可測(cè)函數(shù)列常見的幾種收斂

1、可測(cè)函數(shù)列常見的幾種收斂摘要：本文介紹了可測(cè)函數(shù)列常見的幾種收斂：一致收斂、幾乎一致收斂、幾乎處處收斂、依測(cè)度收斂等以及它們之間的關(guān)系關(guān)鍵字：可測(cè)函數(shù)列；一致收斂；幾乎一致收斂；幾乎處處收斂；依測(cè)度收斂、/-、-前言在數(shù)學(xué)分析中我們知道一致收斂是函數(shù)列很重要的性質(zhì)，比如它能保證函數(shù)列的極限過程和(R)積分過程可交換次序等.可是一般而言函數(shù)列的一致收斂性是不方便證明的，而且有些函數(shù)列在其收斂域內(nèi)也不一定是一致收斂的，如文中所給的例2函數(shù)f(x)在收斂域0,1內(nèi)不一致收斂，但對(duì)于一個(gè)60當(dāng)5T0時(shí)在0,5內(nèi)一致收斂，這不見說明了一致收斂的特殊性，也驗(yàn)證了我們平時(shí)常說的“矛盾的同一性和矛盾的斗爭(zhēng)性是

2、相聯(lián)系的、相輔相成的”11可測(cè)函數(shù)列幾種收斂的定義一致收斂3設(shè)f(x),f(x),f(x),L,f(x),L是定義在點(diǎn)集E上的實(shí)值函數(shù).若對(duì)于0,存12k在KgN,使得對(duì)于VkK,VxeE都有+f(x)-f(x)則稱f(x)在E上一致收斂到f(x).記作：fif淇中u表示一致uniform).kk點(diǎn)點(diǎn)收斂若函數(shù)列f(x),f(x),f(x),L,f(x),L在點(diǎn)集DuE上每一點(diǎn)都收斂，則稱它在12kD上點(diǎn)點(diǎn)收斂.例1定義在E=0,1上的函數(shù)列f(x)=-,則f(x)在E上點(diǎn)點(diǎn)收斂到函數(shù)k1+kxk1,x=0,f(x)斗0,0 x0,f(x)在5,1上kk一致收斂到f(x)幾乎一致收斂3設(shè)E是可

3、測(cè)集，若V50,BEuE,使得m(EE)0,5t0)則f(x)在此區(qū)間上就一致收斂，像這樣的收斂我們就可以k稱之為在E=0,1上幾乎一致收斂與0.幾乎處處收斂3設(shè)f(x),f(x),f(x),L,f(x),L是定義在點(diǎn)集EuRn上的廣義實(shí)值函數(shù).若存在12kE中點(diǎn)集Z，有m(Z)=0,及對(duì)于每一個(gè)元素xeEZ,有l(wèi)imf(x)=f(x)xT8k則稱f(x)在E上幾乎處處收斂與f(x)，并簡(jiǎn)記為fTf,a.eE或faf.TOC o 1-5 h zkkk若上文的例1也可以稱之為在0,1上幾乎處處收斂與f(x).依測(cè)度收斂例3在0,1)上構(gòu)造函數(shù)列f(x)如下：對(duì)于keN，存在唯一的自然數(shù)i和j，k

4、+使得k=2i+j,其中0j2i,令f(x)=X(x),k=1,2,L,xe0,1). HYPERLINK l bookmark20 o Current Document k3)2i2i任意給定的xe0,1),對(duì)于每一個(gè)自然數(shù)i，有且僅有一個(gè)j，使得xej,上丄).數(shù)002i2i列f(x)中有無窮多項(xiàng)為1，有無窮多項(xiàng)為0由此可知，函數(shù)列f(x)在0,1)上0k點(diǎn)點(diǎn)不收斂因此僅考慮點(diǎn)收斂將得不到任何信息然而仔細(xì)觀察數(shù)列f(x)雖然k0有無窮多個(gè)1出現(xiàn)，但是在“頻率”意義下，0卻也大量出現(xiàn)這一事實(shí)可以用點(diǎn)集測(cè)度語言來刻畫.只要k足夠大，對(duì)于088=xe0,1)|f(x)=1k=j,1)2i2i的測(cè)

5、度非常小事實(shí)上m(xe0,1)f(x)-08)=2.2i這樣對(duì)于任給的50,總可以取到k也就是取到i使得當(dāng)kk時(shí)，有0,0,0m(xe0,1)|fk(x)-0|1-6其中2-00,有l(wèi)imm(E(|f-f|8)=0,xU則稱f(x)在E上依測(cè)度收斂到函數(shù)f(x)，記為ff.Jck2可測(cè)函數(shù)列幾種收斂的關(guān)系點(diǎn)點(diǎn)收斂與一致收斂的關(guān)系由上述定義我們可以知道ff，必有f(x)點(diǎn)點(diǎn)收斂于f(x).如例1.kk反之則不一定成立，如例2.而且還可以得到若f(x)是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)列,k則f(x)也是可測(cè)函數(shù).幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系由定義可知有一致收斂必幾乎處處收斂(fTfnfTf).反之則不kk然

6、，如例2.而且還可以得到若f(x)是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)列，則極限函數(shù)f(x)k也是可測(cè)函數(shù).應(yīng)用：從數(shù)學(xué)分析我們知道一致收斂的函數(shù)列對(duì)于求極限運(yùn)算和(R)積分運(yùn)算、微分運(yùn)算與(R)積分運(yùn)算等可以交換次序.幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系葉果洛夫(EropoB)定理：設(shè)m(E)0，存在子集EuE，使fn在E上一致收斂，85且m(EE)5.5注定理中“m(E)5”不可去掉如：例4定義在E=(0,+8)的函數(shù)列I1,xe(0,mf(x)=hJ:(m=1,2,L).m0,xe(m,+s)則f在(0,+8)上處處收斂于1，但對(duì)于任何正數(shù)5及任何可測(cè)集E，當(dāng)時(shí)m5m(EE)5時(shí)，f在E上不一致收斂于1.這是

7、因?yàn)椋?dāng)時(shí)m(EE)If(x)-1|二1mmmxeE5所以f(x)在E上不一致收斂與1，也即定理中“m(E)0，存在閉子集FuE，5使f(x)在F上是連續(xù)函數(shù)，且m(EF)5.55也就是說：在e上.有限的可測(cè)函數(shù)“基本上”是連續(xù)的(在除去一個(gè)測(cè)度為任意小集合的子集上)也即我們可以用連續(xù)函數(shù)來逼近有限的可測(cè)函數(shù)幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂的關(guān)系例5取E=(0,1,將e等分，定義兩個(gè)函數(shù):1,xe(0,1f(嘰X)斗，110,Xe(-,1f10,Xe(0,-f(1)(x)=211,Xe(2，1然后將(0,1四等分、八等分等等.一般的，對(duì)于每個(gè)n，作2n個(gè)函數(shù):n,100，Ef(n)-0Q或是空集(當(dāng)&

8、1),或是(上1，丄(當(dāng)0b)1時(shí)，左端為0).由于當(dāng)N=2n2+j(j=1,2,L,2n.)趨于g時(shí)ng，由此可見limm(Ef(n)-0)=0，Nsj也即f(n)(X)m0.j但是函數(shù)列在上的任何一點(diǎn)都不收斂.事實(shí)上，對(duì)于任何點(diǎn)Xe(0,1，無論n多么0n大，總存在j，使xe(上1，丄，因而f(n)(x)=1，然而f(n)(x)=0或f(n)(x)=0,02n2nj0j+10j-10換言之，對(duì)于任何xe(0,1，在f(n)(x)中必有兩子列，一個(gè)恒為1,另一個(gè)恒為0.所0j0以序列(1)在(0,1上任何點(diǎn)都是發(fā)散的.這也就說明依測(cè)度收斂的函數(shù)列不一定處處收斂，也就是說依測(cè)度收斂不能包含幾乎

9、處處收斂，但仍有：黎斯(FRiesz)設(shè)在E上/測(cè)度收斂于f，則存在子列f在E上.收斂nni于f.例6如例4，當(dāng)f(x)t1(nts)當(dāng)xeE.但是當(dāng)01時(shí)，mEf-1|“=(m,+s)m且m(m,+s)=s.這說明f不依測(cè)度收斂于1.n這個(gè)例子又說明了幾乎處處收斂也不包含依測(cè)度收斂，但是有下述關(guān)系：勒貝格(Lebesgue)設(shè)mEf(x).n此定理中的“mEs”不可去掉，原因參看例1.定理也說明在的在的條件mEg下，依測(cè)度收斂弱于幾乎處處收斂.有以上定理黎斯又給出了一個(gè)用幾乎處處收斂來判斷依測(cè)度收斂的充要條件：設(shè)mE0，使得m(Eff|q)不趨于0因此必有子序列f，使得nklimm(E(ff

10、q)=a0.kT8nk這樣f就不可能再有子序列幾乎處處收斂于f了，否則由勒貝格定理知將有fnknk依測(cè)度收斂于f，即limm(E(ffq)=0.kT8nk這與上式矛盾，所以f依測(cè)度收斂于f.n應(yīng)用依測(cè)度收斂在概率統(tǒng)計(jì)中有重要的意義，如例3；它也是證明中心極限定理的重要依據(jù)，由中心極限定理我們可以知道用一個(gè)正態(tài)分布來模擬一個(gè)樣本容量較大的樣本的概率分布，從而簡(jiǎn)化了大樣本概率分布的處理和計(jì)算7.結(jié)束語結(jié)束語：上述定義中的各種收斂的極限函數(shù)都是唯一的，而且從本文還可以知道一致收斂是最強(qiáng)的收斂，它蘊(yùn)含了點(diǎn)點(diǎn)收斂、幾乎處處收斂、依測(cè)度收斂等上述幾種收斂.各種收斂都有不同的意義，在各種實(shí)踐中作用也各不同.參考文獻(xiàn)：馬克思主義基本原理概論教材編寫課題組.馬克思主義基本原理概論M.高等教育出版社，2009,7華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析(第三版)M.高等教育出版社，2001,6.郭懋正.實(shí)變函數(shù)與泛函分析M.北京大學(xué)出版社，2005,