數(shù)學(xué)物理方法-14.4 分離變量法-非齊次方程課件

1、分離變量法4非齊次定解問題的求解 齊次和非齊次的概念 常微分方程中所用的術(shù)語，如方程的解、階、線性與非線性、齊次與非齊次等，均可沿用于偏微分方程中。偏微分方程中非齊次有哪些？ 方程是非齊次，如強(qiáng)迫振動(dòng)、有熱源的熱傳導(dǎo)問題、有源擴(kuò)散問題。 邊界條件是非齊次，不為0的邊界值。 初始條件一般不提齊次或非齊次稱為：0初始條件，非0初始條件非齊次問題求解以齊次問題的求解方法為基礎(chǔ)。有界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)問題齊次邊界條件與零初始條件的強(qiáng)迫振動(dòng)問題，即一根弦在兩端固定、初始無偏移的情況下，受外力作用所產(chǎn)生的振動(dòng)方程是非齊次非齊次方程的求解根據(jù)物理規(guī)律，外力只影響振動(dòng)的振幅，而不改變振動(dòng)的頻率；因此，我們可以采用類

2、似于線性非齊次常微分方程所用的“參數(shù)變易法”的形式，通過齊次方程的解來構(gòu)造非齊次方程的解；并保持如下的設(shè)想：這個(gè)定解問題的解可分解為無窮多個(gè)駐波的疊加，而每個(gè)駐波的波形（一般為三角函數(shù)）仍然是由該振動(dòng)體的相應(yīng)的齊次方程的固有函數(shù)所決定。 1、邊界條件自動(dòng)滿足2、要滿足初始條件，則3、代入泛定方程，？一個(gè)方程，無數(shù)個(gè)un，如何確定？Fourier級(jí)數(shù)非齊次方程的求解將方程中的自由項(xiàng)也按上述固有函數(shù)系展開成傅里葉級(jí)數(shù)，式中時(shí)間函數(shù)un(t)方程的推導(dǎo)過程合并sin的各項(xiàng)系數(shù)，令為0非齊次方程的求解于是得常微分方程的初值問題：由對(duì)應(yīng)齊次方程的基礎(chǔ)解系為 和 ，應(yīng)用常數(shù)變易法，假設(shè)非齊次方程的求解算例

3、：幾個(gè)時(shí)間點(diǎn)的弦的位移10s0s2s1s3s立體圖txu弦的強(qiáng)迫振動(dòng)：任意初始條件帶有初始形變的強(qiáng)迫振動(dòng)問題1、邊界條件自動(dòng)滿足2、要滿足初始條件，則3、代入泛定方程弦的強(qiáng)迫振動(dòng)：任意初始條件弦的強(qiáng)迫振動(dòng)：任意初始條件帶有初始形變的強(qiáng)迫振動(dòng)問題此時(shí)弦的振動(dòng)是由兩部分干擾引起的，其一是外部的強(qiáng)迫力，其二是弦的初始形變所產(chǎn)生的回復(fù)力。由物理規(guī)律可知，這種情形的振動(dòng)可以看作是僅由強(qiáng)迫力引起的振動(dòng)和僅由初始狀態(tài)引起的振動(dòng)的合成。 弦的強(qiáng)迫振動(dòng)：任意初始條件而 則表示僅由初始狀態(tài)引起的弦振動(dòng)的位移，它滿足這兩個(gè)問題v(x, t), w(x, t)在上述討論中已經(jīng)解決。 =+u=v+w非齊次邊界條件的齊次化考察如下形式的定解問題令 非齊次邊界條件的齊次化求得 新方程中非齊次邊界條件的齊次化非齊次邊界條件非齊次邊界條件的齊次化若邊界條件不是第一類的，要把邊界條件化成為齊次的，可以采用類似的方法。就下列幾種非齊次邊界條件的情況，分別給出相應(yīng)的 的一種表達(dá)式。分離變量法：總結(jié)分離變量法的基本思想：將定解問題的解分離成關(guān)于不同自變量的函數(shù)的乘積，代入偏微分方程，分別推導(dǎo)未知函數(shù)滿足的常微分方程，逐個(gè)求解。一般步驟：變量分離，分別導(dǎo)出時(shí)間函數(shù)的初始值問題，以及空間函數(shù)的固有值問題；先解固有值問題，確定邊值問題的固有值n和固有函數(shù)Xn(x)；根據(jù)固有值n ，求