數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示方法

1、6.1 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法 數(shù)列的定義按照一定次序排列起來(lái)的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng) 數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限類無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)遞增數(shù)列an 1_an間的大小遞減數(shù)列an 1_1 時(shí)， anSn Sn1anan 1.33ann 1an1 n 1ann 1a4 5 ， ， ，an1 n 1a3 3a3 4 a2 ， 3.a2 2 a1an n n 1以上 n 1 個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相乘，得到 ，a12又 a11，ann n 12.思維升華 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解當(dāng)出現(xiàn) anan1m 時(shí)，

2、構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn) anxan1y 時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng) an出現(xiàn) anan 1f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)f(n)時(shí)，用累乘法求解an1n 1(1)已知數(shù)列 an滿足 a1 1，anan1(n2)，則 an n(2)已知數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 Sn，且Sn2an1(nN)，則 a5等于( )A 16 B16 C31 D 321答案 (1) (2)Bnn1解析 (1) an an1 (n2) ，n 21 an1an2， a2 a1.n 12以上 (n 1)個(gè)式子相乘得1223n 1 a1 1 n n n(2) 當(dāng) n1 時(shí)， S12a11，a11.當(dāng) n 2 時(shí)， Sn12an11， a

3、n 2an 2an1 ， an 2an 1.an是等比數(shù)列且 a11， q2，故 a5a1 q42416.典例： (12 分 )已知數(shù)列 an(1) 若 an n25n4，數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n 為何值時(shí)， an 有最小值？并求出最小值(2)若 ann2kn4 且對(duì)于 nN ，都有 an1an.求實(shí)數(shù) k 的取值范圍思維啟迪 (1)求使 an0 的 n 值；從二次函數(shù)看 an 的最小值 (2)數(shù)列是一類特殊函數(shù)，通 項(xiàng)公式可以看作相應(yīng)的解析式f(n)n2kn 4.f(n)在 N 上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù)從二次函數(shù)的對(duì)稱軸研究單調(diào)性規(guī)范解答解 (1) 由 n25n40 ，解得 1 n an知

4、該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列， 又因?yàn)橥?xiàng)公式 ann2kn4，可以看作是12 分 N 上的二次函數(shù)，k3關(guān)于 n 的二次函數(shù)，考慮到 nN ，所以 2 3.溫馨提醒 (1) 本題給出的數(shù)列通項(xiàng)公式可以看做是一個(gè)定義在正整數(shù)集k 的取值范圍，使問(wèn)題得到因此可以利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸來(lái)研究其單調(diào)性，得到實(shí)數(shù)解決(2) 在利用二次函數(shù)的觀點(diǎn)解決該題時(shí)，一定要注意二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的選取(3) 易錯(cuò)分析：本題易錯(cuò)答案為k 2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù) .方法與技巧1 求數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng)通常用觀察法 (對(duì)于交錯(cuò)數(shù)列一般用 (1)n 或(1)n1來(lái)區(qū)分奇偶 項(xiàng)的符號(hào) )；已知數(shù)列中的遞推

5、關(guān)系， 一般只要求寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)， 若求通項(xiàng)可用歸納、 猜想和轉(zhuǎn)化的方法S1n 12 強(qiáng)調(diào) an與 Sn 的關(guān)系： an.SnSn1 n 23 已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)：對(duì)這類問(wèn)題的要求不高，但試題難度較難把握一般有二種常見 思路：(1) 算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想；(2) 利用累加或累乘法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式失誤與防范1 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列時(shí)，一定要注意自變量的取值，如數(shù) 列 anf(n)和函數(shù) y f (x)的單調(diào)性是不同的2 數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一A 組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間： 40 分鐘 )、選擇題1 數(shù)列 0,1,0 ， 1,0,1,0 ， 1， 的一個(gè)通項(xiàng)公式是

6、an等于1 n 1 A.Bcosnn1C cos2D cosn22答案 D解析 令 n1,2,3 ，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)，易得D 正確2 數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 a11，an13Sn(n1)，則 a6 等于 (A344B3441答案A解析當(dāng) n1 時(shí)， an13Sn，則 an2 3Sn1，D451C45an2an13Sn13Sn3an1，即 an2 4an1， 該數(shù)列從第二項(xiàng)開始是以 4 為公比的等比數(shù)列1 n 1 ， 又 a23S13a13， an34n2 n2 .當(dāng) n6 時(shí)， a63462344.3 若數(shù)列 an的通項(xiàng)公式是 an（1）n（3n2），則 a1a2a10等于 （）

7、A 15 B12 C 12 D 15 答案 A解析 由題意知， a1a2 a10 14710（1）10（3 102） （14）（710）（1）9（392）（1）10（310 2） 3 5 15.4已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為42an(9)n1(3)n1，則數(shù)列 anA 有最大項(xiàng)，沒(méi)有最小項(xiàng)B有最小項(xiàng)，沒(méi)有最大項(xiàng)C既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng)D既沒(méi)有最大項(xiàng)也沒(méi)有最小項(xiàng)答案 C42解析 數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 an（9）n1（3）n1，2令 t（ ）n1，t（0,1 ，t 是減函數(shù)，11則 ant2t （t2）24，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知 an 先遞增后遞減故有最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，選 C.n15 若 Sn 為數(shù)列

8、 an的前 n 項(xiàng)和，且 Sn，則 等于n 1a56B.5 A.6D 30C.30答案 D TOC o 1-5 h z nn 1解析當(dāng) n2 時(shí)， an SnSn1n 1n 所以 56 30.a5、填空題n2 已知數(shù)列 2 ，則 0.98 是它的第 項(xiàng)n21答案 7n249解析 n210.98 50，n7.7 數(shù)列 an中， a11，對(duì)于所有的 n2，nN，都有 a1a2a3ann2，則 a3a561 答案16解析 由題意知： a1a2a3an1（n1）2，nan（n1）2（n2）， TOC o 1-5 h z 3561 a3 a5 （ ）2 （ ）2 .4168 已知an是遞增數(shù)列，且對(duì)于任

9、意的 nN，ann2n 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 答案 （3， ）解析 方法一 （ 定義法 ）因?yàn)?an是遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的 nN ，都有 an1 an，即 （n 1）2（n 1） n2n，整理，得2n10 ，即 (2n1)(*)因?yàn)?n1，所以 (2n1)3，要使不等式 (*)恒成立，只需 3.方法二 (函數(shù)法 )設(shè) f ( n) an n2 n ，其圖象的對(duì)稱軸為直線 n 2，要使數(shù)列 an為遞增數(shù)列，只需使定義在正整數(shù)上的函數(shù)f(n)為增函數(shù)，故只需滿足 f(1) 3.三、解答題9 數(shù)列 an的通項(xiàng)公式是 an n27n 6.(1) 這個(gè)數(shù)列的第 4 項(xiàng)是多少？(2)150 是不

10、是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？(3) 該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)？解 (1)當(dāng) n4 時(shí)， a442476 6.(2)令 a n 150 ，即 n27n6150 ，解得 n16 或 n 9(舍去 )，即 150 是這個(gè)數(shù)列的第 16 項(xiàng)(3) 令 an n27n60 ，解得 n6 或 n1( 舍)故數(shù)列從第 7 項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)9n n 110 已知數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 ann ，試判斷此數(shù)列是否有最大項(xiàng)？若有，第幾項(xiàng)10 n最大，最大項(xiàng)是多少？若沒(méi)有，說(shuō)明理由an 1 an9n1 n2 9n n110 n110n9n 8 n10 n10當(dāng) n0 ，即 an1an；當(dāng) n

11、 8 時(shí)， an1an 0，即 an1an；當(dāng) n8 時(shí)， an1an0 ，即 an1an.則 a1a2a3 a10 a11，故數(shù)列 an 有最大項(xiàng)，為第 8 項(xiàng)和第 9 項(xiàng)，97 89且 a8a9 10 89910 811a12a222，a22，1a322，a42，故 a2n 2，1a2n122.B 組 專項(xiàng)能力提升（時(shí)間： 30 分鐘 ）1 跳格游戲：如圖，人從格子外只能進(jìn)入第 1個(gè)格子，在格子中每次可向前跳 1格或 2格，那么人從格子外跳到第 8 個(gè)格子的方法種數(shù)為 （ ）A 8 種 B13 種 C21 種 D 34 種答案 C解析 設(shè)跳到第 n 個(gè)格子的方法種數(shù)有 an，則到達(dá)第 n

12、個(gè)格子的方法有兩類： 向前跳 1 格到達(dá)第 n 個(gè)格子，方法種數(shù)為 an 1；向前跳 2 格到達(dá)第 n 個(gè)格子，方法種數(shù)為 an2，則 anan1an2 ， 由數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的前 8 項(xiàng)分別是 1,1,2,3,5,8,13,21.跳到第 8 個(gè)格子的方法種數(shù)是 21. 故選 C.12數(shù)列an滿足 anan12 （nN），a22，Sn是數(shù)列an的前 n項(xiàng)和，則S21為（）1 1 7S21102a1522223 若數(shù)列 n(n 4)( )n中的最大項(xiàng)是第 k 項(xiàng)，則 k3答案 422k k4 3 k k 1 k5 3 k1 解析 由題意得22k k4 3 k k 1 k3 3 k1所以k210，由 kN 可得 k4. k22k904 已知數(shù)列 an滿足前 n 項(xiàng)和 Snn21，數(shù)列 bn滿足2bn，且前 n 項(xiàng)和為 Tn ，an1設(shè) cn T2n1 Tn.(1)求數(shù)列 bn