取了高三男生和女生各40人，對(duì)他(她)們的周日活動(dòng)時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，分別得到了高

15、三男生的活動(dòng)時(shí)間(單位：小時(shí))的頻數(shù)分布表和女生的活動(dòng)時(shí)間(單位：小時(shí))的頻率分布直方圖.（活動(dòng)時(shí)間均在內(nèi)）活動(dòng)時(shí)間頻數(shù)8107942（1）根據(jù)調(diào)查，試判斷該校高三年級(jí)學(xué)生周日活動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)的是男生還是女生？并說(shuō)明理由；（2）在被抽取的80名高三學(xué)生中，從周日活動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.【變式訓(xùn)練2】.（2021安徽蕪湖市高三二模（文）有一種魚(yú)的身體吸收汞，一定量身體中汞的含量超過(guò)其體重的的魚(yú)被人食用后，就會(huì)對(duì)人體產(chǎn)生危害某海鮮市場(chǎng)進(jìn)口了一批這種魚(yú)，質(zhì)監(jiān)部門(mén)對(duì)這種魚(yú)進(jìn)行抽樣檢測(cè)，在30條魚(yú)的樣本中發(fā)現(xiàn)的汞含量（乘以百萬(wàn)分之一）如下：0.07 0.34 0.95 0.9

16、8 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02 1.44 1.58 0.54 1.08 0.71 0.70 1.20 1.24 1.62 1.681.85 1.30 0.81 0.82 0.84 1.39 1.26 2.20 0.91 1.31（1）完成下面頻率分布表，并畫(huà)出頻率分布直方圖；頻率分布表：分組頻數(shù)頻率1合計(jì)301頻率分布直方圖：（2）根據(jù)頻率分布直方圖估算樣本數(shù)據(jù)的平均值（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表），并根據(jù)頻率分布直方圖描述這批魚(yú)身體中汞含量的分布規(guī)律重難點(diǎn)突破6 樣本的數(shù)字特征例6（1）（2020屆湖北省高三模擬）某城市在進(jìn)行創(chuàng)建文明

17、城市的活動(dòng)中，為了解居民對(duì)“創(chuàng)建文明城”的滿意程度，組織居民給活動(dòng)打分（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分），從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為120的樣本，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)均在40，100內(nèi)現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成以下6組并畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示觀察圖形則下列說(shuō)法中有錯(cuò)誤的是（ ）A第三組的頻數(shù)為18人B根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)為75分C根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)為75分D根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)為75分（2）（2020屆安徽省皖南八校高三第三次聯(lián)考）新高考方案規(guī)定，普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績(jī)將計(jì)入高考總成績(jī)，

18、即“選擇考”成績(jī)根據(jù)學(xué)生考試時(shí)的原始卷面分?jǐn)?shù)，由高到低進(jìn)行排序，評(píng)定為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí).某試點(diǎn)高中2019年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2017年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生“選擇考”的水平情況，統(tǒng)計(jì)了該校2017年和2019年“選擇考”成績(jī)等級(jí)結(jié)果，得到如圖表： 針對(duì)該?！斑x擇考”情況，2019年與2017年比較，下列說(shuō)法正確的是( )A獲得A等級(jí)的人數(shù)不變B獲得B等級(jí)的人數(shù)增加了1倍C獲得C等級(jí)的人數(shù)減少了D獲得E等級(jí)的人數(shù)不變【變式訓(xùn)練1】.（2020湖北省隨州市高三調(diào)研）某大學(xué)為了調(diào)查該校學(xué)生性別與身高的關(guān)系，對(duì)該校1000名學(xué)生按照的比例進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到身高頻數(shù)分布表如下：男生身高頻率分布表男生身高（單位：厘米）頻數(shù)710191842女生身高頻數(shù)分布表女生身高（單位：厘米）頻數(shù)31015633（1）估計(jì)這1000名學(xué)生中女生的人數(shù)；（2）估計(jì)這1000名學(xué)生中身高在的概率；（3）在樣本中，從身高在的女生中任取2名女生