高中數(shù)學(xué)必修二 北京師范大學(xué)附屬中學(xué)-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

1、2019-2020學(xué)年北京師大附中高一第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一選擇題1. 若，且，則角的終邊位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】B【解析】sin0，則角的終邊位于一二象限或y軸的非負(fù)半軸，由tan0，角的終邊位于二四象限，角的終邊位于第二象限故選擇B2. 函數(shù)，的最小正周期為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)的周期公式求解即可.【詳解】解：函數(shù)，的最小正周期為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)最小正周期的求法，屬于基礎(chǔ)題.3. 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A. 向左平移個單位長度B. 向右平移個單位長度C

2、. 向左平移個單位長度D. 向右平移個單位長度【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得，即的圖象.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.4. 在空間中，給出下列四個命題：平行于同一個平面的兩條直線互相平行；垂直于同一個平面的兩個平面互相平行；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；垂直于同一個平面的兩條直線互相平行其中正確命題的序號是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通過線面平行的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)，平行公理可以對四個命題進(jìn)行判斷，最后選出正確的答案.【詳解】命題: 平行于同一個平面的兩條直

3、線可以平行、相交、異面，顯然命題是假命題；命題：垂直于同一個平面的兩個平面可以平行，也可以垂直，顯然命題是假命題；命題：這平行公理顯然命題是真命題；命題：根據(jù)平行線的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，可以知道這個真命題，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和對有關(guān)定理的理解.5. 已知向量滿足，則向量的夾角為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的夾角公式計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)向量的夾角為，則，由，得：，向量的夾角為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積和模長求解向量夾角的問題，屬于基礎(chǔ)題.6. 在中，三

4、個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，那么這個三角形是（ ）A. 等邊三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理求出的值，可得或，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式求出A的值，由此即可判斷三角形的形狀.【詳解】中，已知，由正弦定理，可得：，解得：，可得：或.當(dāng)時，是直角三角形.當(dāng)時，是等腰三角形.故是直角三角形或等腰三角形，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7. 如圖，在長方體中，若分別是棱的中點(diǎn)，則必有（ ）A. B. C. 平面平面D. 平面平面【答案】D【解析】【分析】根據(jù)“過直線外

5、一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”來判斷AB選項(xiàng)的正確性，根據(jù)平行直線的性質(zhì)判斷C選項(xiàng)的正確性，根據(jù)面面平行的判定定理判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】選項(xiàng)A:由中位線定理可知：，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以不可能互相平行，故A選項(xiàng)是錯誤的；選項(xiàng)B: 由中位線定理可知：，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以不可能互相平行，故B選項(xiàng)是錯誤的；選項(xiàng)C: 由中位線定理可知：，而直線與平面相交，故直線與平面也相交，故平面與平面相交，故C選項(xiàng)是錯誤的；選項(xiàng)D:由三角形中位線定理可知：，平面，平面，平面，平面,所以有平面，平面，而，因此平面平面.所以D選項(xiàng)正確.故本選：

6、D【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面平行的判定定理，考查線線平行的性質(zhì)，屬于中檔題.8. 函數(shù)f(x) =A sinx(A0)的圖象如圖所示，P，Q分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPOQ，則A=( )A. 3B. C. D. 1【答案】B【解析】由題意函數(shù)，周期 由圖像可知 連接 過作軸的垂線，可得： 由題意， 是直角三角形， 解得： .故選B二填空題9. 若角的終邊過點(diǎn)，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義可求出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的定義求正弦值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10. 設(shè)向量的長度分別為4和3，夾角為，則_.【

7、答案】【解析】【分析】對要求向量的模平方，得到，然后再對求得的結(jié)果開方.【詳解】的長度分別為4和3，夾角為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及模的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.11. 函數(shù)的最大值為_.【答案】3【解析】【分析】直接利用正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解：當(dāng)()時，函數(shù)的最大值為3.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查求正弦型函數(shù)的最值，難度較易.形如的函數(shù)，.12. 設(shè)是第一象限角，則_._.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由是第一象限角，利用平方關(guān)系求得，進(jìn)而可求，根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式即可求得的值.【詳解】是第一象限角，.故答案

8、為：，.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和二倍角公式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.13. 設(shè)向量，則_；向量，的夾角等于_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】直接根據(jù)數(shù)量積的定義以及夾角的計(jì)算公式即可求解結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?，故，向量，的夾角滿足；因?yàn)?，故向量，的夾角等于.故答案為：2，.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的計(jì)算和夾角的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.14. 在中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則_，的面積是_.【答案】 (1). (2). 【解析】分析】由已知利用正弦定理可求b的值，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求C的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面

9、積公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ?，得：，又，所以的面積，.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.15. 在中，三個內(nèi)角、的對邊分別是、，若，則_.【答案】【解析】【分析】由余弦定理代入三角形的邊長，可得出答案.【詳解】在中，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理求角的余弦值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最大值是_.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】解：，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，得，即m的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二倍

10、角公式和輔助角公式化簡，考查三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.17. 已知點(diǎn)A(0，4)，B(2，0)，如果，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為_；設(shè)點(diǎn)P(3，t)，且APB是鈍角，則t的取值范圍是_【答案】 (1). (3,-2) (2). (1,3)【解析】根據(jù)題意，設(shè)的坐標(biāo)為 又由點(diǎn) 則 若，則有 則有解可得則的坐標(biāo)為 又由，則 若是鈍角，則且 解可得 即的取值范圍為 即答案為(1). (3,-2) (2). (1,3)【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式，涉及向量平行的坐標(biāo)表示方法，其中解題的關(guān)鍵是掌握向量坐標(biāo)計(jì)算的公式18. 已知a，b是異面直線.給出下列結(jié)論：一定存在平面，使直線平面，直線平面；一定

11、存在平面，使直線平面，直線平面；一定存在無數(shù)個平面，使直線b與平面交于一個定點(diǎn)，且直線平面；一定存在平面，使直線平面，直線平面.則所有正確結(jié)論的序號為_.【答案】【解析】【分析】用反證法判斷，.利用線面位置的性質(zhì)關(guān)系判斷.【詳解】假設(shè)正確，則存在直線平面，使得，又，故，顯然當(dāng)異面直線a，b不垂直時，結(jié)論錯誤，故錯誤；設(shè)異面直線a，b的公垂線為m，平面，且a，b均不在內(nèi)，則a，b均與平面平行，故正確；在直線b上取點(diǎn)A，顯然過點(diǎn)A有無數(shù)個平面均與直線a平行，故正確；假設(shè)正確，則由，可得，顯然這與a，b是異面直線矛盾，故錯誤.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查與異面直線的有關(guān)的線面關(guān)系問題，還考查了理

12、解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.三解答題19. 已知函數(shù).（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2）最小正周期；（3）單調(diào)遞增區(qū)間為：，.【解析】【分析】（1）由已知可求即可得解；（2）利用正弦函數(shù)的周期公式即可求解；（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：（1）由于函數(shù)，可得；（2）的最小正周期；（3）令，得，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的周期性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.20. 已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的對稱中心的坐標(biāo)；（3）求函數(shù)在的區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期；（2）對稱中心的坐標(biāo)為

13、，；（3）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）利用輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合周期公式進(jìn)行計(jì)算即可（2）根據(jù)三角函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解（3）求出角的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的有界性以及最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1），則的最小正周期，（2）由，得，即的對稱中心的坐標(biāo)為，.（3）當(dāng)時，則當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，其中涉及輔助角公式、周期、三角函數(shù)對稱中心，主要考查學(xué)生的化簡計(jì)算能力，難度一般.21. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，.（1）求的值；（2）如果，求c的值；（3）如果，求的值.

14、【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)公式以及C為三角形的內(nèi)角，可得出的值；（2）由余弦定理可得c；（3）由正弦定理求出，進(jìn)而求出，根據(jù)大邊對大角確定的符號，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為，以及兩角和與差的正弦公式得出答案.【詳解】解：（1）在中，且，則，又，故.（2），故.（3），解得，又，則，.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.22. 如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，E是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1

15、）根據(jù)底面是正方形，得到，再利用線面平行判定定理證明.（2）連結(jié)，交于點(diǎn)O，連結(jié)，由中位線定理得到，再利用線面平行判定定理證明.（3）根據(jù)底面是正方形，得到，由側(cè)棱底面，得到，從而平面，由此能證明.【詳解】（1）四棱錐的底面是正方形，平面，平面，平面.（2）如圖所示：連結(jié)，交于點(diǎn)O，連結(jié)，四棱錐的底面是正方形，O是中點(diǎn)，E是的中點(diǎn).，平面，平面，平面.（3）四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，平面，平面，.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理的能力，屬于中檔題.23. 如圖，在多面體中，底面為矩形，側(cè)面為梯形，. （）求證：；（）求證：平面；

16、 （）判斷線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？并說明理由【答案】（）見證明；（）見證明；（）見解析【解析】【分析】（I）由ADDE，ADCD可得AD平面CDE，故而ADCE；（II）證明平面ABF平面CDE，故而BF平面CDE；（III）取CE的中點(diǎn)P，BE的中點(diǎn)Q，證明CE平面ADPQ即可得出平面ADQ平面BCE【詳解】（）由底面為矩形，知. 又因?yàn)椋?所以平面. 又因?yàn)槠矫?，所? （）由底面為矩形，知，又因?yàn)槠矫?，平面?所以平面.同理平面，又因?yàn)?，所以平面平? 又因?yàn)槠矫?，所以平? （）結(jié)論：線段上存在點(diǎn)（即的中點(diǎn)），使得平面平面.證明如下：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則.由，得. 所以四

17、點(diǎn)共面. 由（），知平面，所以，故.在中，由，可得. 又因?yàn)?，所以平?又因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫妫雌矫嫫矫妫? 即線段上存在點(diǎn)（即中點(diǎn)），使得平面平面【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用，線面平行的判定，熟練運(yùn)用定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題24. 已知向量，設(shè)函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)增區(qū)間；（3）若函數(shù)，其中，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).【答案】（1）最小正周期為；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：()；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）通過向量數(shù)量積求出函數(shù)的表達(dá)式，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求出函數(shù)的最小正周期.（2）利