高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

1、函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值考試要求1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解其實(shí)際意義.2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI，如果x1，x2D當(dāng)x1x2時(shí)，都有_，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱(chēng)它是增函數(shù)當(dāng)x1x2時(shí)，都有_，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱(chēng)它是減函數(shù)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右

2、看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上_或_，那么就說(shuō)函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，_叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)遞增單調(diào)遞減區(qū)間D2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足條件(1)xI，都有_；(2)x0I，使得_(1)xI，都有_；(2)x0I，使得_結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)M常用結(jié)論解(1)錯(cuò)誤，應(yīng)對(duì)任意的x1x2，都有f(x1)f(x2)成立才可以.(2)錯(cuò)誤，反例：f(x)x在1，)上為增函數(shù)，但f(x)x的單調(diào)區(qū)間是(，).(3)錯(cuò)誤，此單調(diào)區(qū)間不能用“”連接，故單調(diào)遞減區(qū)

3、間為(，0)和(0，).D2.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()B解f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，故f(x)minf(1)9.9解得1a1.5.(易錯(cuò)題)函數(shù)yf(x)是定義在2，2上的減函數(shù)，且f(a1)f(2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.1，1)解由x22x30得x1或x3，故f(x)的定義域(，1)(3，)，由函數(shù)yx22x3在(，1)上單調(diào)遞減，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(，1).(，1)考點(diǎn)確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間) 解ysin x和yx22x3在(0，)上不具備單調(diào)性；yln(x1)在(0，)上單增.故選D.1.(2022百校大聯(lián)考)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上為減函數(shù)

4、的是()DA該函數(shù)圖象如圖所示，其單調(diào)遞減區(qū)間是0，1).0，1)設(shè)x1x22，因?yàn)?x12)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞增.(2)若a0且f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解設(shè)1x1x2，因?yàn)閍0，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.綜上所述，a的取值范圍是(0，1.1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.2.(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：定義法；圖象法；利用已知函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)法.(2)函數(shù)yf(g(x)的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)yf

5、(t)和內(nèi)層函數(shù)tg(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.易錯(cuò)警示函數(shù)在兩個(gè)不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開(kāi)寫(xiě)，用“，”或“和”連接，不要用“”.感悟提升考點(diǎn)求函數(shù)的最值8解法一在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，依題意，h(x)的圖象為如圖所示的實(shí)線(xiàn)部分.易知點(diǎn)A(2，1)為圖象的最高點(diǎn)，因此h(x)的最大值為h(2)1.1當(dāng)02時(shí)，h(x)3x是減函數(shù)，因此h(x)在x2時(shí)取得最大值h(2)1.1.求函數(shù)最值的三種基本方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)基本不等式法：先對(duì)解析

6、式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.2.對(duì)于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.感悟提升根據(jù)圖象可知，函數(shù)y|x1|x2|的值域?yàn)?，).訓(xùn)練1 (1)函數(shù)y|x1|x2|的值域?yàn)開(kāi).3，)作出函數(shù)的圖象如圖所示.f(x)minf(4)4，f(x)maxf(3)6，角度1比較函數(shù)值的大小考點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例2 設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞減，則()C解f(x)為偶函數(shù)且在(0，)上單調(diào)遞減，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，首先要準(zhǔn)確判斷函數(shù)的單調(diào)性，其次應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用單調(diào)性比較大小.

7、感悟提升解因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)0.又f(x)在(，0)單調(diào)遞減，且f(2)0，畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)f(x1)的大致圖象如圖(2)所示.例3 (1)(2020新高考全國(guó)卷)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(，0)單調(diào)遞減，且f(2)0，則滿(mǎn)足xf(x1)0的x的取值范圍是()A.1，13，) B.3，10，1C.1，01，) D.1，01，3角度2解函數(shù)不等式D當(dāng)x0時(shí)，要滿(mǎn)足xf(x1)0，則f(x1)0，得1x0.當(dāng)x0時(shí)，要滿(mǎn)足xf(x1)0，則f(x1)0，得1x3.故滿(mǎn)足xf(x1)0的x的取值范圍是1，01，3.解因?yàn)楹瘮?shù)f(x)

8、ln x2x在定義域(0，)上單調(diào)遞增，且f(1)ln 122，所以由f(x24)2得，f(x24)f(1)，(2)已知函數(shù)f(x)ln x2x，若f(x24)2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_.求解函數(shù)不等式，其實(shí)質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性的逆用，利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫去，轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的不等式求解，應(yīng)注意函數(shù)的定義域.感悟提升解令t|xa|，yet，t|xa|在(，a上單調(diào)遞減，在a，)上單調(diào)遞增.又yet為增函數(shù)，f(x)e|xa|在(，a上單調(diào)遞減，在a，)上單調(diào)遞增，a1.例4 (1)(2022九江三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)e|xa|(a為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取

9、值范圍是_.角度3求參數(shù)的取值范圍(，1由圖象可知f(x)在(a，a1)上單調(diào)遞增，需滿(mǎn)足a4或a12，即a1或a4.解函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，(，14，)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)的思路是：根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿(mǎn)足的方程(組)(不等式(組)或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值.當(dāng)x2x11時(shí)，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立等價(jià)于函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，所以bac.Df(x)在定義域(2，)上是減函數(shù)，且f(1)3，由f(a2)3，得f(a2)f(1)，即2a21，即0a1.(0，1)解由指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得2alog2a4b2log4b22blog2b.令f(x)2xlog2x，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.又22blog2b22blog2b122blog2(2b)，2alog2a22blog2(2b)，即f(a)f(2b)，a2b B.ab2 D.ab2B解原已知條件等