命題與證明的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、命題與證明的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理二、知識(shí)點(diǎn)歸類知識(shí)點(diǎn)一定義的概念對于一個(gè)概念特征性質(zhì)的描述叫做這個(gè)概念的定義。如：“兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離”是“兩點(diǎn)之間的距離”的定義。注意：定義必須嚴(yán)密的，一般避免使用含糊不清的語言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現(xiàn)。知識(shí)點(diǎn)二命題的概念敘述一件事情的句子（陳述句），要么是真的，要么是假的，那么稱這個(gè)陳述句是一個(gè)命如“你是一個(gè)學(xué)生”、“我們所使用是教科書是湘教版的”等。注意：（1）命題必須是一個(gè)完整的句子。（2）這個(gè)句子必須對某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。知識(shí)點(diǎn)三命題的結(jié)構(gòu)每個(gè)命題都有條件和結(jié)論兩部分組成

2、。條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)。一般地，命題都可以寫出“如果，那么”的形式。有的命題表面上看不具有“如果，那么”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對頂角相等”，改寫成“如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等”。例把下列命題改寫成“如果，那么”的形式，并指出條件與結(jié)論。1、同角的余角相等2、兩點(diǎn)確定一條直線知識(shí)點(diǎn)四真命題與假命題如果一個(gè)命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題；如果一個(gè)命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題注意：真、假命題的區(qū)別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時(shí)，要注意把握這點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)五證明及互逆命題的定義1、從一個(gè)命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的

3、結(jié)論成立，這個(gè)過程叫作證明。注意：證明一個(gè)命題是假命題的方法是舉反例，即找出一個(gè)例子，它符合命題條件，但它不滿足命題的結(jié)論，從而判斷這個(gè)命題是假命題。2、一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，這兩個(gè)命題稱為互逆的命題，其中的一個(gè)命題叫作另一個(gè)命題的逆命題。注意：一個(gè)命題為真不能保證它的逆命題為真，逆命題是否為真，需要具體問題具體分析。例說出下列命題的逆命題，并指出它們的真假。逆諭瑟罐若p則q若Q0.If狂用JC烤丁則p其假疔應(yīng)關(guān)爲(wèi)可?？衫锌身摽杉偌倏烧婵砷y可異可假可頁可底真真可頁可逼可真可假腹假可頁可愀類型一：例、判斷下列語句在表述形式上，哪些對事情作了判斷？哪些沒有對事情作出判斷

4、？對頂角相等；(2)畫一個(gè)角等于已知角；(3)兩直線平行，同位角相等；(4)曲，&兩條直線平行嗎？(5)鳥是動(dòng)物；(6)若，求厘的值；(7)若，則,思路點(diǎn)撥:通過本題熟悉命題的定義解析：句子(1X3)(5)(7)對事情作了判斷，句子(2)(4)(6)沒有對事情作出判斷其中(1)(3)(5)判斷是正確的，(7)判斷是錯(cuò)誤的.【變式1】下列語句中，哪些是命題，哪些不是命題？若aZB嗎？(4)兩點(diǎn)之間線段最短；(5)解方程；(6)1+2工3.【答案】(1)(2)(4)(6)是命題，(3)(5)不是命題.類型二：例、指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫成“如果.那么.”的形式：三條邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全

5、等；(2)在同一個(gè)三角形中，等角對等邊；對頂角相等；(4)同角的余角相等；三角形的內(nèi)角和等于180；(6)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.思路點(diǎn)撥：找出命題的條件和結(jié)論是本題的難點(diǎn)，因?yàn)槊}在敘述時(shí)要求通順和簡練，把命題中的有些詞或句子省略了，在改寫時(shí)注意要把省略的詞或句子添加上去.解析：(1)“三條邊對應(yīng)相等”是對兩個(gè)三角形來說的，因此寫條件時(shí)最好把“兩個(gè)三角形”這句話添加上去，即命題的條件是“兩個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)相等”，結(jié)論是“這兩個(gè)三角形全等”.可以改寫成“如果兩個(gè)三角形有三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等”“等角對等邊含義”是指有兩個(gè)角相等所對的兩條邊相等?？梢愿膶懗伞叭绻谕?/p>

6、個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等?！敝档米⒁獾氖?，命題中包含了一個(gè)前提條件：“在一個(gè)三角形中”，在改寫時(shí)不能遺漏.這個(gè)命題的條件是“兩個(gè)角是對頂角”，結(jié)論是“兩個(gè)角相等”.這個(gè)命題可以改寫成“如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等”條件是“兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角”，結(jié)論是“這兩個(gè)角相等”.這個(gè)命題可以改寫成“如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等”.條件是“三個(gè)角是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角”，結(jié)論是“這三個(gè)角的和等于180?！?這個(gè)命題可以改寫如果“三個(gè)角是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，那么這三個(gè)角的和等于180?！?；“如果一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。

7、”總結(jié)升華：注意原命題中省略的重要內(nèi)內(nèi)容一定要補(bǔ)充完整?！咀兪?】試將下列各個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論相互顛倒或變?yōu)榉穸ㄊ?，得到新的命題，并判斷這些命題的真假.對頂角相等；(2)兩直線平行，同位角相等；(3)若a=O，則ab=0；(4)兩條直線不平行，則一定相交；【答案】對頂角相等(真)；相等的角是對頂角(假)；不是對頂角不相等(假)；不相等的角不是對頂角(真)兩直線平行，同位角相等(真)；同位角相等，兩直線平行(真)；兩直線不平行，同位角不相等(真)；同位角不相等，兩直線不平行(真)若a=0,則ab=O(真)；若ab=0,則a=0(假)；若a#0,則ab#0(假)；若ab#0,則a#0(真).兩條直

8、線不平行，則一定相交(假)；兩條直線相交，則一定不平行(真)；兩條直線平行，則一定不相交(真)；兩條直線不相交，則一定平行(假)【變式2】判斷正誤：TOC o 1-5 h z如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等。()如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角。()如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，那么這兩個(gè)角是對頂角。()如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，有一條公共邊，那么這兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角。()如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定互為補(bǔ)角。()如果兩個(gè)角的和是180，那么這兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角。()對頂角的角平分線在同一條直線上。()如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，且角平分線互為反向延長線，那么這兩個(gè)角是對頂角?！敬鸢浮浚?1)7；(2)

9、x；(3)x；(4)x；(5)7；(6)x；(7)7；(8)x。注：判斷題如果是正確的命題需要加以說明或論證，找出依據(jù)，如果是錯(cuò)誤的命題，只要舉出一個(gè)反例即可。知識(shí)點(diǎn)六公理與定理數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其它命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理。以基本定義和公理作為推理的出發(fā)點(diǎn)，去判斷其他命題的真假，已經(jīng)判斷為真的命題稱為定理。注意：(1)公理是不需要證明的，它是判斷其他命題真假的依據(jù)，定理是需要證明；(2)定理都是真命題，但真命題不一定都是定理。例填空：(1)同位角相等，則兩直線；(2)平面內(nèi)兩條不重合的直線的位置關(guān)系是；(3)四邊形是平行四邊形

10、。知識(shí)點(diǎn)七互逆定理如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理。注意：每個(gè)命題都有逆命題，但并非所有的定理都有逆定理。如：“對頂角相等”就沒逆定理。知識(shí)點(diǎn)八證明的含義從一個(gè)命題的條件出發(fā)，通過講道理(推理)，得出它的結(jié)論成立，從而判定該命題為真，這個(gè)過程叫做證明。推理證明的必要性：判斷猜想的數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)是不夠的，必須一步一步，有理有據(jù)地進(jìn)行推理。證明命題的步驟：由題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一步步的推理最后推出結(jié)論(書證)正確的過程叫做證明。證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理，在此以前學(xué)過的定理。(

11、證明命題的格式一般為：1)按題意畫出圖形；2)分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結(jié)論；3)在“證明”中寫出推理過程)證明的四個(gè)注意注意：公理是通過長期實(shí)踐反復(fù)驗(yàn)證過的，不需要再進(jìn)行推理論證而都承認(rèn)的真命題：公理可以作為判定其他命題真假的根據(jù).注意，定理都是真命題，但真命題不一定都是定理；一般選擇一些最基本最常用的真命題作為定理，可以以它們?yōu)楦鶕?jù)推證其他命題.這些被選作定理的真命題，在教科書中是用黑體字排印的.注意：在幾何問題的研究上，必須經(jīng)過證明，才能作出真實(shí)可靠的判斷。如兩直線平行，同位角相等”這個(gè)命題，如果只采用測量的方法.只能測量有限個(gè)兩平行直線的同位角

12、是相等的.但采用推理方法證明兩平行直線的同位角相等，那么就可以確信任意兩平行直線的同位角相等.注意：證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”論據(jù)必須是真命題，如；定義、公理、已經(jīng)學(xué)過的定理和已知條件；論據(jù)的真實(shí)性不能依賴于論證的真實(shí)性；論據(jù)應(yīng)是論題的充足理由.例1.證明：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。已知：ab,c是截線求證：Z1=Z2分析：要證Z1=Z2只要證Z3=Z2即可，因?yàn)閆3與Z1是對頂角，根據(jù)平行線的性質(zhì)，易得出Z3=Z2證明：Tab（已知）.Z3=Z2（兩直線平行，同位角相等）VZ1=Z3（對頂角相等）AZ1=Z2（等量代換）例2.如圖所示，已知：ZA=ZF,ZC=ZD，求證：BD

13、CE分析：要證BDCE，只需證得ZD=ZCEF或ZD+ZCED=180即可，由于ZC=ZD，因此只要ZC=ZCEF或ZC+ZCED=180，這就需要有ACDF，由已知條件中的ZA=ZF，可以得出ACDF，故此題可證證明：.ZA=ZF（已知）.ACDF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）AZC=ZCEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又VZD=ZC（已知）；.ZD=ZCEF（等量代換）.BD/CE（同位角相等，兩直線平行）【變式】已知：如圖正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長線上一點(diǎn)，且CE=CF（1）求證：ABCE竺ADCF（2）若ZFDC=30，求ZBEF的度數(shù)。13與11相交于點(diǎn)P.知識(shí)點(diǎn)九反

14、證法反證法：在證明一個(gè)命題時(shí)，人們有時(shí)先假設(shè)命題不成立，從這樣的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義，公理，定理等矛盾的結(jié)論，從而得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的，即所求證的命題成立，這種證明方法叫做反正法。反證法的基本步驟：1.假設(shè)命題的結(jié)論不成立2從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾。3有矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確結(jié)論的反面不止一種情形的反證法：應(yīng)用反證法證明命題時(shí)，首先要分清命題的題設(shè)和結(jié)論，再全面地否定結(jié)論，如果結(jié)論的反面不止一種情形，那么必須把各種可能性都列出來，并且在逐一加以否定之后，才能肯定原結(jié)論正確。例1、已知：如右圖，直線l1，l2,13在同一平面內(nèi)，且

15、ll2,求證：13與12相交.（使用反證法）思路點(diǎn)撥:仔細(xì)閱讀反證法的定義，掌握這種方法的規(guī)律。解析：證明：假設(shè)，即，又J（已知），過直線12外一點(diǎn)P有兩條直線113與直線12平行，這與“”相矛盾,假設(shè)不成立，即求證的命題成立，.13與12相交.【變式1】用反證法證明不是有理數(shù)【變式2】我們年級(jí)有367名學(xué)生，請你證明這些學(xué)生中至少有兩個(gè)學(xué)生在同一天過生日.鞏固訓(xùn)練1把命題“三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”寫成“如果，那么”的形式是2.命題“如果a2二b2，那么a=b”的逆命題是命題（填“真”或“假”）3命題“三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是一個(gè).如圖，已知梯形ABCD中，ADBC,AD=3,AB=CD=4,BC=7，則ZB=.用反證法證明“bb”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)12下列語句中，不是命題的是（）D.作線段ABA.直角都等于90B.面積相等的兩個(gè)三角形全等C.互補(bǔ)的兩個(gè)角不相等下列命題是真命題的是（）A.兩個(gè)等腰三角形全等B.等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰距離相等C.同位角相等D.兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等下列命題的逆命題是真命題的是（）A.兩直線平行同位角相等B.對頂角相等C.若a=b，則a2二b2D.若（a+1）xa+1，則x19下列條件中，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A.兩條