2022高考數(shù)學(xué)真題分類匯編11 解析幾何

1、2022高考數(shù)學(xué)真題分類匯編十一、解析幾何一、單選題1.（2022全國甲（文）T11） 已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)若，則C的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殡x心率，解得，分別為C左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因?yàn)樗?，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.2.（2022全國甲（理）T10） 橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再

2、根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】解：，設(shè)，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：A. 3.（2022全國乙（文）T6） 設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，所以.故選：B4.（2022全國乙（理）T5） 設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線

3、上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，所以.故選：B5.（2022全國乙（理）T11）11. 雙曲線C的兩個焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的兩支交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，可判斷在雙曲線的右支，設(shè)，即可求出，在中由求出，再由正弦定理求出，最后根據(jù)雙曲線的定義得到，即可得解；【詳解】解：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，

4、所以，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，所以，設(shè)，由，即，則，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，即，所以雙曲線的離心率故選：C6.（2022新高考卷T11） 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）A. C的準(zhǔn)線為B. 直線AB與C相切C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，所以，直線的斜率存在，設(shè)

5、其方程為，聯(lián)立，得，所以，所以或，又，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，而，故D正確.故選：BCD7.（2022新高考卷T10） 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)，若，則（ ）A. 直線的斜率為B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線

6、方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD. 8. （2022北京卷T3）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解【詳解】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得故選：A二、填空題1.（2022全國甲（文）T15） 記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個值_【答案】2（滿足皆可）【解析】【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要

7、求的e值.【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”所以，又因?yàn)?，所以，故答案為?（滿足皆可）2.（2022全國甲（文）T14） 設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為_【答案】【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】解：點(diǎn)M在直線上，設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，解得，的方程為.故答案為：3.（2022全國甲（理）T14）. 若雙曲線的漸近線與圓相切，則_【答案】【解析】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心

8、到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）故答案為：4.（2022全國乙（文）T15） 過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個圓的方程為_【答案】或或或；【解析】【分析】設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意設(shè)圓的方程為，若過，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或；5.（2022全國乙（理）T14） 過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個圓的方程為_【答案】或或或；【

9、解析】【分析】設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意設(shè)圓的方程為，若過，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或；6.（2022新高考卷T14） 寫出與圓和都相切的一條直線的方程_【答案】或或【解析】【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為，其中，由題意

10、，解得，當(dāng)切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.7.（2022新高考卷T16） 已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個焦點(diǎn)為，離心率為過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則的周長是_【答案】13【解析】【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】橢圓的離心率為，橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，為正三角形，過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直

11、線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式， ， 得， 為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.8.（2022新高考卷T15） 已知點(diǎn)，若直線關(guān)于的對稱直線與圓存在公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：9.（2022新高考卷T16） 已知橢圓，直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩

12、點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則直線l的方程為_【答案】【解析】【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以，即所以，即，設(shè)直線，令得，令得，即，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：10.（2022北京卷T12）已知雙曲線的漸近線方程為，則_【答案】【解析】【分析】首先可得，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到、，再跟漸近線方程得到方程，解得即可；【詳解】解：對于雙曲線，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：11.（

13、2022浙江卷T16） 已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且若，則雙曲線的離心率是_【答案】【解析】【分析】聯(lián)立直線和漸近線方程，可求出點(diǎn)，再根據(jù)可求得點(diǎn)，最后根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，即可解出離心率【詳解】過且斜率為的直線，漸近線，聯(lián)立，得，由，得而點(diǎn)在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.故答案為：12.（2022浙江卷T17） 設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，再根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)計算公式即可得到，然

14、后利用即可解出【詳解】以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因?yàn)?，所以，故的取值范圍?故答案為：三、解答題1.（2022全國甲（文）T21） 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)當(dāng)直線MD垂直于x軸時，（1）求C的方程；（2）設(shè)直線與C的另一個交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為當(dāng)取得最大值時，求直線AB的方程【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.【小問1詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)

15、與x軸垂直時，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；【小問2詳解】設(shè)，直線，由可得，由斜率公式可得，直線，代入拋物線方程可得，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，所以，所以直線.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對斜率進(jìn)行化簡，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)間的關(guān)系.2.（2022全國甲（理）T）20. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)當(dāng)直線MD垂直于x軸時，（1）求C的方程；（2）設(shè)直線與C的另一個交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為當(dāng)取

16、得最大值時，求直線AB的方程【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.【小問1詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；【小問2詳解】設(shè)，直線，由可得，由斜率公式可得，直線，代入拋物線方程可得，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，所以，所以直線.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋

17、物線方程對斜率進(jìn)行化簡，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)間的關(guān)系. 3.（2022全國乙（文）T）21. 已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)（1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足證明：直線HN過定點(diǎn)【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【小問1詳解】解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，所以橢圓E的方程為：.【小問2詳解】，所以，若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程

18、：，過點(diǎn).若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.4.（2022全國乙（理）T20）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)（1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足證明：直線HN過定點(diǎn)【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的

19、方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【小問1詳解】解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，所以橢圓E的方程為：.【小問2詳解】，所以，若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點(diǎn).若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.5.（2022新高考卷T21） 已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0（1）求

20、l的斜率；（2）若，求的面積【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上可求出，易知直線l的斜率存在，設(shè)，再根據(jù)，即可解出l的斜率；（2）根據(jù)直線的斜率之和為0可知直線的傾斜角互補(bǔ)，再根據(jù)即可求出直線的斜率，再分別聯(lián)立直線與雙曲線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程以及的長，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出的面積【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線易知直線l的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立可得，所以，所以由可得，即，即，所以，化簡得，即，所以或，當(dāng)時，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，故【小問2詳解】不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即，即，解得，于?/p>

21、，直線，直線，聯(lián)立可得，因?yàn)榉匠逃幸粋€根為，所以，同理可得，所以，點(diǎn)到直線的距離，故的面積為6.（2022新高考卷T21） 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為（1）求C的方程；（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M，請從下面中選取兩個作為條件，證明另外一個條件成立：M在上；注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【答案】（1） （2）見解析【解析】【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,

22、 M(x0,y0),由|AM|=|BM|等價分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由等價轉(zhuǎn)化為，由在直線上等價于，然后選擇兩個作為已知條件一個作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.【小問1詳解】右焦點(diǎn)為，,漸近線方程為，C的方程為：；【小問2詳解】由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由推或選由推：由成立可知直線的斜率存在且不為零；若選推，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時由對稱性可知、關(guān)于軸對稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件在上，等價于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè),則條件等價于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為, 直線的斜率為,由,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，,條件等價于，綜上所述：條件在上，等價于；條件等價于；條件等價于；選推: