工程力學復習要點

1、工程力學2013年3月份考前輔導資料1、基本概念（1）構件：機械中零件和結構中構件的統(tǒng)稱；（2）變形：構件在外載荷作用下，其形狀及尺寸的變化稱為變形；（3）彈性變形：構件在外載荷作用下發(fā)生變形，當外載荷去掉后消失的變形稱為彈性變形;（4）塑性變形：構件在外載荷作用下發(fā)生變形，當外載荷去掉后不能消失的變形稱為塑性 變形或永久變形；（5）強度：構件在外載荷作用下，抵抗破壞或過大塑性變形的能力；（6）剛度：構件在外載荷作用，下抵抗彈性變形的能力；（7）穩(wěn)定性：構件在壓力作用下，保持原有平衡狀態(tài)的能力；（8）失穩(wěn)：構件在一定壓力作用下，突然民生不能保持原有平衡形式的現(xiàn)象；（9）變形固體：認為一切固體在

2、載荷作用下都將發(fā)生變形（區(qū)別剛體）2、變形固體的基本假設（1）連續(xù)性假設含義：認為整個構件體積內毫無空隙地充滿著物質。即主為物體是密實的。推論：構件內的一些力學量即可用坐標的連續(xù)函數表示，也可用無限小的數學分析方法。（2）均勻性假設含義：認為構件內的任何部分其力學性能相同。推論：在構件內任意取一單元體研究，其力學性質可代表其它部分。（3）各向同性假設含義：認為在構件內沿各個方向的力學性能相同。推論：在構件內沿任意方向取單元體研究，其力學性質可代表其它任何方向。（4）小變形假設含義：認為構件在載荷作用下，其變形與構件的原始尺寸相比非常小，可以忽略不計。推論：在研究構件的內部受力和變形等問題時，按

3、構件的原始尺寸和形狀計算。3、外力與內力外力：（1）按外力的作用方式a）體積力：連續(xù)分布于構件內部各點上的外力；b）表面力：作用于構件表面上的外力；c）分布力：連續(xù)作用于構件表面或某一范圍的外力；d）集中力：表面力作用面積遠小于構件表面積或沿構件軸線的分布范圍遠小于構件長度， 則可將分布力簡化為作用于一點的力，稱為集中力。（2）按隨時間變化情況a）靜載荷：緩慢地由零增加到某一定值后，不再隨時間變化，保持不變或變化很不顯著 的載荷；b）動載荷：隨時間顯著變化或使構件各質點產生明顯的加速度的載荷。c）交變載荷：隨時間作周期性變化的載荷；d）沖擊載荷：構件運動在瞬時內發(fā)生突然變化所引起的載荷。內力：

4、（1）內力：構件因外力作用發(fā)生變形，其內部各部分之間的相對位置發(fā)生變化，從而引起 相鄰部分的相互作用力。（2）附加內力：材料力學中的內力是指由于外力作用引起構件內部質點相互作用力的變化量，即附加內力截面法：定義：為顯示內力，假想將構件切開，由脫離體的平衡條件由外力確定內力的方法。步驟：a）截開在欲求內力截面處，假想用一平面將截面分成兩部分，保留任意一部分，棄去另 一部分。b）代替 用作用于截面上的內力代替棄去部分對留下部分的作用。c）平衡 對留下部分建立平衡方程，確定內力值。4、桿件變形的基本形式材料力學研究對象-桿件桿件：長度方向尺寸遠大于另外兩個方向尺寸的構件。橫截面：與軸線垂直的截面。軸

5、線：橫截面形心的邊線。四種基本變形（1）軸向拉伸與軸向壓縮作用力特點：大小相等、方向相反、作用線與桿軸線重合的外力。變形特點：桿沿軸線伸長或縮短。（2）剪切作用力特點：大小相等、方向相反、相互平行且作用線相距很近的外力。變形特點：桿沿作用力方向相對錯動。（3）扭轉作用力特點：大小相等、方向相反、作用面垂直于桿軸線的力偶。變形特點：桿沿作用力方向相對錯動。（4）彎曲 作用力特點：垂直于桿軸線的橫向力的力偶。變形特點：桿軸線由直線變?yōu)榍€。5、橫截面上的內力 軸力 用截面法求圖所示截面m-m上的內力時，由平衡方程得截面上只有一個與軸線重合的內力分 量，故該內力（分量）稱為軸力，一般用fn表示。若取

6、右段部分，則由作用力與反作用力原理 知，右段部分在截開面的軸力與前述左段部分 的軸力數值相等，而指向相反。為了使由左段和右段所得同一截面m-m上的軸力具有相同的正負號，聯(lián)系到變形 的情況，對軸力fn的正負號規(guī)定為：桿件的 變形為縱向伸長時，軸力fn為正，稱為拉力； 桿件的變形為縱向壓縮時，軸力fn為負，稱 為壓力。上述方法就是截面法，在應用截面法時要注意兩個問題:1）外載荷不能沿作用線移動。因為材料力學中研究的對象是變形體，不是剛體，力的可傳 性不成立。2）截面不能切在外力作用點處，要離開或稍微離開作用點。依據圣維南原理：作用在結 構某一位置上的不同載荷，如果在靜力學意義上是等效的，則在遠離該

7、位置處的應力差異甚 微。6、材料在拉（壓）時的力學性質低碳鋼拉伸時的力學性質低碳鋼在拉伸時的應力一應變圖或-S圖見下圖，其力學性質為:（1）彈性階段（ob段） 在此階段，只產生彈性變形。oa 段應力與應變成正比，即= E，稱為虎克定律。其中E為與材料有關的比例常數，稱為彈性模量。a點所對應的應力值稱為比例極限，記為 P； b點所對應的應力e是材料只出現(xiàn)彈性變形 的極限值，稱為彈性極限。（2）屈服階段（bc段）當應力超過彈性極限后繼續(xù)加載，應變會很快地增加，而應力先是下降，然后作微小的波動， 在-曲線上出現(xiàn)接近水平線的小鋸齒形線段。這種應力基本保持不變，而應變顯著增加 的現(xiàn)象，稱為屈服或流動。這

8、時所對應的應力稱為屈服極限或稱屈服強度，用s表示。s 是衡量材料強度的重要指標。（3）強化階段（ce段）過了屈服階段后，材料又恢復了抵抗變形的能力，要使它繼續(xù)變形必須增加拉力。這種現(xiàn)象 稱為材料的強化。強化階段的最高點e點所對應的應力方是材料所能承受的最大應力，稱 為強度極限或抗拉強度。它表示材料所能承受的最大應力。方是衡量材料強度的重要指標。（4）局部變形階段過e點后，即應力達到強度極限后，在試樣的某一局部范圍內，橫向尺寸突然急劇縮小，形 成頸縮現(xiàn)象。（5）塑性指標設試樣拉斷后的標距長度為匕，原始長度為/，則延伸率定義為8= 口x100%l 設試樣的原始橫截面面積為A，拉斷后頸縮處的最小截面

9、面積變?yōu)樯伲瑪嗝媸湛s率定義為A A w=1X100%A（6）卸載與再加載性質在強化階段卸載后第二次加載（dd），其比例極限（亦即彈性極限）得到提高，但塑性變形 和延伸率卻有所降低。這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。鑄鐵拉伸時的力學性質灰口鑄鐵拉伸時的應力一應變關系是一微彎曲線，沒有明顯的直線部分。它在較小的拉 應力下就被拉斷，沒有屈服和頸縮現(xiàn)象，拉斷前的應變很小，延伸率也很小。灰口鑄鐵是典 型的脆性材料。鑄鐵拉斷時的最大應力即為其強度極限。因為沒有屈服現(xiàn)象，強度極限ob是衡量強度 的唯一指標。材料在壓縮時的力學性質（1）低碳鋼壓縮試驗表明，低碳鋼壓縮時的彈性模量E和屈服極限氣，都與拉伸時大致相同。所以可從

10、拉 伸試驗測定低碳鐵壓縮時的主要性能。S（2）鑄鐵壓縮鑄鐵壓縮時試樣仍然在較小的變形下突然破壞。破壞斷面的法線與軸線大致成4555 的傾 角，這表明試樣沿斜截面因錯動而破壞。鑄鐵的抗壓強度極限obc與其抗拉強度極限ob的關 系為 bc=（35）玨。7、許用應力、安全因數和強度條件失效與許用應力（1）失效由于各種原因使構件喪失正常工作能力的現(xiàn)象稱為失效。通常當塑性材料構件截面上的 應力達到屈服極限。時，由于產生較大塑性變形，影響構件正常使用，認為構件失效；脆s性材料構件截面上的應力達到強度極限Ob時，構件將會斷裂破壞。（2）極限應力將構件失效時的應力稱為材料的極限應力，用氣表示。（3） 許用應力

11、U構件工作時，其最大工作應力應小于極限應力，為此提出構件最大工作應力的容許值，b 稱為材料的許用應力。并用。表示。許用應力與極限應力的關系為b=竟式中，n為大于1的系數，稱為安全因數，安全因數的取值方法為：b脆性材料： = nbns，nb分別為塑性材料和脆性材料的安全因數。=（4） b A max強度條件 對實際中的構件，其最大工作應力要比許用應力小，即b maxb =N ,max b 上式稱為軸向拉伸或壓縮時的強度條件。對于等截面拉壓桿，則有maX A根據強度條件，可進行強度校核、截面設計和載荷確定。8、剪力圖和彎矩圖（1）剪力方程和彎矩方程通常在梁的不同橫截面或不同梁段上，剪力與彎矩沿梁軸

12、變化。若沿梁軸取軸，其坐標x代表橫截面所處的位置，則橫截面上的剪力和彎矩可以表示為X的函數，即F = F （x） M = M （x）這種關系式分別稱為梁的剪力方程與彎莽方程。（2）剪力圖和彎矩圖1）剪力圖、彎矩圖坐標方向規(guī)定繪剪力圖時，將正值的剪力畫在x軸的上方，負值剪力畫在X軸的下方。繪彎矩圖時，將正 值彎矩畫在X軸的下方，將負值彎矩畫在X軸的上方，即將彎矩畫在梁的受拉側。2）剪力圖、彎矩圖繪制方法根據剪力方程、彎矩方程作剪力圖和彎矩圖時，先求支反力（對懸臂梁可以例外），再根據 梁的載荷與支承情況將梁分段，并分段建立剪力方程、彎矩方程，然后，按剪力方程、彎矩 方程計算各控制截面的剪力和彎矩，

13、繪出剪力圖與彎矩圖。注意：作梁剪力圖和彎矩圖時，由于它們將是梁強度設計和剛度設計的重要依據，必須標明 剪力和彎矩的正負號及各控制截面（包括內力的峰值截面）的剪力和彎矩值，以使梁的內力 及變形情況可以從其剪力和彎矩圖中反映出來。3）剛架內力圖繪制一般在平面剛架各桿的任一橫截面上將同時存在軸力、剪力和彎矩，相應地要繪出這三種內 力圖。考慮到剛架各桿的軸線位置情況與直梁相同，作剛架內力圖時按下面步驟進行：A、計算軸力、剪力及彎矩時，有關拉壓桿與直梁的內力正負號規(guī)定及計算公式仍然可用， 但要求觀察者必須站在剛架的內側面對各桿或各橫截面。B、作彎矩圖時，習慣上將彎矩統(tǒng)一畫在各桿的受拉一側，而不必標注正負

14、號；作軸力圖和 剪力圖時，習慣上將正值軸力與剪力畫在各桿的外側，并且必須標注正負號。而其余作圖步 驟則與直梁的完全相同。9、幾種載荷下剪力圖與彎矩圖的特征一段梁上的外 力情況向下的均布載荷 q無載荷集中力F ”C集中力偶M e CJll J剪力圖上的特 征向下方傾斜的 直線水平直線，一般 為 -全在C處有突變在C處無變化C彎矩圖上的特 征下凸的二次拋 物線:或/一般為斜直線、或/在C處有尖角在C處有突變4最大彎矩所在 截面的可能位 置在Fq = 0的截 面在剪力突變的 截面在緊靠C點的 某一側的截面10、梁的撓度與轉角序號梁和簡圖撓曲線方程撓度和轉角w =Fx 26 EI(x 3a)r(0 x

15、 a)Fa 26EI(3l a)w =性(a - 3x)6 EI(a x l)0 b 2 EIql 4w =b8 EI0 =也B6 EI2 EIMl 22 EiMlEIM x 2 ,w =e(0 x a)2 EIMaa 、 w = ( - x)EI 2(a x l)Ma(i - a)EI 2M aeEIFx ,3l 2、w = ( x 2)12 EI 4(0 x -)2Fl 3 wb _ 3EIFl 2 b 2EI(0 x a)Fbx ,w =(x2 l2 + b2)6lEIFa (l x) /w = (x 2 + a 26lEI-2lx)eFb(l 2 b 2)o =9、：31EI(位于x

16、= l2二處 處)3八Fb(l2 -b2)0 =a6lEIO = Fa(l2 -a2) b 6lEI8加t匝妙1- -U2十溢|w = - Mei (2lx 2 一 X 3 一 13)8 =384EIO =-O =AB24 EI94 一二一 二乍1工w = L (l 2 X 2) 6lEIM 128 =徉 9J3EI(位于x = Il顯處)o MLa 6 ElM La - 3EEI10w = -JX (l 2 一 3b 2 - X 2) 6lEI(0 x a)w = -Me(l - x) (3a 2 - 6lEI2lx + X 2)(a x l)8 = M (l2 -3b2)3/2 9 兩EI

17、(位于x =【12 -32處)8 M (l2 -3a2)3/2 e 9 J3lEI(位于距B端x = jl2 了 2 處)O _M (l 2 - 3b 2) a e 6lEIO M (l 2 - 3a 2)b - 6lEIO M (l 2 - 3a 2 - 3b 2) c 6lEI11、強度理論與應用強度理論概述材料力學的一個基本問題，就是研究構件的強度問題。對于單向應力狀態(tài)，只需做相應的軸 向拉伸或壓縮實驗，即可建立強度條件。b = g 其中氣是材料發(fā)生破壞時的應力稱為極限應力。對于塑性材料，以發(fā)生屈服為強度失 效的標志，三取材料的屈服極限氣；而對于脆性材料，強度失效現(xiàn)象是突然斷裂，取材 料

18、的強度極限玨。、 s u在工程實際中，受力構件的危險點往往處于復雜應力狀態(tài)，雖然可以通過直接實驗來建 立強度條件，但由于三個主應力之間的比值有無數組，要通過實驗對各式各樣的應力狀態(tài)一 一進行試驗，實際上并不可行，而且有的實驗還很難實現(xiàn)，于是人們不得不從考察材料破壞 的原因著手，在有限試驗的基礎上，研究復雜應力狀態(tài)下的強度條件。實踐表明，材料在常溫、靜載下主要發(fā)生兩種形式的強度失效：一種是塑性屈服，另一 種是脆性斷裂。根據這兩類破壞現(xiàn)象，人們在長期的生產活動中，綜合分析材料的失效現(xiàn)象 和規(guī)律，對強度失效提出各種假說或學說。這些假說或學說認為，材料的失效是應力、應變 或應變能等因素引起的。按照這些

19、假說或學說，無論是簡單或復雜應力狀態(tài)，引起失效的因 素是相同的。這類假說或學說稱為強度理論。利用強度理論，便可由簡單應力狀態(tài)的實驗結 果，建立復雜應力狀態(tài)的強度條件。至于這些假說是否正確，在什么條件下適用，還必須經 受工程實踐和科學實驗的檢驗。四種強度理論由于脆性斷裂和塑性屈服這兩類破壞形式不同，所以強度理論也相應地分為兩類：一是 解釋斷裂破壞的，其中有最大拉應力理論和最大拉應變理論。另一類是解釋屈服失效的，其 中有最大切應力理論和畸變能理論?，F(xiàn)依次介紹如下。（1）最大拉應力理論（第一強度理論）這一理論認為，無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要發(fā)生脆性斷裂其共同原因都是由于單 元體內的最大拉應力。達

20、到材料單向拉伸斷裂時的最大拉應力即強度極限。b。根據這一理 論，破壞條件是：* =七（1）將Ob除以安全系數得許用應力。，所以強度條件是：b b 式中：。為構件危險點處的最大拉應力；。為單向拉伸時材料的許用應力。試驗表明: 脆性材料在二向或三向拉伸斷裂時，最大拉應力理論與試驗結果相當接近；而當存在壓應力 時，則只要最大壓應力不超過最大拉應力值或超過不多。最大拉應力理論與試驗結果也大致 相近。（2）最大拉應變理論（第二強度理論）這一理論認為最大拉應變是引起斷裂的主要因素。即認為無論什么應力狀態(tài)，只要最大 拉應變達到材料單向拉伸斷裂時的最大拉應變/材料即發(fā)生斷裂，則斷裂準則為：b七=七廣E（2）由

21、廣義虎克定律，1= ib 1 - （b 2 +b 3）得：（4）將ob除以安全系數得許用應力。，于是按第二強度理論建立的強度條件為：b 目（b +b ） b 試驗表明：脆性材料在雙向拉伸壓縮應力作用下，且壓應力值超過拉應力值時，最大 拉應變理論與試驗結果大致符合。此外，這一理論還解釋了石料或混凝土等脆性材料在壓縮 時沿著縱向開裂的斷裂破壞現(xiàn)象。（3）最大切應力理論（第三強度理論）這一理論認為最大切應力是引起屈服的主要因素。即無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要 最大切應力達到單向拉伸時的最大切應力Ts材料就將發(fā)生屈服。根據這一理論，屈服的條 件為：T max =T u(5)Tmax三向應力狀態(tài)下的最

22、大切應力為:（6）而單向拉伸屈服極限時的最大切應力Ts為：bT = s 2（7）由式（e）、（f）、（g）及得屈服條件：b b = b上式又稱特雷斯卡（Tresca）屈服條件。對應的強度條件為：b b b 這一理論較為滿意地解釋了塑性材料的屈服現(xiàn)象。例如，低碳鋼拉伸時，沿與軸線成 45的方向出現(xiàn)滑移線就是材料沿Tmax所在平面發(fā)生滑移的痕跡。按該理論的計算結果與試 驗結果比較吻合，而且偏于安全。該理論的缺點是未考慮&對材料屈服的影響。（4）畸變能理論（第四強度理論）這一理論認為畸變能密度是引起屈服的主要因素。即無論什么應力狀態(tài)，只要畸變能V d =V ds密度V d達到了材料單向拉伸屈服時的畸

23、變能密度ds材料就發(fā)生屈服，即:（8）_ 1 + - 根據這一理論，由于材料單向屈服時的應力。，由（8）式及畸變能密度 =3E b2s代入（h）式得屈服條件。1rz 、,、, 一1（b b ）2 + （b b ）2 + （b b ）2 =b,上式也稱米賽斯（Mises）屈服條件，相應的強度條件是：r -、頃仁-b ）2 + （b -b ）2 + （b -b）2 b 大量的試驗結果表明，畸變能屈服準則比最大切應力準則更好地描述了鋼、銅、鋁等塑性材 料的屈服狀態(tài)，但由于最大切應力理論的數學表達式簡單，因此二者均在工程中得到廣泛應 用。強度理論應用綜合上面的結果，把各種強度理論的強度條件寫成統(tǒng)一的形

24、式：咋B式中。稱為相當應力，它由三個主應力按一定形式組合而成。則各強度理論的相當應力分 r別為：在大多數應力狀態(tài)下，脆性材料一般發(fā)生脆性斷裂，宜采用第一、第二或莫爾強度理論； 塑性材料通常以屈服的形式失效，宜采用第三式、第四強度理論。另一方面，即使同一材料， 其破壞形式也會隨應力狀態(tài)的不同而異。塑性材料在三向拉伸應力狀態(tài)下，會表現(xiàn)為脆性斷 裂；而脆性材料在三向壓縮下會表現(xiàn)出塑性屈服。因此必須根據失效形式選擇相應的強度理 論。O =。 r11b =b 日(b =b )b =b b r 31J(8 18)b =|：(b b )2 + (b b )2 + (b b)2brM12、常見細長壓桿的臨界載

25、荷支承方式兩端鉸支一端自由另一端固定兩端固定一端鉸支 另一端固定峪1 j V撓脖曲VJ線1* f形-Lu狀V-/iUKFn 2 EIn 2 EIn 2 EIn 2 EI臨界載荷cr(l )2(21 )2(0.51 )2(0.7l)2長度系數1.02.00.50.713、壓桿的臨界應力對處于臨界狀態(tài)的壓桿，其橫截面上的平均應力為:b =二 兀2 EIc（以）2 Aocr稱為壓桿的臨界應力。將式中的慣性矩I表示為I = i 2AI A幾何量i稱為截面的慣性半徑，量綱為長度。引入人=四i則得細長壓桿的臨界應力為bcr 入2式中入稱為柔度或長細比，它集中地反應了壓桿的長度（1）、約束條件（四）、截面尺

26、寸 和形狀（i）對臨界應力氣r的影響。使用該式時，I為截面的最小形心主軸慣性矩，入為截 面面積。細長壓桿的臨界應力，與柔度的平方成反比，柔度愈大，臨界應力愈低。在推導歐拉公式時，要求材料服從虎克定律，即要求臨界應力不能超過材料的比例極限 6即要求 p槌兀. cP兀2 E c =c饋 入2PI 取取廣小 p即只當時，歐拉公式才能成立。14、靜矩與形心（1）靜矩的單位是長度的三次方；（2）靜矩是截面對于一定的軸而言，同一截面對于不同的坐標軸，其靜矩不同。靜矩可以 是正值，也可以是負值或等于零。（3）若坐標軸的靜矩為零，則坐標軸一定通過平面圖形的形心。反之，任何平面圖形對于 形心軸的靜矩一定等于零。15、極慣性矩、慣性積、慣性矩 平面圖形對z軸的慣性矩：I = j y2dA平面圖形對z軸的慣性矩：I =j z2dA平面圖形對坐標原點的極慣性矩：Ip = f P 2dA平面圖形對z，y軸的慣性積：I =zydA（1）極慣性矩Ip是對某一坐標原點而言，慣性矩Iz，Iy是對某一坐標軸而言，而慣性積Iyz是對過一點的一對相互垂直的坐標軸而言。Z y（2）Iz，Iy，Ip的單位均為長度的四次方，它們的值總是正值。（3）慣性積I的量綱也是長度的四次方，但其值有正負，也可能為零，主要由