2021-2022學(xué)年高二物理競(jìng)賽課件：晶格熱容的量子理論

1、晶格熱容的量子理論晶格熱容的量子理論固體中討論的熱容一般指定容熱容Cv，在熱力學(xué)中是固體的平均內(nèi)能，包括平衡時(shí)的內(nèi)能，即結(jié)合能，但它只是體積的函數(shù)，因此對(duì)Cv沒有貢獻(xiàn)；另外還包括晶格振動(dòng)的能量和電子運(yùn)動(dòng)的能量。電子熱容只有在溫度很低的情況下才有必要考慮，本章只考慮晶格熱容。根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的能量均分定理，每一個(gè)自由度的平均能量為。為平均動(dòng)能，為平均勢(shì)能，若固體有N個(gè)原子，則總的平均能量為，是一個(gè)與溫度和材料性質(zhì)無關(guān)的常數(shù)（杜隆珀替定律）。在高溫時(shí)定理與實(shí)驗(yàn)符合得很好，但在低溫時(shí)，熱容不再是常數(shù)，而是隨著溫度的下降Cv很快趨向于零，絕緣體按T3趨向于零，金屬按T趨向于零。表明低溫時(shí)能量均分定理不

2、再適用，需要建立新的理論來解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果。為此，愛因斯坦在普朗克量子假說的基礎(chǔ)上提出了量子的熱容理論。根據(jù)量子理論，簡(jiǎn)諧振子的能量是量子化的平均能量為令而則所以(1)高溫時(shí)隨著溫度的降低，Cv迅速減小，T 0 Cv 0()低溫時(shí)晶體中有3N個(gè)簡(jiǎn)諧振子如果認(rèn)為振子的頻率為連續(xù)分布，則求和就變?yōu)榉e分而振動(dòng)的頻率分布函數(shù)滿足可見用量子理論求熱容，關(guān)鍵是要求出分布函數(shù)，對(duì)于具體的晶體計(jì)算是非常復(fù)雜的，一般討論中，常采用愛因斯坦模型和德拜模型。一、愛因斯坦模型愛因斯坦模型對(duì)晶格振動(dòng)采用了很簡(jiǎn)單的假設(shè)，假設(shè)晶格中原子的振動(dòng)可以看作是相互獨(dú)立的，所有原子都具有同一頻率0，考慮到每個(gè)原子可以沿三個(gè)方向振動(dòng)，共有

3、3N個(gè)頻率為0的振動(dòng)。通過選擇適當(dāng)?shù)?，可以使理論值與實(shí)驗(yàn)值盡可能符合與經(jīng)典理論相比，愛因斯坦理論的改進(jìn)是十分顯著的，反映出Cv在低溫時(shí)下降的基本趨勢(shì)，但在低溫時(shí)愛因斯坦理論值下降很陡，與實(shí)驗(yàn)值不符。通常定義愛因斯坦溫度E，通過選擇愛因斯坦溫度使理論值與實(shí)驗(yàn)值符合，一般在100300k二、德拜模型在晶格熱容量理論的發(fā)展中，德拜提出的理論獲得了很大的成功。愛因斯坦把晶格中各原子的振動(dòng)看成是相互獨(dú)立的，因而3N個(gè)振動(dòng)頻率是相同的，顯然是一個(gè)過于簡(jiǎn)單的假設(shè)。固體中各原子間存在相互作用，前面討論的一維單原子鏈、一維雙原子鏈以及三維晶格的振動(dòng)，都顯示晶格振動(dòng)的頻率不是一個(gè)而是有很多個(gè)，三維晶格中有N個(gè)振

4、動(dòng)頻率。德拜理論考慮了頻率的分布，但他不是從原子理論分析的，而是從宏觀力學(xué)來考慮，把晶體當(dāng)作彈性介質(zhì)來處理，考慮的是各向同性的彈性介質(zhì)，在這種情況下，對(duì)于一定的波數(shù)矢量q有一個(gè)縱波和兩個(gè)獨(dú)立的橫波?？v波和橫波具有不同的波速在q空間中，q的取值不是任意的，只能是滿足周期性邊界條件的一系列數(shù)值q的不同取值代表q空間均勻分布的點(diǎn)子，每個(gè)點(diǎn)子占據(jù)q空間的體積為允許的q值在q空間均勻分布的密度為qq+dq先考慮縱波，頻率在到+d內(nèi)的縱波,波數(shù)為在q空間占據(jù)著半徑為q厚度為dq的球殼，體積為縱波的數(shù)目為為橫波的數(shù)目為為相加得總的頻率分布為積分必然是發(fā)散的，顯然不符合實(shí)際情況(可以取0到的任意值，對(duì)應(yīng)于無限長(zhǎng)的波和無限短的波)。原因是連續(xù)介質(zhì)可以認(rèn)為包含無限的自由度。而實(shí)際晶體是由原子組成的，如果包含N個(gè)原子，自由度只有3N個(gè)，振動(dòng)模也只有3N個(gè)。要用彈性力學(xué)的結(jié)果處理晶格振動(dòng)問