利用公式速解空間幾何體的外接球半徑

1、利用公式速解空間幾何體的外接球半徑基礎(chǔ)知識三角形、矩形的外接圓半徑為r，則正三角形r33a(a是邊長)a2b2斜邊r直角三角形(a和b是直角邊)22(a和b是長和寬)r矩形a2b2對角線22外接圓半徑萬能公式（正弦定理）2raA1O2A1OObcsinAsinBsinC外接圓模型及方法（1）漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）C1C1C1A1O2B1O2B1B1OCCC第二步：算出小圓O的半徑AOr，OO122AO1AO1BAO1BB圖10-1圖10-2圖10-3【探究】如圖10-1，圖10-2，圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：

2、確定球心O的位置，O是ABC的外心，則OO平面ABC；111AAh（AAh也是圓柱的高）；11111h第三步：勾股定理：OA2OA2OO2R2()2r2R112hr2()2，解出R2秒殺公式1：R()2r2(h表示垂直于底面的棱長，r表示底面外接圓半徑)【結(jié)論】各頂點都在球面上,且有條棱垂直于底面,且垂點是頂點.h2hr例1直三棱柱ABCABC的各頂點都在同一球面上，若ABACAA2,BAC120，則1111此球的表面積等于。4r2，hAA2,R(【秒解】BC23，2r23h)2r21225，S20sin12012例2點A,B,C,D均在同一球面上，其中ABC是正三角形，AD面ABC，AD2A

3、B6,則該球的體積為D6Cr3AB3323【秒解】hAD6，r33h4a33R()2r29323VR3323，例3已知EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，【秒解】如圖，可知AEB為正三角形，r3AD面AEB，hAD2，R2()2r24，外接球的表面積S4R216.EAEB3,AD2,AEB60，則多面體EABCD的外接球的表面積為。3a3333h2E3AD323BC（2）墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）【探究】長方體的外接球直徑2Ra2b2c2，c2Rba【結(jié)論】秒殺公式2：如以下四種情形的幾何體，均可看成對應(yīng)長方體的一部分，找三條兩兩垂直的線段，直接用公

4、式(2R)2a2b2c2，即2Ra2b2c2，求出RPcAbaCPbcCBAaB圖1圖22OPPccaBbCbCAAaB圖4圖3bc8，abc24，a3，b4，c2，(2R)2a2b2c229，S4R229，ac6例4若三棱錐的三個側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為3，則其外接球的表面積是9【秒解】4R23339，S4R29例5如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3，那么它的外接球的表面積是【秒解】三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為a,b,c（a,b,cR），則ab12例6已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為【秒解

5、】(2R)2a2b2c23，R2P3344333，R，VR3，423382ACB（3）對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）【探究】三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（ABCD，ADBC，ACBD）第一步：畫出一個長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱；第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為a,b,c，ADBCx，ABCDy，ACBDz，列方程組，c2a2z2a2b2x2b2c2y2(2R)2a2b2c2x2y2z22，補(bǔ)充：VABCD11abcabc4abc63x2y2z2bc第三步：根據(jù)墻角模型，2Ra222，2R2，Rx2y2z28x2y2z28，求出R，AxDyzzycxCBab圖1

6、2【結(jié)論】秒殺公式3：對棱相等的棱錐的外接球半徑：Ra2b2c28例7如圖所示三棱錐ABCD，其中ABCD5,ACBD6,ADBC7,則該三棱錐外接球的表面積為.【秒解】由條件可知，屬于對棱相等的棱錐外接球問題，a5,b6,c7，a2b2c255R2，外接球的表面積S4R255.84例8正四面體的各條棱長都為2，則該正面體外接球的體積為【秒解】這是特殊情況，但也是對棱相等的模式，abc2，R2a2b2c23，外接球的表面84積S4R23.(4)正棱錐模型【結(jié)論】棱錐各個頂點在球面上,頂點到底面的距離為h,且頂點到底面的垂點為底面外接圓圓心,典型例子為：正三棱錐,正四棱錐.秒殺公式4：Rhh2r22hr例9已知正四棱錐的頂點都在同一個球面上，且該棱錐的高為4，底面邊長為22，則球的體積為【秒解】h4，r2R42224222544222125VR32423246例10已知正三棱錐SABC及其正視圖如圖所示，則其外接球的半徑為332h6【秒解】ABC邊長為23，rS333