單個(gè)總體均值方差的檢驗(yàn)

1、第1頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二 第八章 假設(shè)檢驗(yàn)8.1 基本概念 下面，我們討論不同于參數(shù)估計(jì)問題的另一類統(tǒng)計(jì)推斷問題根據(jù)樣本提供的信息，檢驗(yàn)總體的某個(gè)假設(shè)是否成立的問題。這類問題稱為假設(shè)檢驗(yàn)。第2頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn)總體分布已知情形下，檢驗(yàn)未知參數(shù)的某個(gè)假設(shè)總體分布未知情形下的假設(shè)檢驗(yàn)問題先看一個(gè)例子。第3頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二例1：某工廠生產(chǎn) 10 歐姆的電阻，根據(jù)以往生產(chǎn)的電阻實(shí)際情況，可以認(rèn)為: 電阻值 X服從正態(tài)分布 N(, 0.12)?，F(xiàn)在隨機(jī)抽取10個(gè)電阻, 測(cè)

2、得它們的電阻值為:9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2. 問: 從樣本看，能否認(rèn)為該廠生產(chǎn)的電阻的平均值 = 10 歐姆?第4頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二 確定總體：記 X 為該廠生產(chǎn)電阻的測(cè)量值，則 X N(, 0.12)； 明確任務(wù)：通過樣本推斷 “X 的均值 是否 等于10歐姆”； 假設(shè)：“X 的均值 =10” 這一假設(shè)是否成立?I. 如何建立檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷?頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二 原假設(shè)的對(duì)立面是 “ X 的均值 10”，稱為 “對(duì)立假設(shè)” 或 “備擇假設(shè)”，記

3、成 “ H1: 10”。把原假設(shè)和對(duì)立假設(shè)合寫在一起，就是:H0： =10； H1：10. 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把 “ X 的均值 =10” 這樣一個(gè)待檢驗(yàn)的假設(shè)記為 “原假設(shè)” 或 “零假設(shè)”,記成 “ H0： =10”。第6頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二II. 解決問題的思路 因樣本均值是 的一個(gè)很好的估計(jì)。所以，當(dāng) =10，即原假設(shè) H0 成立時(shí),應(yīng)比較??； 如果該值過大, 想必 H0 不成立。于是，我們就用 的大小檢驗(yàn) H0 是否成立。 合理的做法應(yīng)該是：找出一個(gè)界限 c，第7頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二 這里的問題是：如何確定常數(shù) c 呢？

4、細(xì)致地分析:根據(jù)定理 ，有于是，當(dāng)原假設(shè) H0：=10 成立時(shí)，有第8頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二為確定常數(shù) c，我們考慮一個(gè)很小的正數(shù)， 如 = 0.05。當(dāng)原假設(shè) H0: =10 成立時(shí)，有于是，我們就得到如下檢驗(yàn)準(zhǔn)則:第9頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二為原假設(shè) H0 的拒絕域。第10頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二用以上檢驗(yàn)準(zhǔn)則處理我們的問題，所以，接受原假設(shè) H0:=10。 第11頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二 因?yàn)?，?dāng)原假設(shè)是 H0: =10 成立時(shí)，所以，當(dāng) 很小時(shí)，若 H0 為真(正確

5、), 則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域是一小概率事件 (概率很小，為 )。前面我們?cè)岬剑骸巴ǔＵJ(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生”。III. 方法原理 那么，如果小概率事件發(fā)生了，即: 發(fā)生, 就拒絕接受 H0 成立，即認(rèn)為 H0不成立。第12頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二IV. 兩類錯(cuò)誤與顯著性水平 當(dāng)我們檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè) H0 時(shí)，有可能犯以下兩類錯(cuò)誤之一：H0 是正確的，但被我們拒絕了，這就犯了“棄真”的錯(cuò)誤，即拋棄了正確假設(shè)； H0 是不正確的，但被我們接受了，這就犯了“取偽”的錯(cuò)誤，即采用了偽假設(shè)。 因?yàn)闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量總是隨機(jī)的，所以，我們總是以一定的概率犯以上兩類錯(cuò)誤

6、。第13頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二 通常用 和 記犯第一、第二類錯(cuò)誤的概率，即 在檢驗(yàn)問題中，犯“棄真”和“取偽”兩類錯(cuò)誤都總是不可避免的，并且減少犯第一類錯(cuò)誤的概率，就會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率;反之亦然。 所以，犯兩類錯(cuò)誤的概率不能同時(shí)得到控制。第14頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二8.2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)8.2.1 單正態(tài)總體 N(, 2)均值 的檢驗(yàn)1. 雙邊檢驗(yàn) H0: = 0；H1: 0 假設(shè) 2已知，根據(jù)上節(jié)中的例1，當(dāng)原假設(shè) H0: = 0 成立時(shí)，有 第15頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二 在應(yīng)用上，

7、2未知的情況是常見的。此時(shí)，和前面不同的是：常用樣本方差 S2代替未知的2 。以上檢驗(yàn)法稱作 U 檢驗(yàn)法。第16頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二 當(dāng) 2未知時(shí)，根據(jù)基本 ，當(dāng)原假設(shè) H0: = 0 成立時(shí)，有 此檢驗(yàn)法稱作 t 檢驗(yàn)法。第17頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二解：n=10, =0.05, 0=10， t10-1( /2)=t9(0.025)=2.2622，例1(續(xù)例 8.1.1) : 假設(shè)2未知，檢驗(yàn)所以，接受原假設(shè) H0: =10. H0: =10；H1: 10.第18頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二 上一段中，

8、 H0:=0 ; H1: 0 的對(duì)立假設(shè)為 H1: 0 , 該假設(shè)稱為雙邊對(duì)立假設(shè)。2. 單邊檢驗(yàn) H0: =0; H1: 0 而現(xiàn)在要處理的對(duì)立假設(shè)為 H1: 0, 稱為右邊對(duì)立假設(shè)。 類似地，H0: =0; H1: 0 中的對(duì)立假設(shè)H1: 0 第21頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二在2未知情況下，當(dāng)原假設(shè) 成立時(shí)，第22頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二例 2：某廠生產(chǎn)一種工業(yè)用繩,其質(zhì)量指標(biāo)是繩子所承受的最大拉力，假定該指標(biāo)服從正態(tài)分布，且該廠原來生產(chǎn)的繩子指標(biāo)均值 0 =15公斤，采用一種新原材料后,廠方稱這種原材料提高了繩子的質(zhì)量，也就是說繩

9、子所承受的最大拉力 比15公斤增大了。 為檢驗(yàn)該廠的結(jié)論是否真實(shí)，從其新產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50件，測(cè)得它們所承受的最大拉力的平均值為15.8公斤，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=0.5公斤。取顯著性水平 =0.01。問從這些樣本看：能否接受廠方的結(jié)論。第23頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二解：?jiǎn)栴}歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè) H0: =15; H1: 15 (2未知)于是，從而，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為新的原材料確實(shí)提高了繩子所能承受的最大拉力。第24頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二 利用樣本方差 S 2是2的一個(gè)無偏估計(jì)，且 (n-1)S2/ 2 2n-1 的結(jié)論。8.3.1 單個(gè)正態(tài)

10、總體方差的 2 檢驗(yàn) 設(shè) X1, X2, , Xn 為來自總體 N( , 2) 的樣本， 和 2未知，求下列假設(shè)的顯著性水平為 的檢驗(yàn)。思路分析: 1. H0: 2 =02；H1: 2 02 8.3 正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)第25頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二 當(dāng)原假設(shè) H0: 2 = 02成立時(shí)，S2和02應(yīng)該比較接近，即比值 S 2/02應(yīng)接近于1。所以,這個(gè)比值過大或過小 時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)。 合理的做法是: 找兩個(gè)合適的界限 c1 和 c2 , 當(dāng) c1(n-1)S2/02 02 第28頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二例1：某公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件的

11、直徑 (單位: cm) 服從正態(tài)分布，并稱其標(biāo)準(zhǔn)差 0=0.048 ?，F(xiàn)隨機(jī)抽取5個(gè)部件，測(cè)得它們的直徑為 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44.取=0.05，問:(1). 能否認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件的直徑 的標(biāo)準(zhǔn)差確實(shí)為= 0?(2). 能否認(rèn)為 0?解: (1). 的問題就是檢驗(yàn) H0: 2 = 02; H1: 2 02.其中，n=5， =0.05，0=0.048.第29頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二故，拒絕原假設(shè) H0 ，即認(rèn)為部件直徑標(biāo)準(zhǔn)差不是 0.048 cm。 經(jīng)計(jì)算，得 S2=0.00778,第30頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)5分，星期二故，拒絕原假設(shè)