(整理)拉格朗日中值定理的幾種特殊證法

1、屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文關(guān)于拉格朗日中值定理的幾種特殊證法學(xué)號姓名班級指導(dǎo)教師專業(yè)系別完成時間：年月學(xué)生誠信承諾書本人鄭重聲明：所呈交的論文關(guān)于拉格朗日中值定理的幾種特 殊證法是我個人在導(dǎo)師王建珍指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究 成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不 包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得長治學(xué)院或 其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書所使用過的材料。所有合作者對本研究所 做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。簽名： 日期：論文使用授權(quán)說明本人完全了解長治學(xué)院有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué) 校有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；

2、學(xué)?？梢怨?布論文的全部或部分內(nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存 論文。簽名： 日期：指導(dǎo)教師聲明書本人聲明：該學(xué)位論文是本人指導(dǎo)學(xué)生完成的研究成果，已經(jīng)審 閱過論文的全部內(nèi)容，并能夠保證題目、關(guān)鍵詞、摘要部分中英文內(nèi) 容的一致性和準(zhǔn)確性。指導(dǎo)教師簽名： 時間：摘要拉格朗日中值定理在高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析的一些理論推導(dǎo)中起著重要作用 , 本論文為了更準(zhǔn)確的理解拉格朗日中值定理,介紹了其幾種特殊的證明方法.首先 本文從分析和幾何的角度構(gòu)造輔助函數(shù)對拉格朗日中值定理進(jìn)行了證明 ,其中在 分析法構(gòu)造輔助函數(shù)中應(yīng)用了推理法、原函數(shù)法、行列式法及弦傾角法 ,在幾何 法構(gòu)造輔助函數(shù)中應(yīng)用了作差構(gòu)造法、

3、面積構(gòu)造法和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸法;其次,應(yīng)用了 區(qū)間套定理證明法和巴拿赫不動點(diǎn)定理證明法對拉格朗日中值定理進(jìn)行了證明 ; 最后,本文為能將拉格朗日中值定理表述更為深刻 ,還將其應(yīng)用到求極限 ,證明函 數(shù)性態(tài)等具體問題中.關(guān)鍵詞： 拉格朗日中值定理;區(qū)間套定理;巴拿赫不動點(diǎn)定理Several Special Proofs on the Lagranges Mean Value Theorem 08404141 ZHAO Xia-yan Mathematics and Applied Mathematics Tutor WANG Jian-zhenAbstractLagranges mean value

4、theorem plays an important role in some theory educations in Higher algebra and Mathematical analysis, this thesis introduces several particular methods proving methods in order to comprehend Lagranges mean value theorem precisely. First of all, applying analysis and geometry with constructing auxil

5、iary function to prove Lagranges mean value theorem, in the aspect of analysis, the methods of constructing auxiliary function include the reasoning method, original function method, the determinant method and chord angle method, In the aspect of geometric, the methods of constructing auxiliary func

6、tions include the poor construction method, area structure method and the rotating coordinate transformation method; secondly, also use the theorem of nested interval proving method and the Banach fixed point theorem to prove it; finally, this article applies Lagranges mean value theorem to the spec

7、ific question in the limit, proving the function of state and other issues.Key Words:Lagranges mean value theorem; The theorem of nested interval; TheBanach fixed point theorem目錄 TOC o 1-5 h z 1引言1 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 利用分析法構(gòu)造輔助函數(shù)1 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 利用幾何法

8、構(gòu)造輔助函數(shù)4 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 利用區(qū)間套定理證明6 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 利用巴拿赫不動點(diǎn)定理證明76拉格朗日中值定理的應(yīng)用8 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 7. 結(jié)語11 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 參考文獻(xiàn)12致 謝12關(guān)于拉格朗日中值定理的幾種特殊證法08404141 趙夏燕 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師 王建珍引言微分中值定理作為微分學(xué)中的重要定理,是微

9、分學(xué)應(yīng)用的理論基礎(chǔ),是微分 學(xué)的核心理論.微分中值定理,包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定 理,它們是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁 ,是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的 整體性質(zhì)的工具,其中拉格朗日中值定理是核心 ,從這些定理的條件和結(jié)論可以 看出羅爾定理是其特殊情況 ,柯西定理和泰勒定理是其推廣 .首先回顧下拉格朗 日中值定理以及它的預(yù)備定理羅爾中值定理.定理1.1 (羅爾中值定理) 1 若函數(shù) f 滿足如下條件:(i ) f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；f (a) = f (b);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)g ,使得f 崔)=0.定理1.2 (拉格朗日中值定理)

10、 2 若函數(shù) f 滿足如下條件:(i ) f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(ii) f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)g，使得f 崔)=.b - a 課本上給出了拉格朗日中值定理的基本證法， 在此基礎(chǔ)上， 下面給出了拉格朗日 中值定理的幾種特殊證明方法.利用分析法構(gòu)造輔助函數(shù)拉格朗日中值定理中的兩個條件與羅爾中值定理中的前兩個條件相同 ， 二者 的區(qū)別僅僅在于區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值是否相等，基于這種關(guān)系，自然想到構(gòu)造一 個輔助函數(shù)，使它滿足羅爾中值定理的條件，從而是否由羅爾中值定理的結(jié)論導(dǎo) 出拉格朗日中值定理的結(jié)論呢 ?事實(shí)上解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造的這個輔助函數(shù) F(x)要在a,b的端

11、點(diǎn)有相同的函數(shù)值，即F(a) = F(b),以下將對如何利用分析 法構(gòu)造輔助函數(shù)進(jìn)行深入的分析.證明方法2.1(推理法)由拉格朗日中值定理結(jié)論f ) = ff,可知其右端是一個常數(shù)，故 b - a可設(shè) f (b) - f (a) = k，則有 f (b) - f (a) = k(b - a)，即 f (b) - kb = f (a) - ka 仔細(xì)觀 b-a察其特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)一個能使F(a) = F(b)的新函數(shù)：F(x) = f (x) - kx,故F(x)就 是證明中所要利用的輔助函數(shù).證明過程如下:令F(x) = f (x) - kx，其中k二f (b) - f (a)，由題設(shè)可知，F(xiàn)(

12、x)在a,b上連續(xù), b-a在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a) = F(b)，即F(x)滿足羅爾中值定理，故在(a,b)內(nèi)至少存 在一點(diǎn) g，使得 F崔)=f(g) - k = 0，即 f(g) = f (b) - f (a)證畢.b-a證明方法2.2(原函數(shù)法) 這種方法是將結(jié)論變形并向羅爾定理的結(jié)論靠攏，湊出適當(dāng)?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù).由拉格朗日中值定理的變形f (b) - f (a)=也)(b - a)得廣憶)(b - a) - f (b) - f (a) = 0，令 g 二 x 得f (x) (b - a) - f (b) - f (a) = 0，兩邊積分可得 f (x)(b - a) -

13、f (b) - f (a)x + c = 0，取 c 二 0 得f (x)(b - a) - f (b) - f (a)x = 0，若令F (x )= f (x)(b - a) - f (b) - f (a )x，容易驗(yàn)證F(a) = F(b) = bf (a) -af (b)，知F(x)滿足羅爾中值定理的條件，所以 F(x)就是所求的輔助函數(shù)，證明過程如下：令 F(x)= f (x)(b - a) - f (b) - f (a)x，x e a,b，因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間a,b內(nèi) 連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a) = F(b)，所以至少存在一點(diǎn)g e (a,b)，使得F崔)=0，又F崔)=

14、f(g)(b -a) -f (b) - f (a)，所以即 f(g) = f (b) f()，證 b 一 a畢.證明方法2.3 (行列式法)a f (a) 1 由于想得到F(a) = F(b)，故可根據(jù)行列式的性質(zhì)，設(shè)F(x)= b f (b) 1 ,x f (x) 1a f (a) 設(shè) F (x )= b f (b)x f (x)所以可以得到輔助函數(shù)并且滿足F(a) = F(b) = 0.證明如下： 11 x G a,b，則由行列式的性質(zhì)可得F(a) = F(b) = 0，所1以F(x)滿足羅爾中值定理，因而至少存在一點(diǎn)g g (a,b)，使得F農(nóng))=0，又af(a)1a - bf(a) -

15、 f(b)0F(x)=bf(b)1=bf(b)1=f (a) - f (b) + f(x )(b - a)，1f(x)01f(x)0所以 F代)=f (a) - f (b) + f(g )(b - a) = 0，即 f(g) = f (? 一 f (a). b-a證明方法2.4 (弦傾角法)目的是為了得到FC)= F(b),設(shè)連接連續(xù)曲線L : (x,f (x) I a x b，兩端點(diǎn)A和B的弦為AB (圖1),其傾傾斜角為9，則兀兀0 ,22tan0sin 0 = f (b) f (a) cos0 b - a也即有f (b)cos0 一 b sin 0 = f (a) cos0 一 a co

16、s0所以令F(x) = f (x)cos0 -xsin0，如此所得到的輔助函數(shù)F(x)就能滿足要求，證明如下:(J aI)一設(shè) F(x) = f (x)cos0 - xsin0 ,其中曲線L : (x,f (x) I a x b,如上圖所示, 且一L0 0，在閉區(qū)間a + 8,b-8上構(gòu)造自映射Ax = x - f，(x) + f (b) - f (a).b-a可以證明A是一個壓縮映射，事實(shí)上，對于x ,x e a + 8,b-8，不妨設(shè)x 0，從而一定存在 21一個數(shù)九e (0,1)，使得0 X ( x 2-xi) 廣(x 2)-廣(xi)，因此|Ax Ax | |x x |(1 -九)，所

17、以A是閉區(qū)間a + 8,b 8上的壓縮映射，由引 理3得，存在唯一的一點(diǎn)g e (a,b)，使得Ag = g，于是 卑二凹=f，(g )，b-a 故定理得證.6拉格朗日中值定理的應(yīng)用 拉格朗日中值定理作為中值定理的核心， 有著廣泛的應(yīng)用， 在很多題型中都 起到了化繁為簡的作用.求極限由拉格朗日中值定理指出，如果f在a,b連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則有f(b) - f(a) = f (g)(b - a) a g b ，(1)因此對Vx e (a, b)，有f(x) - f(a) = f (g)(x- a) a g x ，公式(1)表明,求某些差式的極限,可轉(zhuǎn)化為求積式型的極限,以化簡極限的計算 或

18、解決某些運(yùn)算,用別的方法求不出極限式子.當(dāng)然也要具體情況具體分析，并不 是所有差式型的極限都能適合于運(yùn)用中值定理,應(yīng)以簡便為原則選用.問題6.1.1 求 limn2 ( 0).ns解 令f (t)二xt，則對任何自然數(shù)n , f (t)在，-上滿足拉格朗日中n +1 n值定理的條件，而且f(t)二xt lnx是t上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，因而在丄丄上由拉n +1 n格朗日中值定理，得x g ln x， n(n +1)n2 (n匚-n點(diǎn))二 n2f (丄)-f (厶)=n2f 崔)(丄一厶)二n n +1n n +1 g ，當(dāng) n T +8 時,g T 0, n +1n故原極限二 lim- xg ln

19、x = ln x .nT8 n(n +1)證明不等式證明不等式的方法有很多,但對于某些不等式,用初等解法不一定能解得出 來，例如描述函數(shù)的增量與自變量增量關(guān)系的不等式或者中間一項(xiàng)可以表示成函 數(shù)增量形式等的題型.這時如果考慮用拉格朗日中值定理,會比變較容易簡單.問題6.2.1證明 |sin x - siny Ix 一 y|證明 設(shè)f (x) = sin x,顯然f (x)在x, y上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，所以存在 g e (x, y)，使得 f (x) f (y) = f(g)(x y),即sin x 一 sin y = (x 一 y)cos g ,又因?yàn)?|cosg I 1,因此有 |s

20、inx一 sin y| |x一 y|.證明等式 用拉格朗日中值定理證明等式也是其應(yīng)用中很重要的一項(xiàng).證明的目標(biāo)在于 湊出形式類似于拉格朗日中值定理的式子.問題6.3.1證明當(dāng) |x| a 時，f(x) 0，求證當(dāng) x a 時，f (x) 0.證明 Vx a，由已知得f (x)在a,x 上滿足拉格朗日中值定理，11玉 e a,x ,使 f (x ) f (a) = f(g )(x a),因?yàn)?f(g ) 0, x a 0，所以1 1 1 1f (x ) = f (g )(x a) 0，所以 Vx a，有 f(x ) 0,即 Vx e (a,+s)，有1 1 1 1f(x) 0.估值問題證明估值問

21、題， 一般情況下選用泰勒公式證明比較簡便. 特別是二階及二階 以上的導(dǎo)函數(shù)估值時.但對于某些積分的估值，可以采用拉格朗日中值定理來證 明.問題6.5.1設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且f (a) = f (b) = 0,試證明Jaf(x)|dx 4-max If (x)| -bb a axb證明 若f (x)三0,不等式顯然成立.若f (x)不恒等于0,存在c e (a,b),使 max|f (x)| = f (c),在a,c及c,b上分別用拉格朗中值定理，得axb精品文檔化i)二蘭，化2)二f (c) c - b從而J ：f ”( X)ldX 歲f “ 稠電 f ”(X)昭 f 逆 2)- M

22、=f (c)(b - a)(b - c)(c - a)再由(c-a)(b-c) 0)發(fā)散，s = a + a + + a，證明級n n n 1 2 nn =1數(shù)無厶(5 0)收斂.si+8n=1 n15證明 作輔助函數(shù)f (x)= 一，則f(x)=-，當(dāng)n 2時，在s , s 上用x 5xi+5n-1 n拉格朗日中值定理， 可得f (s ) f (s ) f 心、(八，、s - snn -1n n TOC o 1-5 h z nn-1于是aa111n n=()， s 1+5g 1+55 s 5s 5nnn-1n由丄(丄-丄)收斂，可得所證.5 s 5 s5n =2 n -1 n7. 結(jié)語本文初

23、步探討了拉格朗日中值定理定理的幾種特殊證法，其中給出了分析法 構(gòu)造輔助函數(shù)、幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)、區(qū)間套定理法和巴拿赫不動點(diǎn)定理法. 幾 何法是利用圖形的特征進(jìn)行分析 ， 從而構(gòu)造出需要的輔助函數(shù) ， 與分析法有異曲 同工之妙;區(qū)間套定理法和巴拿赫不動點(diǎn)定理法， 它們不需要構(gòu)造輔助函數(shù)， 也可 以證明， 雖說是一種很好的證法， 但是比較抽象難懂. 最后對拉格朗日中值定理在 求極限、證明不等式、證明等式、證明函數(shù)性態(tài)、估值問題、證明級數(shù)斂散性六 方面的應(yīng)用做了簡單的介紹， 從而使我們加深對拉格朗日中值定理的認(rèn)識.參考文獻(xiàn)華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（上冊）M.第三版北京:高等教育出版社,2001.同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編.高等數(shù)學(xué)（上冊）M.第五版.北京:高等教育出版社,2002.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編.高等代數(shù)M.第三版.北京:高等教 育出版社,2003.9.許在庫用區(qū)間套定理證明Rolle定理Lagrange定理J.安徽大學(xué)學(xué)報,2003.27（2）: 1821張恭慶，林源渠.泛函分析講義:上冊M.北京:北京大學(xué)出版社,2003.5.周建偉.微分幾何M.北京:高等教育出版社,2008.4.程其襄等編.實(shí)變函數(shù)