備戰(zhàn)noip2006不可不看的算法

1、備戰(zhàn) NOIP2006 不可不看的算法一、數(shù)論算法1求兩數(shù)的最大公約數(shù)functionbegin(a,b:eger):eger;if b=0 then:=a(b,a mod b);elseend ;:=2求兩數(shù)的最小公倍數(shù)function lcm(a,b:begineger):eger;if a0 end;3素數(shù)的求法nc(lcm,a);A.小范圍內(nèi)判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)：function prime (n:eger):;var I:begineger;for I:=2 to trunc(sqrt(n) do if n mod I=0 then beginprime:=false; exit;

2、end;prime:=true;end;B.判斷l(xiāng)ong范圍內(nèi)的數(shù)是否為素數(shù)（包含求 50000 以內(nèi)的素數(shù)表）：procedure getprime;vari,j:long;p:array1.50000 of beginfillchar(p,sizeof(p),true);p1:=false; i:=2;while i50000 do begin if p then beginj:=i*2;while j=x then breakelse if x mod pr=0 then exit; prime:=true;end;prime二、圖論算法 1最小生成樹 A.Prim 算法：procedu

3、re prim(v0:vareger);lowcost,closest:array1.maxn ofeger;i,j,k,min:begineger;for i:=1 to n do begin lowcost:=costv0,i; closest:=v0;end;for i:=1 to n-1 do begin尋找離生成樹最近的未加入頂點 k min:=maxlong;for j:=1 to n doif (lowcostjmin) and (lowcostj0) then begin min:=lowcostj;k:=j; end;lowcostk:=0; 將頂點k 加入生成樹生成樹中增加

4、一條新的邊k 到closestk修正各點的lowcost 和closest 值 for j:=1 to n doif costk,jlwocostj then begin lowcostj:=costk,j; closestj:=k;end; end;end;prim B.Kruskal 算法：(貪心)按權值遞增順序刪去圖中的邊，若不形成回路則將此邊加入最小生成樹。function find(v: var i:eger; begini:=1;eger):eger; 返回頂點v 所在的集合while (i=n) and (not v in vset) if i0 do begin i:=find

5、(eq.v1);j:=find(eq.v2); if ij then begin inc(tot,eq.len); vset:=vset+vsetj;vsetj:=; dec(p);end; inc(q);end;wriend;n(tot);2.最短路徑A.標號法求解單源點最短路徑： vara:array1.maxn,1.maxn ofeger;b:array1.maxn ofeger; b 指頂點i 到源點的最短路徑mark:array1.maxn of;procedure var best,best_j:begin;eger;fillchar(mark,sizeof(mark),false

6、); mark1:=true; b1:=0;1 為源點repeatbest:=0;for i:=1 to n doIf mark then 對每一個已計算出最短路徑的點 for j:=1 to n doif (not markj) and (ai,j0) thenif (best=0) or (b+ai,j0 then begin bbest_j:=best；markbest_j:=true;end;until best=0;end;B.Floyed 算法求解所有頂點對之間的最短路徑：procedure floyed; beginfor I:=1 to n dofor j:=1 to n do

7、if aI,j0 then pI,j:=I els路徑上j 的前驅(qū)結點,j:=0; pI,j表示I 到j 的最短for k:=1 to n do 枚舉中間結點 for i:=1 to n dofor j:=1 to n doif ai,k+aj,kai,j then begin ai,j:=ai,k+ak,j;pI,j:=pk,j; end;end;C. Dijkstra 算法：vara:array1.maxn,1.maxn ofeger;b,pre:array1.maxn of結點mark:array1.maxn ofeger; pre 指最短路徑上I 的前驅(qū);procedure dijks

8、tra(v0:begineger);fillchar(mark,sizeof(mark),false); for i:=1 to n do begind:=av0,i;if d0 then pre:=v0 else pre:=0; end;markv0:=true;repeat的參數(shù)每循環(huán)一次加入一個離 1 集合最近的結點并調(diào)整其他結點min:=max; u:=0; u離 1 集合最近的結點for i:=1 to n doif (not mark) and (dmin) then begin u:=i; min:=d;end;if u0 then begin mark:=true;for i:

9、=1 to n doif (not mark) and (au,i+dd) then begin d:=au,i+d;pre:=u; end; end;until u=0; end;3.計算圖的傳遞閉包Procedure Longlink; VarT:array1.maxn,1.maxn of Begin Fillchar(t,sizeof(t),false);For k:=1 to n doFor I:=1 to n do;For j:=1 to n do TI,j:=tI,j or (tI,k and tk,j);End;4無向圖的連通分量 A.深度優(yōu)先procedure dfs ( no

10、w,color: beginfor i:=1 to n doeger);if anow,i and c=0 then begin 對結點I 染色 c:=color;dfs(I,color); end;end;B 寬度優(yōu)先（染色法）5關鍵路徑幾個定義： 頂點 1 為源點，n 為匯點。a. 頂點事件最早發(fā)生時間Vej, Ve j = max Ve j + wI,j ,其中Ve (1) = 0;b.中c.頂點事件最晚發(fā)生時間 Vlj, Vl j = min Vlj wI,j ,其 Vl(n) = Ve(n);邊活動最早開始時間 EeI, 若邊I 由表示，則 EeI = Vej;d. 邊活動最晚開始時

11、間 ElI, 若邊I 由表示，則ElI = Vlk wj,k;若 Eej = Elj ，則活動j 為關鍵活動，由關鍵活動組成的路徑為關鍵路徑。求解方法：從源點起topsort,判斷是否有回路并計算Ve;從匯點起topsort,求Vl;算Ee 和 El;6拓撲排序找入度為 0 的點，刪去與其相連的所有邊，不斷重復這一過程。例 尋找一數(shù)列，其中任意連續(xù)p 項之和為正，任意q 項之和為負，若不存在則輸出NO.7.回路問題 Euler 回路(DFS)定義：經(jīng)過圖的每條邊僅一次的回路。（充要條件：圖連同且無奇點）Hamilton 回路定義：經(jīng)過圖的每個頂點僅一次的回路。一筆畫充要條件：圖連通且奇點個數(shù)為

12、 0 個或 2 個。判斷圖中是否有負權回路 Bellman-ford 算法xI,yI,tI分別表示第I 條邊的起點，終點和權。共 n 個結點和m 條邊。procedure bellman-ford beginfor I:=0 to n-1 do dI:=+infinitive; d0:=0;for I:=1 to n-1 dofor j:=1 to m do 枚舉每一條邊if dxj+tjdyj then dyj:=dxj+tj; for I:=1 to m doif dxj+tjdyj then return false else return true; end;第 n 最短路徑問題*第二

13、最短路徑：每舉最短路徑上的每條邊，每次刪除一條，然后求新圖的最短路徑，取這些路徑中最短的一條即為第二最短路徑。*同理，第n 最短路徑可在求解第n-1 最短路徑的基礎上求解。三、背包問題*部分背包問題可有貪心法求解：計算Pi/Wi數(shù)據(jù)結構：w:第i 個背包的重量；p:第i 個背包的價值；10-1 背包： 每個背包只能使用一次或有限次(可轉化為一次)：A.求最多可放入的重量。 NOIP2001 裝箱問題有一個箱子容量為 v(正整數(shù)，ov20000)，同時有 n 個物品(on30)，每個物品有一積 (正整數(shù))。要求從 n 個物品中，任取若千個裝入箱內(nèi)，使箱子的剩余空間為最小。l 搜索方法proced

14、ure search(k,v:veger); 搜索第k 個物品，剩余空間為var i,j:begineger;if v=best then exit; sn為前n 個物品的重量和if kwk then search(k+1,v-wk); search(k+1,v);end; end;l DPFI,j為前i 個物品中選擇若干個放入使其體積正好為j 的標志，為型。實現(xiàn):將最優(yōu)化問題轉化為判定性問題f I, j = f i-1, j-w (wI=j0 thenif j+now=n then inc(cj+now,aj); a:=c;end; 2可重復背包A 求最多可放入的重量。FI,j為前i 個物品

15、中選擇若干個放入使其體積正好為j 的標志，為型。狀態(tài)轉移方程為fI,j = f I-1, j wI*k (k=1. j div wI) B.求可以放入的最大價值。USACO 1.2 Score Inflation進行一次競賽，總時間T 固定，有若干種可選擇的題目，每種題目可選入的數(shù)量不限，每種題目有一個 ti（解答此題所需的時間）和一個 si（解答此題所得的分數(shù)），現(xiàn)要選擇若干題目，使解這些題的總時間在 T 以內(nèi)的前提下，所得的總分最大，求最大的得分。*易想到：fi,j = max f i- k*wj, j-1 + k*pj (0=k=0 Then Begint:=problemj.po+fi

16、-problemj.time;If tf Then f:=t; End;Wrin(fM); End.C.求恰好裝滿的情況數(shù)。 Ahoi2001 Problem2求自然數(shù)n 本質(zhì)不同的質(zhì)數(shù)和的表達式的數(shù)目。思路一，生成每個質(zhì)數(shù)的系數(shù)的排列，在一一測試，這是通法。procedure try(dnteger);var i,j:begineger;cal; 此過程計算當前系數(shù)的計算結果，now 為結果 if nown then exit; 剪枝if dep=l+1 then begin 生成所有系數(shù) cal;if now=n then inc(tot); exit;end;for i:=0 to n

17、div prdep do begin xsdep:=i;try(dep+1); xsdep:=0; end;end;思路二，遞歸搜索效率較高procedure try(dep,rest:eger);var i,j,x:begineger;if (rest0 thenfor k:=1 to n div now doif j+now*k=n then inc(cj+now*k,aj); a:=c;end;main beginread(now); 讀入第一個物品的重量i:=0;a 為背包容量為i 時的放法總數(shù)while i=n do begina:=1; inc(i,now); end; 定義第一個

18、物品重的整數(shù)倍的重量a 值為1，作為初值 for i:=2 to v do beginread(now); update; 動態(tài)更新end;wrin(an);四、排序算法1.快速排序：procedure qsort(l,r:eger);var i,j,mid:eger;begini:=l;j:=r; mid:=a(l+r) div 2; 將當前序列在中間位置的數(shù)定義為中間數(shù)repeatwhile amid do dec(j);在右半部分尋找比中間數(shù)小的數(shù)if ij;if lj then qsort(l,j); 若未到兩個數(shù)的邊界，則遞歸搜索左右區(qū)間 if ir then qsort(i,r);

19、end;sortB.排序：思路：當前a1.ai-1已排好序了，現(xiàn)要procedure insert_sort;a 使a1.a 有序。var i,j:begineger;for i:=2 to n do begin a0:=a;j:=i-1;while a0aj then swap(a,aj); end;D. 冒泡排序procedure bubble_sort;var i,j,k:begineger;for i:=1 to n-1 dofor j:=n downto i+1 doif ajaj-1 then swap( aj,aj-1); 每次比較相鄰元素的關系end;E.堆排序：procedu

20、re sift(i,m:總數(shù)eger);調(diào)整以i 為根的成為堆,m 為結點var k:begineger;a0:=a; k:=2*i;在完全二叉樹中結點i 的左孩子為 2*i,右孩子為 2*i+1while k=m do beginif (km) and (akak+1) then inc(k);找出ak與ak+1中較大值if a0ak then begin a:=ak;i:=k;k:=2*i; end else k:=m+1;end;a:=a0; 將根放在合適的位置 end;procedure heapsort;varj:begineger;for j:=n div 2 downto 1 d

21、o sift(j,n);for j:=n downto 2 do begin swap(a1,aj);sift(1,j-1); end;end;F. 歸并排序a 為序列表，tmp 為輔助數(shù)組 procedure merge(var a:listtype; p,q,r:eger);將已排序好的子序列ap.q與aq+1.r合并為有序的tmpp.rvar I,j,t:eger;tmp:listtype; begint:=p;i:=p;j:=q+1;t 為tmp 指針，I,j 分別為左右子序列的指針 while (t=r) do beginif (ir) or (a=aj) 滿足取左邊序列當前元素的要

22、求then begin tmpt:=a; inc(i);endelse begin tmpt:=aj;inc(j);end; inc(t);end;for i:=p to r do a:=tmp; end;mergeprocedure merge_sort(var a:listtype; p,r:ap.reger); 合并排序var q:begineger;if pr then begin q:=(p+r-1) div 2; merge_sort (a,p,q);merge_sort (a,q+1,r);merge (a,p,q,r); end;end;main beginmerge_sort

23、(a,1,n); end.G.基數(shù)排序：對每個元素按從低位到五、高精度計算對每一位進行一次排序高精度數(shù)的定義：typehp=array1.maxlen of 1高精度加法eger;procedure plus ( a,b:hp; var c:hp);var i,len:begineger;fillchar(c,sizeof(c),0);if a0b0 then len:=a0 else len:=b0; for i:=1 to len do begininc(c,a+b);if c10 then begin dec(c,10); inc(ci+1); end; 進位 end;if clen+1

24、0 then inc(len); c0:=len;end;plus 2高精度減法procedure substract(a,b:hp;var c:hp);var i,len:begineger;fillchar(c,sizeof(c),0);if a0b0 then len:=a0 else len:=b0; for i:=1 to len do begininc(c,a-b);if c1) and (clen=0) do dec(len);c0:=len; end;3高精度乘以低精度procedure multiply(a:hp;b:long;var c:hp);var i,len:begi

25、neger;fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a0;for i:=1 to len do begin inc(c,a*b); inc(ci+1,(a*b) div 10);c:=c mod 10; end;inc(len);while (clen=10) do begin 處理最 clen+1:=clen div 10;clen:=clen mod 10; inc(len);end;的進位while (len1) and (clen=0) do dec(len); 若不需進位則調(diào)整 lenc0:=len; end;multiply 4高精度乘以高精度procedure

26、 high_multiply(a,b:hp; var c:hpvar i,j,len:begineger;fillchar(c,sizeof(c),0); for i:=1 to a0 dofor j:=1 to b0 do begin inc(ci+j-1,a*bj);inc(ci+j,ci+j-1 div 10);ci+j-1:=ci+j-1 mod 10; end;len:=a0+b0+1;while (len1) and (clen=0) do dec(len); c0:=len;end;5高精度除以低精度procedure devide(a:hp;b:longc:=a div b;

27、d:= a mod b; var c:hp; var d:long);var i,len:begineger;fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a0; d:=0;for i:=len downto 1 do begin d:=d*10+a;c:=d div b; d:=d mod b;end;while (len1) and (clen=0) then dec(len); c0:=len;end; 6高精度除以高精度procedure high_devide(a,b:hp; var c,d:hp);vari,len:begineger;fillchar(c,sizeo

28、f(c),0); fillchar(d,sizeof(d),0); len:=a0;d0:=1;for i:=len downto 1 do begin multiply(d,10,d);d1:=a;while(compare(d,b)=0) do 即d=b beginSubtract(d,b,d); inc(c);end; end;while(len1)an c.len:=len;end;len=0) do dec(len);六、 樹的遍歷1已知前序中序求后序procedure Solve(pre,mid:string);var i:begineger;if (pre=) or (mid=)

29、 then exit;i:=(pre1,mid);solve(copy(pre,2,i),copy(mid,1,i-1); solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)-i);t:=t+pre1; 加上根，遞歸結束后t 即為后序遍歷end; 2已知中序后序求前序procedure Solve(mid,t:string);var i:begineger;if (mid=) or (t=) then exit;i:=(tlength(tlength(t),mid);t); 加上根，遞歸結束后pre 即為前pre:=pre+序遍

30、歷solve(copy(mid,1,I-1),copy(t,1,I-1);solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy()-i);end;t,I,length(t3已知前序后序求中序的一種function ok(s1,s2:string):;var i,l:begineger;p:;ok:=true; l:=length(s1);for i:=1 to l do begin p:=false;for j:=1 to l doif s1=s2j then p:=true;if not p then begin ok:=false;exit;end; end;end

31、;procedure solve(pre,t:string);var i:begineger;if (pre=) or ( i:=0;repeatinc(i);t=) then exit;until ok(copy(pre,2,i),copy(t,1,i);solve(copy(pre,2,i),copy(midstr:=midstr+pre1;t,1,i);solve(copy(pre,i+2,length(pre)-i-1),copy( ost)-i-1);end;t,i+1,length(p七 進制轉換任意正整數(shù)進制間的互化除n 取余實數(shù)任意正整數(shù)進制間的互化乘n 取整負數(shù)進制：設計一個

32、程序，讀入一個十進制數(shù)的基數(shù)和一個負進制數(shù)的基數(shù)，并將此十進制數(shù)轉換為此負 進制下的數(shù)：-R-2，-3，-4,.-20八 全排列與組合的生成1 排列的生成：（1.n）procedure solve(d varnteger);i:eger;beginif dep=n+1 then begin wri for i:=1 to n doif not used then beginn(s);exit; end;s:=s+chr(i+ord(0);used:=true; solve(dep+1);s:=copy(s,1,length(s)-1); used:=false; end;end;2 組合的生成

33、(1.n 中選取k 個數(shù)的所有方案)procedure solve(dep,pre:vareger);i:eger;beginif dep=k+1 then begin wri for i:=1 to n don(s);exit; end;if (not used) and (ipre) then begin s:=s+chr(i+ord(0);used:=true; solve(dep+1,i);s:=copy(s,1,length(s)-1); used:=false; end;end;九.查找算法1 折半查找function binsearch(k:keytype): var low,h

34、ig,mid:eger;beginlow:=1;hig:=n; mid:=(low+hig) div 2;eger;while (amid.keyk) and (lowk then hig:=mid-1 else low:=mid+1; mid:=(low+hig) div 2;end;if lowhig then mid:=0; binsearch:=mid;end;2 樹形查找二叉排序樹：每個結點的值都大于其樹任一結點的值。樹任一結點的值而小于其右子查找function treesrh(k:keytype):poer;var q:po beginq:=root;er;while (qnil

35、) and (q.keyk) do if kq.key then q:=q.leftelse q:=q.right; treesrh:=q;end;十、貪心*會議問題（1） n 個活動每個活動有一個開始時間和一個結束時間，任一時刻僅一項活動進行，求滿足活動數(shù)最多的情況。解：按每項活動的結束時間進行排序，排（2）會議室空閑時間最少。面的優(yōu)先滿足。（3）每個客戶有一個愿付的，求最大利潤。（4）共 R 間會議室，第i 個客戶需使用i 間會議室，費用相同，求最大利潤。十一、回溯法框架1. n 皇后問題procedure try(i:byte); var j:byte;beginif i=n+1 the

36、n begin pr for j:=1 to n do;exit;end;if a and bj+i and cj-i then begin x:=j;aj:=false; bj+i:=false; cj-i:=false; try(i+1);aj:=true; bi+j:=true; cj-i:=true; end;end;2.Hanoi Towerh(n)=2*h(n-1)+1h(1)=1初始所有銅片都在a 柱上procedure hanoi(n,a,b,c:byte); 將第n 塊銅片從a 柱通過b 柱移到c 柱上beginif n=0 then exit;hanoi(n-1,a,c,b

37、); 將上面的n-1 塊從a 柱通過c 柱移到b 柱上write(n,moved from,a,to,c);hanoi(n-1,b,a,c); 將b 上的n-1 塊從b 柱通過a 柱移到c 柱上end;初始銅片分布在 3 個柱上，給定目標柱goalh1.3,0.n存放三個柱的狀態(tài)，now 與nowp 存最大的的柱號和,hI,0存第I 個柱上的個數(shù)。的銅片Procedure move(k,goal:eger); 將最大 goal 上BeginIf k=0 then exit; For I:=1 to 3 doFor j:=1 to hanI,0 do的k 移到目標柱If hI,j=k then

38、begin now:=I;nowp:=j; end; 找到k 的位置 If nowgoal then begin 若未移到目標Move(k-1,6-now-goal); 剩下的先移到?jīng)]用的柱上Wrin(k moved from now to goal);Hgoal,hgoal,0+1:=hnow,nowp; hnow,nowp:=0;Inc(hgoal,0); dec(hnow,0); Move(k-1,goal); 剩下的移到目標上End;十二、DFS 框架NOIP2001 數(shù)的劃分procedure work(dep,pre,s:long); 為work(1,1,n)dep 為當前試放的第

39、dep 個數(shù),pre 為前一次試放的數(shù),s 為當前剩余可分的總數(shù)var j:longbegin;if dep=n then beginif s=pre then inc(r); exit; end;for j:=pre to s div 2 do work(dep+1,j,s-j); end;類似：procedure try(dnteger);var i:begineger;if dep=k then beginif tot=adep-1 then inc(sum); exit; end;for i:=adep-1 to tot div 2 do begin adep:=i; dec(tot,

40、i);try(dep+1); inc(tot,i); end;end;try十三、BFS 框架 IOI94 房間問題 head:=1; tail:=0;while tail=1) and (I=L.len) thenwhile jI do begin p:=p.next; inc(j); end; loc:=p;end;2單鏈表的操作procedure insert(L:linklist; I:eger; x:da var p,q:poer;begin p:=loc(L,I); new(q); q.data:=x;q.next:=p.next; p.next:=q; inc(L.len);end;3單鏈表的刪除操作ype);procedure dele:linklist; I:eger);var p,q:pobeginer;p:=loc(L,I-1);q:=p.next; p.next:=q.next;dise(q);dec(L.len); end; 4雙鏈表的 p:=loc(L,I); new(q); q.data:=x;q.pre:=p;新結點q）操作（q.next:=p.next; p.next:=q; q.next.pre:=q; 5雙鏈表的刪除操作 p:=loc(L,I); p