立體幾何綜合復(fù)習(xí)課程 教案

1、適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高二適用區(qū)域人教版區(qū)域課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）2課時(shí)知識(shí)點(diǎn)1.空間圖形（柱、錐、臺(tái)、球）等表面積與體積的計(jì)算公式；2.空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；3.用線、平面平行、垂直的判定和性質(zhì)、線線角、線面角、二面角以及三垂線定理、逆定理；教學(xué)目標(biāo)能對(duì)不規(guī)則立體圖形求體積求表面積。2.掌握立體幾何的基本證明方法，理解線、平面平行、垂直的判定和性質(zhì)、線線角、線面角、二面角教學(xué)重點(diǎn)1.立體幾何表面積及體積的計(jì)算2.立體幾何的基本證明教學(xué)難點(diǎn)1.立體幾何的證明2.線面夾角，二面角的求解【教學(xué)建議】1.了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，熟背面積公式，體積公式. 2.了解基本幾何體與其三視圖、

2、展開(kāi)圖（球除外）之間的關(guān)系3.熟背判定定理和性質(zhì)定理4.熟記求二面角的方法【知識(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入我們都知道一棵大樹(shù)它的枝干是組成大樹(shù)必不可少的條件，但是要使一棵大樹(shù)能夠茁壯成長(zhǎng)，根基也是相當(dāng)重要的。數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)也是如此，我們有了一定的知識(shí)積累，但是更重要的是能夠進(jìn)行運(yùn)用。在學(xué)習(xí)的前面立體幾何的四講之后，我們有了“大樹(shù)的枝干”那么接下來(lái)這節(jié)課，我們將合理運(yùn)用大樹(shù)的“根基”讓立體幾何這棵大樹(shù)茁壯的成長(zhǎng)起來(lái)。復(fù)習(xí)1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)，直觀圖和三視圖2、空間幾何體的表面積和體積3、空間點(diǎn)直線平面的關(guān)系，直線平面平行判定和性質(zhì)4、直線平面垂直判定和性質(zhì)考點(diǎn)1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)，直觀圖和三視圖二、

3、知識(shí)講解1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體.分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱.幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形.（2）棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體.分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐.幾何

4、特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方.（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分.分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái).幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體.幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形.（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體.

5、幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形.（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分.幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形.（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)

6、視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度.3、空.間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變；原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.考點(diǎn)2 空間幾何體的表面積和體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高，l為母線） （3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式 （4）球體的表面積和體積公式：V= ； S=考點(diǎn)3空間點(diǎn)直線平面的關(guān)系，直線平面平行判定和性質(zhì)考點(diǎn)2 單調(diào)區(qū)間的定義點(diǎn)與平面的關(guān)系點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作；點(diǎn)不在平面內(nèi)，記作點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線l上，記作：Al

7、； 點(diǎn)A在直線l外，記作Al；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面內(nèi)，記作l；直線l不在平面內(nèi)，記作l.（2）公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線）應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平； 判斷直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：（3）公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面.公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.符號(hào)：平面和相交，交線

8、是a，記作a.符號(hào)語(yǔ)言：公理3的作用：它是判定兩個(gè)平面相交的方法.它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn).它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù).（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線. 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交. 異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線aa，bb，則把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0，

9、90，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直.（7）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：a aA a（8）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行. 線線平行線面平行線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.線面平行線線平行考點(diǎn)4直線平面垂直判定和性質(zhì)（1）線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面.性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，

10、那么這兩條直線平行.（2）直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為.兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角.兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角.（3）直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為. 平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為.平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.求斜線與平面所成角的思路類(lèi)似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射

11、影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò)斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線.（4）二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

12、.三 、例題精析類(lèi)型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)，直觀圖和三視圖例題11. 若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 a 3 a a 3 a 3（1）求側(cè)視圖的面積； （2）求幾何體的表面積【解析】 (1)S=1223=3(2)S表=23+18【總結(jié)與反思】空間幾何體的三視圖是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)必考點(diǎn)，考生在做此類(lèi)題時(shí)首先要能夠?qū)⑺o的三視圖進(jìn)行還原原立體圖形，此外必須熟記立體幾何圖形的表面積體積求解公式.例題2某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為（ ）A B C D:.【答案】A【解析】由正視圖與側(cè)視圖可判斷出幾何體為錐體，再由俯視圖能夠判定該幾何體為圓錐的一半，且底面向上放置所以表面積由底面半圓，側(cè)面的一半

13、，和軸截面的面積組成由俯視圖可得底面半圓半徑，所以底面半圓面積，幾何體的側(cè)面為圓錐側(cè)面的一半，由正視圖可得圓錐的母線，所以側(cè)面面積，軸截面為三角形，底為2（側(cè)視圖），高為2（正視圖）所以可得面積，所以該幾何體的表面積為.例題3一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是()A.eq f(1,2)eq f(r(2),2) B1eq f(r(2),2)C1eq r(2) D2eq r(2)【答案】D【解析】設(shè)直觀圖為OABC，建立如圖所示的坐標(biāo)系，按照斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，在原來(lái)的平面圖形中OCOA，且OC2，BC1，OA12eq f(r(2

14、),2)1eq r(2)，故其面積為eq f(1,2)(11eq r(2)22eq r(2).【總結(jié)與反思】1.解決有關(guān)“斜二測(cè)畫(huà)法”問(wèn)題時(shí),一般在原圖形中建立直角坐標(biāo)系,盡量取原圖形中互相垂直的線段所在直線或圖形的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,圖形的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn),注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線段長(zhǎng)度的關(guān)系.2.按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個(gè)關(guān)系:(1)S直觀圖=24S原圖形.(2)S原圖形=22S直觀圖.例題4一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸(單位：cm)，如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積為 cm2:【解析】通過(guò)三視圖可判斷出該幾何體為正四棱錐，所以只需計(jì)算出一個(gè)側(cè)面三角形的面積，乘4即為側(cè)面積通過(guò)

15、三視圖可得側(cè)面三角形的底為8（由俯視圖可得），高為5（左側(cè)面的高即為正視圖中三角形左腰的長(zhǎng)度），所以面積為cm2，所以側(cè)面積為cm2例題5已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（正方形邊長(zhǎng)為），則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三視圖可知：該幾何體為正方體挖去了一個(gè)四棱錐，該幾何體的體積為故選：B【總結(jié)與反思】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.類(lèi)型2： 空間直線平面的關(guān)系例題1例

16、題1如圖，四棱錐中，平面，為線段上一點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明：（2）求四面體的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，即又，即故四邊形為平行四邊形，于是因?yàn)樗裕?）因?yàn)镻A平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為12PA,取BC的中點(diǎn)E,連接AE，由AB=AC=3得AEBC,AE=5，由AM/BC得M到BC的距離為5，故SBCM=1245,所以四面體N-BCM的體積為VN-BCM=13SBCMPA2=453 例題1例題2如圖，在直角梯形ABCP中，CP/AB, CPCB,AB=BC=12CP=2,D是CP的中點(diǎn)，將PAD沿AD折起

17、，使得PD平面ABCD.（）求證：平面PAD平面 ；（）若是的中點(diǎn),求三棱錐A-PEB的體積.【解析】（）證明：底面，又由于CP/AB, ， ，為正方形， 又，故平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（）解： AD/BC，又平面， 平面，所以AD/平面，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離又， 是的中點(diǎn)， 由（）知平面，所以有.由題意得AD/BC，故于是，由，可得平面， 又平面， ，AD/BC ， ，例題1例題3如圖，己知中，且 （1）求證：不論為何值，總有 （2）若求三棱錐的體積【解析】(1）證明：因?yàn)锳B平面BCD，所以ABCD，又在BCD中，BCD = 900，所以，BCCD，又ABBCB， 所以，

18、CD平面ABC， 又在ACD，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且 所以，不論為何值，EF/CD,總有EF平面ABC解：在BCD中，BCD = 900，BCCD1，所以，BD,又AB平面BCD，所以，ABBD，又在RtABD中，AB=BDtan 由（1）知EF平面ABE，所以，三棱錐ABCD的體積是 【總結(jié)與反思】在解決線面垂直的證明題時(shí)，往往是線面垂直的性質(zhì)和判定的一個(gè)混合應(yīng)用過(guò)程.例題4如圖，已知三棱錐ABPC中，APPC，ACBC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且PMB為正三角形(1)求證：DM平面APC；(2)求證： BC平面APC；(3)若BC4，AB20，求三棱錐DBCM的體積【解

19、析】(1)由已知得，MD是ABP的中位線，所以MDAP.因?yàn)镸D平面APC，AP平面APC，所以MD平面APC. (2)因?yàn)镻MB為正三角形，D為PB的中點(diǎn)，所以MDPB所以APPB. 又因?yàn)锳PPC，且PBPCP，所以AP平面PBC因?yàn)锽C平面PBC，所以APBC.又因?yàn)锽CAC，且ACAPA，所以BC平面APC(3)因?yàn)镸D平面PBC，所以MD是三棱錐MDBC的高，且MD5，又在直角三角形PCB中，由PB10，BC4，可得PC2于是SBCDEQ * jc0 * hps21 o(sup 9(1),2)SBCP2，(12分)所以VDBCMVMDBC10【總結(jié)與反思】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化

20、與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直類(lèi)型3：空間角例題1設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，AC=BC=1，CD=2（1）AC與平面BCD所成角的大?。?）二面角A-BC-D的正切值（3）異面直線和的角【解析】（1）如圖，RtBCD中，BC=1，CD=2BD=1+2=3 O是RtBCD斜邊中點(diǎn)，OB=OC=OD=32，A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，AO平面BC

21、D，AC與平面BCD所成角為ACO，cosACO=COAC=32ACO=30，AC與平面BCD所成角的大小為30（2）由（1）得AO=12，AB=AC=1=BC，ABC是正三角形取BC中點(diǎn)E，則AEBC，DEBC，AE=32，OE=12，DC=22則AEO是二面角A-BC-D的平面角，tanAEO=AOEO=22二面角A-BC-D的正切值為22(3)取AC的中點(diǎn)，連接EF,OE,OF,因?yàn)镋,F分別為中點(diǎn)，所以AB與CD所成的角即為EF與EO所成的角即OEF，所以在EFO中，EF=12AB=12, EO=12CD=22, OF=12AC=12,所以EFO為等腰直角三角形，所以O(shè)EF=45。例題

22、2如圖，在四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形，面面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得面，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)二面角D-FC-B的余弦值為時(shí)，求直線PB與平面ABCD所成的角. 【解析】：（1）在棱上存在點(diǎn)，使得面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).理由如下：取的中點(diǎn)，連結(jié)、，由題意，且，且，故且.所以，四邊形為平行四邊形.所以，又平面，平面，所以，平面.（2）由題意知為正三角形，所以，亦即，又，所以，且面面，面面，所以面，設(shè)，取DC的中點(diǎn)M，過(guò)M作FC的垂線MN，交FC于N，連接MN，所以BNM即為B-FC-D的二面角.在直角 BMN中，BM=3,MN=aa2+4由二面角的余弦值cos=14得tan=15

23、, 所以3aa2+4 =15，所以，由于面，所以在平面內(nèi)的射影為，所以為直線與平面所成的角a，易知在中，從而，所以直線與平面所成的角為.例題3如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1eq r(3)，BAD120.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值【解析】在平面ABCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AEAD，交BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳A1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如圖，以eq o(AE,sup17()，eq o(AD,sup17()，eq o(AA1,sup17()為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.因?yàn)锳BA

24、D2，AA1eq r(3)，BAD120，則A(0,0,0)，B(eq r(3)，1,0)，D(0,2，0)，E(eq r(3)，0,0)，A1(0，0，eq r(3)，C1(eq r(3)，1，eq r(3)(1) eq o(A1B,sup17()(eq r(3)，1，eq r(3)，eq o(AC1,sup17()(eq r(3)，1，eq r(3)則coseq o(A1B,sup17()，eq o(AC1,sup17()eq f(eq o(A1B,sup17()eq o(AC1,sup17(),|eq o(A1B,sup17()|eq o(AC1,sup17()|)eq f(313,r(

25、7)r(7)eq f(1,7).因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為eq f(1,7).(2)可知平面A1DA的一個(gè)法向量為eq o(AE,sup17()(eq r(3)，0,0)設(shè)m(x，y，z)為平面BA1D的一個(gè)法向量，又eq o(A1B,sup17()(eq r(3)，1，eq r(3)，eq o(BD,sup17()(eq r(3)，3,0)，則eq blcrc (avs4alco1(meq o(A1B,sup17()0，,meq o(BD,sup17()0，)即eq blcrc (avs4alco1(r(3)xyr(3)z0，,r(3)x3y0.)不妨取x3，則yeq r(3

26、)，z2，所以m(3，eq r(3)，2)為平面BA1D的一個(gè)法向量，從而coseq o(AE,sup17()，meq f(eq o(AE,sup17()m,| eq o(AE,sup17()|m|)eq f(3r(3),r(3)4)eq f(3,4).設(shè)二面角BA1DA的大小為，則|cos |eq f(3,4).因?yàn)?，所以sin eq r(1cos2)eq f(r(7),4).因此二面角BA1DA的正弦值為eq f(r(7),4).例題4如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形且DAB=60，O為AD中點(diǎn).（）若PA=PD，求證：平面POB平面PAD；（）若平面PAD平面ABCD，且

27、PA=PD=AD=2，試問(wèn)在線段PC上是否存在點(diǎn)M，使二面角MBOC的大小為60，如存在，求 SKIPIF 1 0 的值，如不存在，說(shuō)明理由.【解析】 (1)PA=PD O為AD中點(diǎn) POAD又ABCD為菱形且DAB=60 OBADPOOB=O AD面POB，AD SKIPIF 1 0 面PAD 面POB面PAD (2)面PAD面ABCD且面PAD面ABCD=AD PO面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 zx yO(0,0,0)、P(0,0, SKIPIF 1 0 )、B(0, SKIPIF 1 0 ,0)、C(-2, SKIPIF 1 0 ,0

28、)設(shè) SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 (01) M(-2, SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 (1-)平面CBO的法向量為n1=(0,0, SKIPIF 1 0 )設(shè)平面MOB的法向量為n2=(x,y,z) SKIPIF 1 0 取n2=( SKIPIF 1 0 ,0, SKIPIF 1 0 )二面角MBOC的大小為60 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 解得= SKIPIF 1 0 存在M點(diǎn)使二面角MBOC等于60，且 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 四 、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)1. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則俯視圖的面積是_ 2 2 1 2

29、.如圖,矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,其中OA=6 cm,OC=2 cm,則原圖形是()A.正方形B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四邊形ABCDFE3.如圖所示，正方形與直角梯形所在平面互相垂直，.()求證：平面；（）求四面體的體積.4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)，（）求PB和平面PAD所成的角的大小；（）證明AE平面PCD；（）求二面角A-PD-C的正弦值. 5. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD平面MAC，PAPDeq r

30、(6)，AB4(1)求證：M為PB的中點(diǎn)；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值答案與解析1.【答案】2【解析】由三視圖得S=22.【答案】C【解析】將直觀圖還原得OABC,如圖, 因?yàn)镺D=OC=2cm,所以O(shè)D=2OD=4cm, 因?yàn)镃D=OC=2 cm,所以CD=2 cm,所以O(shè)C=6(cm),所以O(shè)A=OA=6 cm=OC,故原圖形為菱形.3.【答案】【解析】()證明：設(shè)，取中點(diǎn)，連結(jié)，所以， 因?yàn)?，所以?ABCDFE從而四邊形是平行四邊形，. 因?yàn)槠矫?平面, 所以平面，即平面 （）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫?所以平面. 因?yàn)?，所以的面積為， 所以四面體

31、的體積. 4. 【答案】（1）45（2）如下（3）144【解析】：（）解：在四棱錐P-ABCD中，因PA底面ABCD，平面ABCD，故PAAB，又ABAD，PAAD=A，從而AB平面PAD，故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA，從而APB為PB和平面PAD所成的角，在中，AB=PA，故APB=45，所以PB和平面PAD所成的角的大小為45（）證明：在四棱錐P-ABCD中，因PA底面ABCD，平面ABCD，故CDPA，由條件CDPC，PAAC=A，CD面PAC，又面PAC，AECD，由PA=AB=BC, ABC=60，可得AC=PA，E是PC的中點(diǎn)，AEPC，PCCD=C，綜上得AE平面PCD.（）

32、解：過(guò)點(diǎn)E作EMPD，垂足為M，連結(jié)AM，由（）知，AE平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則AMPD，因此AME是二面角A-PD-C的平面角，由已知，可得CAD=30，設(shè)AC=a，可得，則，在中，sinAME=，所以二面角A-PD-C的正弦值為1445.【答案】同解析【解析】(1)證明：設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為E，連接ME.因?yàn)镻D平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以E為BD的中點(diǎn)所以M為PB的中點(diǎn)(2)取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OE.因?yàn)镻APD，所以O(shè)PAD.又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，OP平面PAD，所以O(shè)

33、P平面ABCD.因?yàn)镺E平面ABCD，所以O(shè)POE.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以O(shè)EAD.以O(shè)為原點(diǎn)，以eq o(OD,sup17()，eq o(OE,sup17()，eq o(OP,sup17()為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P(0,0，eq r(2)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，eq o(BD,sup17()(4，4,0)，eq o(PD,sup17()(2,0，eq r(2)設(shè)平面BDP的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(neq o(BD,sup17()0，,neq o(PD,sup17()0，)即eq

34、blcrc (avs4alco1(4x4y0，,2xr(2)z0.)令x1，得y1，zeq r(2).于是n(1,1，eq r(2)又平面PAD的一個(gè)法向量為p(0,1,0)，所以cosn，peq f(np,|n|p|)eq f(1,2).由題知二面角BPDA為銳角，所以二面角BPDA的大小為60(3)由題意知Meq blc(rc)(avs4alco1(1，2，f(r(2),2)，C(2,4,0)，則eq o(MC,sup17()eq blc(rc)(avs4alco1(3，2，f(r(2),2).設(shè)直線MC與平面BDP所成角為，則sin |cosn，eq o(MC,sup17()|eq f(

35、|neq o(MC,sup17()|,|n|eq o(MC,sup17()|)eq f(2r(6),9).所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為eq f(2r(6),9).鞏固1.如圖，是一個(gè)幾何體的三視圖，側(cè)視圖是一個(gè)等邊三角形，求a=( )a 2 1 11 B. 3 C.2 D.32.有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示),ABC=45,AB=AD=1,DCBC,則這塊菜地的面積為.3. 如圖，在直角梯形ABCD中，B90，DCAB，BCCDeq f(1,2)AB2，G為線段AB的中點(diǎn)，將ADG沿GD折起，使平面ADG平面BCDG，得到幾何體ABC

36、DG.(1)若E，F(xiàn)分別為線段AC，AD的中點(diǎn)，求證：EF平面ABG；(2)求證：AG平面BCDG；(3)求三棱錐C-ABD的體積.4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=22，PAB=60（）證明AD平面PAB；（）求異面直線PC與AD所成的角的正切值；（）求二面角P-BD-A的正切值5. 如圖，四棱錐P ABCD的底面為菱形，ABC60，E是DP的中點(diǎn)若APPBeq r(2)，ABPC2.(1)證明：PB平面ACE；(2)求二面角APCD的余弦值 答案與解析1.【答案】B.由三視圖得，a為側(cè)視圖上的高線2.【答案】2+22 如圖,在直觀圖

37、中,過(guò)點(diǎn)A作AEBC,垂足為E,在RtABE中,AB=1,ABE=45,BE=.四邊形AECD為矩形,AD=1,EC=AD=1.BC=BE+EC=+1.由此可還原原圖形如圖. 圖 圖在原圖形中,AD=1,AB=2,BC=1,且ADBC,ABBC,這塊菜地的面積S=12(AD+BC)AB=12（1+1+22）2=2+22.3. 【答案】【解析】(1)證明：依題意，折疊前后CD、BG位置關(guān)系不改變，CDBG.E、F分別為線段AC、BD的中點(diǎn)，在ACD中，EFCD，EFBG.又EF平面ABG，BG平面ABG，EF平面ABG.(2)證明：將ADG沿GD折起后，AG、GD位置關(guān)系不改變，AGGD，又平面

38、ADG平面BCDG，平面ADG平面BCDGGD，AG平面AGD，AG平面BCDG.(3)解：由已知得BCCDAG2，又由(2)得AG平面BCDG，即點(diǎn)A到平面BCDG的距離AG2，VC-ABDVA-BCDeq f(1,3)SBCDAGeq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)22)2eq f(4,3).4.【答案】（）證明：在PAD中，由題設(shè)PA=2，PD=22可得PA2+AD2=PD2于是ADPA在矩形ABCD中，ADAB又PAAB=A，所以AD平面PAB（）由題設(shè)，BCAD，所以PCB（或其補(bǔ)角）是異面直線PC與AD所成的角在PAB中，由余弦定理得PB=PA2

39、+AB2-2PAABcosPAB=7由（）知AD平面PAB，PB平面PAB，所以ADPB，因而B(niǎo)CPB，于是PBC是直角三角形，故tanPCB=PBBC=72所以異面直線PC與AD所成的角正切值為72（）過(guò)點(diǎn)P做PHAB于H，過(guò)點(diǎn)H做HEBD于E，連接PE因?yàn)锳D平面PAB，PH平面PAB，所以ADPH又ADAB=A，因而PH平面ABCD，故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影由三垂線定理可知，BDPE，從而PEH是二面角P-BD-A的平面角由題設(shè)可得，PH=PAsin60=3，AH=PAcos60=1，BH=AB-AH=2，BD=AB2+AD2=13HE= ADBDBH=413，于是在RTPHE

40、中，tanPEH=394，所以二面角P-BD-A的正切值為394.5.【答案】(1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)F，連接EF，底面ABCD為菱形，F(xiàn)為BD中點(diǎn)又E是DP中點(diǎn)，EFPB.PB平面ACE，EF平面ACE，PB平面ACE.(2)取AB的中點(diǎn)Q，連接PQ，CQ，底面ABCD為菱形，且ABC60，ABC為正三角形，CQAB.APPBeq r(2)，ABPC2，CQeq r(3)，且PAB為等腰直角三角形，PQAB，PQ1，PQ2CQ2CP2，PQCQ.以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，QA，QC，QP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，C(0，eq r(3)，0)，P(

41、0,0,1)，D(2，eq r(3)，0)，eq o(AP,sup17()(1,0,1)，eq o(CP,sup17()(0，eq r(3)，1)，eq o(CD,sup17()(2,0,0)設(shè)平面APC的法向量為n1(x1，y1，z1)，則eq blcrc (avs4alco1(n1eq o(AP,sup17()0，,n1eq o(CP,sup17()0，)即eq blcrc (avs4alco1(x1z10，,r(3)y1z10，)令y11，得x1eq r(3)，z1eq r(3)，故n1(eq r(3)，1，eq r(3)設(shè)平面DPC的法向量為n2(x2，y2，z2)，則eq blcrc

42、 (avs4alco1(n2eq o(CD,sup17()0，,n2eq o(CP,sup17()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2x20，,r(3)y2z20，)令y21，得z2eq r(3)，故n2(0,1，eq r(3)cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(13,r(7)2)eq f(2r(7),7)，由圖知二面角APCD為銳角，二面角APCD的余弦值為eq f(2r(7),7).拔高1. 某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為()A.5B. 6C.2 2D.32. 如圖，在四棱錐中，底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，是上的點(diǎn)求證：（

43、1）平面；（2）平面平面3.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AD/BC,BCD=90, PA=PB，PC=PD,(1)證明平面PAB平面ABCD(2)如果CD=AD+BC,二面角P-BC-A等于60，求二面角P-CD-A的大小4. 如圖，是的中點(diǎn)，四邊形是菱形，平面平面，.（）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，證明：平面；(II)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.答案與解析1.【答案】B【解析】將幾何體還原在長(zhǎng)方體中,如圖.該幾何體為三棱錐P-ABC,可得最長(zhǎng)棱為長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線PB=4+1+1=6.2.【答案】同解析【解析】（1），平面，平面，平面（2）底面，底面，由題意可知，且，是等腰

44、直角三角形，即又，平面平面，平面平面3.【答案】 （1）取AB、CD的中點(diǎn)E、F連結(jié)PE、EF、PF，由PA=PB、PC=PD得PEAB，PFCDEF為直角梯形的中位線，BCD=90，EFCD又PFEF=FCD平面PEF又PF平面PEF，得CDPE又PEAB且梯形兩腰AB、CD必相交PE平面ABCD又由PE平面PAB平面PAB平面ABCD由（1）及二面角的定義知PFE為二面角P-CD-A的平面角作EGBC于G，連PG，由三垂線定理得BCPG，故PGE為二面角P-BC-A的平面角即PGE=60，由已知，得EF12，(AD+BC)12CD,又EG=CF=12CDEF=EG，RtPEFRtPEG（1

45、1分）PEF=PGE=60，故二面角P-CD-A的大小為604.【答案】同解析【解析】（1）連接，.四邊形為菱形，且，為等邊三角形.為的中點(diǎn)，.，又是的中點(diǎn)，.平面平面，平面平面，平面，平面.又平面，.由，平面.（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接.易證平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，.，.設(shè)平面，平面的法向量分別為，.由.解得.取，.又由解得.取，.平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.五 、課堂小結(jié)本節(jié)講了3個(gè)重要內(nèi)容：三視圖與表面積及體積2直線與平面的位置關(guān)系3. 空間角（1）幾何法（2）向量法六 、課后作業(yè)基礎(chǔ)1.一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被一個(gè)平面截去一部

46、分后,剩余幾何體的三視圖如圖所示,則截去的幾何體是()A.三棱錐B.三棱柱 C.四棱錐D.四棱柱2如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，是中點(diǎn).（）證明：平面；（）若，求三棱錐的體積3.在正四面體ABCD中，求相鄰兩個(gè)平面所成的二面角的平面角的余弦值.4.如下圖,四梭錐中,底面, ,為線段上一點(diǎn)，,為的中點(diǎn).(I)證明:平面；()求直線與平面所成角的正弦值.答案與解析【答案】B【解析】由三視圖還原幾何體可知,截去的幾何體是三棱柱.2. （）證明：如圖，連接，連接，四棱錐的底面為菱形，為中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，在中，是中位線，又平面，而平面，平面 （）解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，為菱形，且，為正三角形，且為等

47、腰直角三角形，即，且，又，平面,VC-PAE =VE-ACP= 12VD-ACP= 12VP-ACD = 121312231=36 .3.【答案】13【解析】取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，如下圖所示：設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為2，則AE=BE=3，且AECD，BECD，則AEB即為相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角在ABE中，cosAEB=AE2+BE2-AB22AEBE=13故正四面體（所有面都是等邊三角形的三棱錐）相鄰兩側(cè)面所成二面角的余弦值是13故答案為：13.4.【答案】同解析【解析】()由己知得,取的中點(diǎn),連接由為中點(diǎn)知又故,四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫?平面，所以平面.（）取的中點(diǎn),連結(jié),

48、由得,從而,且以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知，,.設(shè) 為平面的法向量，則，即，可取故直線 與平面所成角的正弦值為.鞏固1. 在正方形網(wǎng)格中,某四面體的三視圖如圖所示.如果小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1,那么該四面體最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為()A.4B.6C.4D.22.如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，平面底面，.（）證明：平面平面；（）若是面積為的等邊三角形，求四棱錐的體積.3在棱長(zhǎng)為1的正方體AC1中，（1）求二面角A-B1D1-C的余弦值（2）求平面C1BD與地面 ABCD所成二面角的正切值4.如圖，已知四棱錐S ABCD的底面為菱形，SA平面ABCD，ADC60，

49、 E，F(xiàn)分別是SC，BC的中點(diǎn)(1)證明：SDAF；(2)若AB2，SA4，求二面角FAEC的平面角的余弦值答案與解析1.【答案】B【解析】B將該四面體還原在正方體中,為三棱錐P-ABC,如圖所示,最長(zhǎng)棱為PA=6. 2.【答案】同解析【解析】（）平面底面，平面底面，平面又平面平面平面 （）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，平面底面，平面底面底面是面積為的等邊三角形 是的中點(diǎn)，四邊形為矩形，故是等腰直角三角形，故 在直角三角形中有直角梯形的面積為 3.【答案】16；22【解析】（1）取D1B1的中點(diǎn)O1,連接AO1,CO1由定義法知AO1C為面A-B1D1-C的二面角，有余弦定理有COSAO1C=16（

50、2）取DB的中點(diǎn)O,由三垂線定理得，C1OC為平面C1BD與地面 ABCD所成二面角，所以tanC1OC=224.【答案】同解析【解析】 (1)證明：由四邊形ABCD為菱形，ADC60，可得ABC為正三角形，因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，所以AFBC，又BCAD，所以AFAD.因?yàn)镾A平面ABCD，AF平面ABCD，所以SAAF.又SA平面SAD，AD平面SAD，且SAADA，所以AF平面SAD，又SD平面SAD，所以AFSD.(2)由(1)知AF，AD，AS兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0,0)，B(eq r(3)，1,0)，C(eq r(3)，1,0)，D(0,2

51、,0)，S(0,0,4)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，2)，F(xiàn)(eq r(3)，0,0)，所以eq o(AE,sup17()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，2)，eq o(AF,sup17()(eq r(3)，0,0)設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為m(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(meq o(AE,sup17()0，,meq o(AF,sup17()0，)因此eq blcrc (avs4alco1(f(r(3),2)xf(1,2)y2z0，,r(3)x0，)取z1，則m(0,4，1)連接BD，則BDAC，又BDSA，SAACA，所以BD平面AEC，故eq o(BD,sup17()為平面AEC的一個(gè)法向量，易得eq o(BD,sup17()(eq r(3)，3,0)所以cosm，eq o(BD,sup17()eq f(meq o(BD,sup17(),|m|eq o(BD,sup17()|)eq f(43,r(17)r(12)eq f(2r(51),17)，由于二面角FAEC的平面角為銳角，所以所求二面角的平面角的余弦值為eq f(2r(51),17)