初中數(shù)學(xué)分類討論思想例題分析

1、分類討論思想例題分析線段中分類討思想的應(yīng)用線段及端點(diǎn)位置的不確定性引發(fā)討論。例1已知直線AB上一點(diǎn)C，且有CA=3AB，則線段CA與線段CB之比為_(kāi)3：2_或_3：4_。C1ABC2練習(xí)：已知A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，且線段AB=7cm，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，線段BC=3cm，點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng).解析：(1)點(diǎn)C在線段AB上：(2)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上AMCNBAMBNC例2下列說(shuō)法正確的是（）A、兩條線段相交有且只有一個(gè)交點(diǎn)。B、如果線段AB=AC那么點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)。C、兩條射線不平行就相交。D、不在同一直線上的三條線段兩兩相交必有三個(gè)交點(diǎn)。與角有關(guān)的分類討論思想

2、的應(yīng)用角的一邊不確定性引發(fā)討論。例3在同一平面上，AOB=70，BOC=30，射線OM平分AOB，ON平分BOC，求MON的大小。（20或50）BNCMMCBNAOAO練習(xí)已知AOB60o,過(guò)O作一條射線OC，射線OE平分AOC，射線OD平分BOC，求DOE的大小。（1）射線OC在AOB內(nèi)（2）射線OC在AOB外AECCEADDOBOB這兩種情況下，都有DOE=AOB6030oo22例4、在ABC中，B25，AD是BC上的高，并且ADBDDC，則小結(jié)：（對(duì)分類討論結(jié)論的反思）為什么結(jié)論相同？雖然AOC的大小不確定，但是所求的DOE與AOC的大小無(wú)關(guān)。我們雖然分了兩類，但是結(jié)果是相同的！這也體現(xiàn)

3、了分類討論的最后一個(gè)環(huán)節(jié)總結(jié)的重要性。三角形中分類討論思想的應(yīng)用一般有以下四種類型：一是由于一般三角形的形狀不確定而進(jìn)行的分類；二是由于等腰三角形的腰與底不確定而進(jìn)行的分類；三是由于直角三角形的斜邊不確定而進(jìn)行的分類；四是由于相似三角形的對(duì)應(yīng)角(或邊)不確定而進(jìn)行的分類。1、三角形的形狀不定需要分類討論2BCA的度數(shù)為_(kāi)。解析：因未指明三角形的形狀，故需分類討論。如圖1，當(dāng)ABC的高在形內(nèi)時(shí)，由ADBDDC，2得ABDCAD，進(jìn)而ABC為鈍角三角形。由ADBDDC，2xy12,xy9.y9,y5.可以證明ABC為直角三角形。由B25。可知BAD65。所以BCABAD65。如圖2，當(dāng)高AD在形外

4、時(shí)，此時(shí)2得ABDCAD所以BCAD25BCACADADC25901152、等腰三角形的分類討論：a、在等腰三角形中求邊：等腰三角形中，對(duì)給出的邊可能是腰，也可能是底邊，所以我們要進(jìn)行分類討論。例5、已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6，則它的周長(zhǎng)等于_。練習(xí)若等腰三角形一腰上的中線分周長(zhǎng)為9cm和12cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底和腰的長(zhǎng)。簡(jiǎn)析：已知條件并沒(méi)有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，應(yīng)有兩種情形。11xx9,xx12,2若設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是xcm，底邊長(zhǎng)為ycm，可得或解1122x6,x8,得或即當(dāng)腰長(zhǎng)是6cm時(shí)，底邊長(zhǎng)是9cm；當(dāng)腰長(zhǎng)是8cm時(shí)，底邊長(zhǎng)是

5、5cm。b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一個(gè)角可能指底角，也可能指頂角，所以必須分情況討論。例6、已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為75則其頂角為（）A.30B.75C.105D.30或75練習(xí)1、等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45，求這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)。簡(jiǎn)析：依題意可畫出圖1和圖2兩種情形。圖1中頂角為45，圖2中頂角為135。2、在ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50，則底角B=_。3、直角三角形中，直角邊和斜邊不明確時(shí)需要分類討論例7、已知x，y為直角三角形兩邊的長(zhǎng)，滿足三邊的長(zhǎng)為_(kāi)。x24y25y60，則第，可得x240且y5y60解析：由

6、x24y25y6022x2x21分別解這兩個(gè)方程，可得滿足條件的解y12，或y23由于x，y是直角邊長(zhǎng)還是斜邊長(zhǎng)沒(méi)有明確，因此需要分類討論。當(dāng)兩直角邊長(zhǎng)分別為2，2時(shí)，斜邊長(zhǎng)為222222；當(dāng)直角邊長(zhǎng)為2，斜邊長(zhǎng)為3時(shí)，另一直角邊的長(zhǎng)為5；當(dāng)一直角邊長(zhǎng)為2，另一直角邊長(zhǎng)為3時(shí)，斜邊長(zhǎng)為13。綜上，第三邊的長(zhǎng)為22或5或13。4、相似三角形的對(duì)應(yīng)角(或邊)不確定而進(jìn)行的分類。(A)3(B)3或4作PQBC，這樣根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AQ例8、如圖所示，在ABC中，AB6，AC4，P是AC的中點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的直線交AB于點(diǎn)Q，若以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，則AQ的長(zhǎng)為（）34(C)3或(D)343APBC析解：由于以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形有一個(gè)公共角（A），因此依據(jù)相似三角形的判定方法，過(guò)點(diǎn)P的直線PQ應(yīng)有兩種作法：一是過(guò)點(diǎn)PAPAQ2，即，解得AQ3；ABAC64二是過(guò)點(diǎn)P作APQABC，交邊AB于點(diǎn)Q，這時(shí)APQABC，于是有AQAPAQ244，即，解得AQ.所以AQ的長(zhǎng)為3或，故應(yīng)選(B)。ACAB4633四、本節(jié)小結(jié)分類討論思想是在解決問(wèn)題出現(xiàn)不確定性時(shí)的有效方法。線段及端點(diǎn)的不確定；角的一邊不確定；三角形形狀不確定；等腰三