相似三角形經(jīng)典題(含答案)

1、第 頁共6頁相似三角形經(jīng)典習(xí)題從下而這些三角形中,已知：如圖，SBCD中，AE:EB = I:2,求AEF與ACQF的周長的比，如果SM肋=6cmS 求5ICDr .例 3 如圖，已知 ABDAACE 求證：ABC ADE.例4下列命題中哪些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的？（1）所有的直角三角形都相似.（2）所有的等腰三角形都相似.（3）所有的等腰直角三角形都相似.（4）所有的等邊三角形都相似.例5如圖，D點(diǎn)是ABC的邊AC 的一點(diǎn)，過D點(diǎn)畫線段DE,使點(diǎn)EABC的邊上，并且點(diǎn)D、點(diǎn)E和ABC 的一個(gè)頂點(diǎn)組成的小三角形與ABC相似.盡可能多地畫出滿足條件的圖形.并說明線段DE的畫法例6如圖，一人拿著一

2、支刻有厘米分畫的小尺，站在距電線桿約30米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺 上約12個(gè)分畫恰好遮住電線桿，已知手臂長約60厘米，求電線桿的高例7如圖，小明為了測量一髙樓MN的髙，在離N點(diǎn)20m的A處放了一個(gè)平而鏡，小明沿NA后退到C點(diǎn)，正好從鏡中看到樓頂M點(diǎn)，若C=1.5n小明的眼睛離地而的髙度為1.6m,請你幫助小明計(jì)算一下樓房的髙度(精確到 OJm).例8格點(diǎn)圖中的兩個(gè)三角形是否是相似三角形，說明理由.例9根據(jù)下列各組條件，判ABC和zVT3zC是否相似，并說明理由:(1) 43 = 3.5Cln 3C = 2.5CnXCA = 4CnXA,Br = 24.5CIn FC = 17

3、.5ClnCrz = 28cm.(2) ZA = 35。,Z3 = 104。,ZC = 44。,ZzT = 35。(3) AB = BC= 2.6,ZB = 48：AfBf = 1.5,B9C = 1.3,Bt = 48例10如圖，下列每個(gè)圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來，并簡要說明識別的根據(jù).例11已知：如圖,在ABC中，AB = AaZA = 36o,BD是角平分線,試?yán)萌切蜗嗨频年P(guān)系說明AD2 =DC-AC.例12已知ABC的三邊長分別為5、12、13,與其相似的AfBfC的最大邊長為26,求A,B,C,的而積S.例13在一次數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們到操

4、場上測疑旗桿的髙度，然后回來交流各自的測量方法.小芳的測量方 法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在離旗桿27米的C1處（如圖），然后沿BC方向疋到Z）處，這時(shí)目測旗桿頂部A與 竹竿頂部E恰好在同一直線上，又測得C、D兩點(diǎn)的距離為3米，小芳的目髙為1.5米，這樣便可知道旗桿的高.你認(rèn) 為這種測量方法是否可行？請說明理由.ABC D例14.如圖，為了估算河的寬度我們可以在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)久再在河的這一邊選點(diǎn)B和C,使ABLBC. 然后再選點(diǎn)E,使EC丄BC,確定BC與AE的交點(diǎn)為D 測得Br）=I20米，DC = 60米，EC = 50米，你能求出 兩岸之間AB的大致距離嗎？例15如圖，為了

5、求岀海島上的山 AB的高度，在D和F處樹立標(biāo)桿DC和FE,標(biāo)桿的高都是3丈，相隔Io（M）步 （1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平而內(nèi)，從標(biāo)桿DC退后123步的G處，可看到山峰A和標(biāo)桿頂端C在 一直線上，從標(biāo)桿FE退后127步的H處，可看到山峰A和標(biāo)桿頂端E在一直線上.求山峰的高度AB及它和標(biāo)桿CD 的水平距離BD各是多少？（古代問題）例16 如圖，已知 ABC的邊AB=2y3, AC=2, BC邊上的高AD= 3（1）求BC的長：（2）如果有一個(gè)正方形的邊在AB上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在Aa BC上,求這個(gè)正方形的面積相似三角形經(jīng)典習(xí)題答案例1 解 、相似，、相似，.相似例2.解 V

6、ABCD是平行四邊形，： ABHCDAB = CD, ：. AEF SCDF,又 A:EB = I:2, A AE:Cr) = I:3, AEF 與 ACDF 的周長的比是 1： 3.S1乂=(了幾SMEF = 6(Cml), .e. SxDF = 54(Cm)ICDF 3 C例3分析 由于ABDACE.則ZBAD=ZCAE.因此ZBAC=ZDAE,如果再進(jìn)一步證明= ，則 AD AE問題得證.證明.AB)sAC, A ZBAD= ZCAE.又. ZBAC= BAD+ZDAC, ：. ZDAE=ZDAC + ZCAE,. BAC=ZDAE.VABDACE, -=蘭.AD AEAB ACAABC

7、和 AADE中，V BAC=ZADE.=,A AABCAADEAD AE例4.分析(1)不正確，因?yàn)樵谥苯侨切沃校瑑蓚€(gè)銳角的大小不確泄，因此直角三角形的形狀不同.也不正確，等腰三角形的頂角大小不確建，因此等腰三角形的形狀也不同.正確.設(shè)有等腰直角三角形ABC和ABtC,其中ZC = ZC = 90,則 ZA = ZzV = 45。, ZB = Bt = 45 ,設(shè)AABC的三邊為心b、G AA,BfC,的邊為a、H、c 則 a = b,c = y2a.a, = b Cf = y2af,- =, A3CsA0C.a b C a(4)也正確，如ABC與AA8C都是等邊三角形,對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊都

8、成比例，因此AABCAArBfC,.答：(1)、(2)不正確(3)、(4)正確.例5.解:方法一方法二方法三畫法略例6.分析本題所敘述的內(nèi)容可以畫出如下圖那樣的幾何圖形，即Z)F = 60厘米= 0.6米，GF = 2厘米= 0.12米,八 Ar ArDF GFCE = 30米，求BC 由于ADFs AAEC竺=蘭，又ACFABC, A =,從而可以求出BC的長.EC ACEC BC解 -AE LEuDFII EC.二 ZADF = ZAECZDAF = ZEAC, :ZDFSZEC -=蘭.GFABC, A AF =GF . DF GFy又GF 丄 EUBC丄 EC, GFHBuZAFG=

9、ZACB,ZAGF= ZABC,EC ACAC BC EC BC又DF = 60厘米= 0.6米，GF = 2厘米=0.12米，EC = 30X, A BC = 6米.即電線桿的髙為6米. 例7.分析 根據(jù)物理學(xué)左律：光線的入射角等于反射角，這樣，MCA與 MN4的相似關(guān)系就明確了.解 因?yàn)锽CLCAMN丄AMZBAC=ZAMN,所以MCAsWNA.所以MN:BC=AN:AC,即MN: 1.6 = 20:1.5所以.6201.521.3 （m）. 說明 這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，方法看似簡單，其實(shí)很巧妙，省卻了使用儀器測量的麻煩.例8.分析這兩個(gè)圖如果不是畫在格點(diǎn)中，那是無法判斷的.實(shí)際上格點(diǎn)無形

10、中給圖形增添了條件一一長度和角度.解 在格點(diǎn)中DE丄EF, AB丄3C,所以ZE = ZB = 90,DE EF 又Ef = VDE = ZBC = ZAB = 4.所以=一所以ADEFSM眈 AB BC 2遇到格點(diǎn)的題目一泄要充分發(fā)現(xiàn)其中的各種條件，勿使遺漏.J AB _ 3.5Cm _ 1 BC _ 2.5Cm _ 1 CA _ 4cm（ J A7F 24.5cm 7 , B7C7 _ 17.5Cm- 7 C7 _ 28Cm因?yàn)閆C = 180o-ZA-ZB = 41.兩個(gè)三角形中只有ZA = ZA,說明例9解（2）丄，所以 ABC A,BfCf:7另外兩個(gè)角都不相等所以ABCAAfBfC

11、f不相似：（3）因?yàn)閆B = ZB-所以ABC相似于 AAfBfCf.AfBf Bfcf 1 例10解（I） AQEsABC兩角相等；（3） ACDEACAB 兩角相等；（5） ABDACB 兩邊成比例夾角相等:（2） DEACB（4）業(yè)ABS 墮C(jī)D（6） ZBDSMCB兩角相等；兩邊成比例夾角相等: 兩邊成比例夾角相等.例11分析 有一個(gè)角是65的等腰三角形，它的底角是72 ,而BD是底角的平分線,：ZCBD =則可推岀ABCs fiCD,進(jìn)而由相似三角形對應(yīng)邊成比例推出線段之間的比例關(guān)系.證明 ZA = 36。, AB = AC, ：. ZABC= ZC = 72 又 V BD平分 ZA

12、BC ：. ZABD=ZCBD = 36 AD=BD = BC,且 MBCS 嘗CD,.BC:AB = CD:BC, ：. BC2=AB CD, ：. ADI=AC CD.說明（1）有兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，這是判斷兩個(gè)三角形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等 的角的位程，可以確定哪些邊是對應(yīng)邊.（2）要說明線段的乘積式ab = cd,或平方式a2=bc, 一般都是證明比例式，- =或？=巴，再根據(jù)C ba C比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式.例12分析 由AABC的三邊長可以判斷出ABC為直角三角形，又因?yàn)锳BC- fB,C,.所以A,B,C,也是直角 三角形，那么由A,B,C,的

13、最大邊長為26,可以求出相似比，從而求出AA,B,C,的兩條直角邊長，再求得A,B,C的 而積.解 設(shè)AABC的三邊依次為，BC = 59AC=129AB=13,則. AB，=+ AC?,二 ZC = 90 又 V ABC AfBfC , ZC = ZC = 90 BC _ AC _ AB _ 13 _ 1BV A7C7 A7F26 2又BC = 5.AC=2. ：. BC = 10,Ac = 24AS = IArCZXB,Cf = i2410 = 120.2 2例13.分析判斷方法是否可行，應(yīng)考慮利用這種方法加之我們現(xiàn)有的知識能否求岀旗桿的髙.按這種測量方法，過F 作FG丄43于G,交CE于

14、H,可知AAGFSAEHF,且GF、HF、EH可求，這樣可求得AG,故旗桿AB可求.解 這種測量方法可行.理由如下：設(shè)旗桿髙AB = X過尸作FG丄A3于G,交CE于/（如圖）所以AGFsAEHF因?yàn)镕D=I.5,GF = 27 + 3 = 30,HF = 3,所以E/= 3.5-1.5 = 2MG = X-1.5.由 ZGFS 業(yè)HF、得=,即 =t 所以 X1.5 = 20,解得x = 21.5 （米）EH HF 23所以旗桿的髙為21.5米. 說明在具體測量時(shí)，方法要現(xiàn)實(shí)、切實(shí)可行.例 14.解：. ZADB= ZEDC, ZABC= ZECD = 90,第5頁共6頁第 頁共6頁: WBDSHECD,= ,AE= BDx EC = 1 _（）X-。= 口。（米），答：兩岸間 AB 大致相距 IOO 米.EC CDCD60CFH例 15.答案：AB= 1506米，BD = 30750步，（注意：KC = -AK,KE =AK.） CDFE例16分析：要求BC的長，需畫圖來解，因AB、AC都大于髙AD那么有兩種情況存在，即點(diǎn)D在Be上或點(diǎn)D在 BC的延長線上，所以求BC的長時(shí)要分兩種情況討論.求正方形的面積，關(guān)鍵是求正方形的邊長.解:（1）如上圖，由AD丄BC,由勾股崔理得BD=3, DC=If所以BC=BD+DC=3+1 =4.如下圖，同理可求BD=3, DC=U所以