2021高考數(shù)學(xué)解題技巧講義

1、第 頁2021高考數(shù)學(xué)解題技巧講義TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc6879 第1講 函數(shù)相關(guān)技巧 PAGEREF _Toc6879 2 HYPERLINK l _Toc10291 技巧1 分式函數(shù)求值域4 HYPERLINK l _Toc29646 技巧2 口算奇偶性求參數(shù)5 HYPERLINK l _Toc298 技巧3 形如f(x)=奇函數(shù)+常數(shù)7 HYPERLINK l _Toc26555 第2講 平面向量17 HYPERLINK l _Toc10887 技巧1 奔馳定理 PAGEREF _Toc10887 22 HYPERLINK l _Toc22360 技

2、巧2 三角形的四心 PAGEREF _Toc22360 25 HYPERLINK l _Toc10039 技巧3 極化恒等式 PAGEREF _Toc10039 27 HYPERLINK l _Toc10039 技巧4 等和線定理 37 HYPERLINK l _Toc21205 第3講 解三角形46 HYPERLINK l _Toc25532 技巧一 三角形的射影定理 PAGEREF _Toc25532 49 HYPERLINK l _Toc1398 技巧2 三角形的中線定理50 HYPERLINK l _Toc13288 技巧3 角平分線的定理52 HYPERLINK l _Toc3145

3、4 第4講 數(shù) 列62 HYPERLINK l _Toc18316 技巧1 等比數(shù)列前n項(xiàng)和規(guī)律65 HYPERLINK l _Toc29576 技巧2 單一條件口算結(jié)果66 HYPERLINK l _Toc5488 技巧3 公式法口算通項(xiàng) PAGEREF _Toc5488 68 HYPERLINK l _Toc27216 技巧4 錯(cuò)位相減法口算結(jié)果70 HYPERLINK l _Toc30553 技巧5 斐波那契數(shù)列72 HYPERLINK l _Toc15095 第5講 焦點(diǎn)三角形82 HYPERLINK l _Toc18146 技巧1 焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)85 HYPERLINK l _To

4、c6657 技巧2 焦點(diǎn)三角形的面積 PAGEREF _Toc6657 85 HYPERLINK l _Toc2672 技巧3 焦點(diǎn)三角形的離心率 PAGEREF _Toc2672 88 HYPERLINK l _Toc20586 第6講 離心率 PAGEREF _Toc20586 101 HYPERLINK l _Toc31382 技巧1 焦點(diǎn)三角形中的離心率 PAGEREF _Toc31382 103 HYPERLINK l _Toc505 技巧2 點(diǎn)差法中的離心率 PAGEREF _Toc505 105 HYPERLINK l _Toc11152 技巧3 漸近線與離心率 PAGEREF

5、_Toc11152 108 HYPERLINK l _Toc15165 技巧4 焦點(diǎn)弦與離心率 PAGEREF _Toc15165 110 HYPERLINK l _Toc17358 第7講 點(diǎn)差法 PAGEREF _Toc17358 123 HYPERLINK l _Toc11392 技巧1 點(diǎn)差法在橢圓在的應(yīng)用 PAGEREF _Toc11392 125 HYPERLINK l _Toc12198 技巧2 點(diǎn)差法在雙曲線在的應(yīng)用 PAGEREF _Toc12198 130 HYPERLINK l _Toc24879 技巧3 點(diǎn)差法在拋物線在的應(yīng)用 PAGEREF _Toc24879 135

6、 HYPERLINK l _Toc921 第8講 外接球與內(nèi)切球 PAGEREF _Toc921 154 HYPERLINK l _Toc32636 技巧1 外接球之墻角模型 PAGEREF _Toc32636 160 HYPERLINK l _Toc2523 技巧2 外接球之漢堡模型 PAGEREF _Toc2523 162 HYPERLINK l _Toc14938 技巧3 外接球之斗笠模型 PAGEREF _Toc14938 165 HYPERLINK l _Toc7416 技巧4 外接球之折疊模型 PAGEREF _Toc7416 167 HYPERLINK l _Toc12282 技

7、巧5 外接球之切瓜模型 PAGEREF _Toc12282 170 HYPERLINK l _Toc16592 技巧6 外接球之麻花模型 PAGEREF _Toc16592 172 HYPERLINK l _Toc361 技巧7 外接球之矩形模型 PAGEREF _Toc361 173 HYPERLINK l _Toc13376 技巧8 內(nèi)切球半徑 PAGEREF _Toc13376 175第1講 函數(shù)相關(guān)技巧技巧導(dǎo)圖技巧詳講分式函數(shù)求值域分子分母為同類型函數(shù)（一）注意事項(xiàng)求值域前先求定義域，如果給出區(qū)間則不用求定義域幾個(gè)極限值（二）模式二.奇偶性常見函數(shù)的奇偶性（前提定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）常考

8、的奇函數(shù)：(式子中的均是使函數(shù)解析式有意義的范圍.) ?？嫉呐己瘮?shù)： 有對(duì)稱軸函數(shù)解不等式或比較大小比較的是兩個(gè)自變量與對(duì)稱軸距離的遠(yuǎn)近當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a，則f(x1)f(x2)當(dāng)函數(shù)的先增后減時(shí)，當(dāng)函數(shù)的先減后增時(shí)，奇偶性的運(yùn)算同性相加減的同性，異性相加減為非奇非偶同性乘除為偶函數(shù)，異性乘除為奇函數(shù)函數(shù)模型為f(x)=g(x)+k，其中g(shù)(x)為奇函數(shù)，所給區(qū)間要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(x)+f(-x)=2k推導(dǎo)：f(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+k=g(x)-g(-x)+2k=2kf(x)max+f(x)min=2k推導(dǎo) :f(x)max+f(x)min=g(x)max+k+g(

9、x)min+k=2k(奇函數(shù)的最大值與最小值成相反數(shù)）如何找kf(0)=k推導(dǎo):f(0)=g(0)+k=k技巧舉證技巧1 分式函數(shù)求值域【例1】（1）（2020山西省太原市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知函數(shù)的取值范圍 。 （2）（2020湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)）函數(shù)的值域?yàn)??！敬鸢浮浚?）【，】（2）【解析】，則其值域【，】（2）常規(guī)法：分離常數(shù)由已知:,.技巧法：t=x2,t0，則函數(shù)y=f(x)=t-1t+1,f(0)=-1,f()=1(取不到，開區(qū)間），【舉一反三】1（2019上海市普陀區(qū)曹楊第二中學(xué)函數(shù)），的值域是_；【答案】；【解析】技巧法：f(0)=32,f(2)=74故答案為：常規(guī)法：,因?yàn)?故

10、,故.故答案為：2（2020廣東省東莞市北師大東莞石竹附屬學(xué)校）函數(shù)的值域是 ?！敬鸢浮?，【解析】技巧法：t=x2,t0，則函數(shù)y=f(x)=-t+2t+2,f(0)=1,f()=-1(取不到，開區(qū)間），即函數(shù)的值域是，常規(guī)法：，則，即函數(shù)的值域是，3.（2020陜西省西安市高新一中）函數(shù)的值域?yàn)開.【答案】【解析】技巧法：的定義域?yàn)椋瑒tyf(-1)=4故答案為：常規(guī)法：由題.因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?故的值域?yàn)?故的值域?yàn)?故的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋杭记? 口算奇偶性求參數(shù)【例2】（1）（2020福建漳州高三其他（文）若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）AB0C1D（2）（2020河南高三月考（理）已知是奇函數(shù)，且實(shí)

11、數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】（1）C（2）D【解析】（1）技巧法：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，正弦為奇函數(shù)，所以對(duì)數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)常見函數(shù)可知常規(guī)法：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以，故選：C.（2）因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，可得，此時(shí)，易知在上為減函數(shù).又因?yàn)?，所以，所?故選：D.【舉一反三】1（2020沙坪壩重慶南開中學(xué)高三月考（理）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）A B C D【答案】D【解析】技巧法：根據(jù)常見奇偶性函數(shù)可知f(x)為偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)已知二次函數(shù)可知x0函數(shù)為單調(diào)遞增，則x9,說明焦點(diǎn)在x軸上，同時(shí)a=4,b=3,而過點(diǎn)F

12、2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則點(diǎn)A到F2，F(xiàn)1的距離和為2a=8,點(diǎn)B到F2，F(xiàn)1的距離和為2a=8，結(jié)合橢圓的定義可知AF1B的周長(zhǎng)為4a=16.在結(jié)合三角形的周長(zhǎng)公式可知，其中兩邊之和為10，則另一邊的長(zhǎng)度為16-10=6故選A.2（2020廣西欽州一中）設(shè)橢圓C：(a0，b0)的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為.P是C上一點(diǎn)，且.若的面積為4，則a=（ ）A1B2C4D8【答案】C【解析】（技巧法）（常規(guī)法），由橢圓定義，由得，的面積為4，則，即，即,解得，即，故選：C.3（2020河南高三其他（文）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓上的點(diǎn)滿足：，且，則（ ）A1BCD2【答案】C【解析】設(shè)，則，又（

13、1），（2），式平方減去（2）式得：，得：.故選：C.4（2020黑龍江綏化高三其他（理）已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n，p，q，有如下結(jié)論成立：若，則有成立，現(xiàn)已知橢圓上存在一點(diǎn)P，為其焦點(diǎn)，在中，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意得：，所以，所以，解得.故選：C5（2020山西臨汾）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，若上的點(diǎn)到的距離為，則的面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】依題意知，所以，因?yàn)?，且，所以，在中，因?yàn)椋?，所以的面積為.故選：C.6（2020陸川中學(xué)）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】（

14、常規(guī)法）由題設(shè)可知點(diǎn)在以為直徑端點(diǎn)的圓上，由此可得該圓的半徑，即，也即，故應(yīng)選答案A 7（2020全國高三一模（文）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，若橢圓上存在點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的最小值為（ ）ABCD【答案】C【解析】當(dāng)是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，則橢圓的離心率的最小值為.故選：C.8（2019江西南昌十中）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1和雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，e1，e2分別是C1和C2的離心率，點(diǎn)P為C1和C2的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若，則e1的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為，不妨設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，做出示意圖如下圖所示，由橢圓與雙曲線的定義得，

15、所以得，又因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，所以得 所以得即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，故選：D.9（2020伊美區(qū)第二中學(xué)）設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),是雙曲線上的一點(diǎn),且,則的面積等于（ ）ABC24D48【答案】C【解析】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,所以,所以.所以.故選：C10（2020四川青羊樹德中學(xué)高二月考（文）設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】B【解析】由雙曲線的定義得，又，即，因此，即，則，解得，（舍去），因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.11（2020吉林松原高三其他（文）已知點(diǎn)是雙曲

16、線上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，若的外接圓半徑為4，且為銳角，則（ ）A15B16C18D20【答案】B【解析】（技巧法）依題意，.在三角形中， ，由正弦定理得，即，由于為銳角，所以.（常規(guī)法）依題意，.在三角形中， ，由正弦定理得，即，由于為銳角，所以.根據(jù)雙曲線的定義得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以.故選：B12（2020陜西省丹鳳中學(xué)高三一模（理）設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn).若點(diǎn)在雙曲線上，且，則等于（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)題意，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，.故選：D13（2020陜西高三其他（文）已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲

17、線的右支上，若，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范圍?（常規(guī)法）設(shè)，則由余弦定理得.又，則，解得，所以.因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范圍?故選：B.14（2020河北張家口高三期末（理）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè) ， ， ，解得 ， 故選D.15（2020全國高三一模（理）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，M F1與軸垂直，sin ,則E的離心率為（ ）ABCD2【答案】A【解析】由已知可得，故選A.16（2019平羅中學(xué)高三二模（理）已知，是雙曲線E：的左、右焦

18、點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，與x軸垂直，則雙曲線E的離心率為ABC2D3【答案】A【解析】（常規(guī)法）與x軸垂直，設(shè)，則，由雙曲線的定義得，即，得，在直角三角形中，即，即，即，則，則，故選A17（2020陜西西安高三其他（理）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是、，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積是_.【答案】4【解析】由橢圓的定義可知，又，聯(lián)立兩式 ，可得又，所以，所以是以為直角邊的直角三角形，所以的面積為.故答案為：.18（2020全國高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_.【答案】【解析】橢圓，可得，設(shè)，可得，化簡(jiǎn)可得：，故答案為19已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為_【答案】【

19、解析】（常規(guī)法）由題意，設(shè)，則，由余弦定理可得，又，的面積，故答案為：第6講 離心率 技巧導(dǎo)圖技巧詳講焦點(diǎn)三角形中的離心率1.橢圓（1）橢圓：設(shè)橢圓焦點(diǎn)三角形兩底角分別為、，則(正弦定理)。 2.雙曲線：利用焦點(diǎn)三角形兩底角來表示:。雙曲線的漸進(jìn)線與離心率關(guān)系直線與雙曲線相交時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)的位置兩個(gè)交點(diǎn)在雙曲線的兩支：兩個(gè)交點(diǎn)在雙曲線的同一支:兩個(gè)交點(diǎn)在雙曲線的左支: 兩個(gè)交點(diǎn)在雙曲線的右支:焦點(diǎn)弦與離心率關(guān)系，則有(為直線與焦點(diǎn)所在軸的夾角)。例題舉證技巧1 焦點(diǎn)三角形中的離心率【例1】(1)已知，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，則雙曲線的離心率為（ ）A2B2CD（2）（2020安

20、徽省高三三模）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）ABCD【答案】（1）C（2）A【解析】（1）不妨設(shè)代入雙曲線方程得 ，.故答案選：C（2），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），由橢圓定義知：，又，又，離心率的取值范圍為.故選：.【舉一反三】1（2020沙坪壩區(qū)重慶一中高三月考）已知點(diǎn)P在以為左，右焦點(diǎn)的橢圓上，在中，若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】中，所以故選：B2（2020全國高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率（ ）ABCD【答案】A【解析】點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，可得，由勾股定理可得，即，因此，該橢圓的離心率為.

21、故選：A.3（2019遼寧沈陽市沈陽二中高三月考（理）橢圓的離心率為，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）ABCD0【答案】A【解析】橢圓的離心率為，即.，故，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)余弦定理：.故選：.技巧2 點(diǎn)差法中的離心率【例2】（1）（2020四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校）過點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率是（ ）ABCD（2）（2020安徽省潛山第二中學(xué)）已知A，B是橢圓E：的左、右頂點(diǎn)，M是E上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若直線AM，BM的斜率之積為，則E的離心率為ABCD【答案】（1）B（2）D【解析】（1）設(shè)，由直線的斜率為可得，由線段的中點(diǎn)為可

22、得，由點(diǎn)在橢圓上可得，作差得，所以，即，所以，所以該橢圓的離心率.故選：B.（2）由題意方程可知，設(shè),則 ,，整理得：，又，得，即，聯(lián)立，得，即，解得故選D【舉一反三】1已知雙曲線：，斜率為2的直線與雙曲線相交于點(diǎn)、，且弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為（ ）A2BCD3【答案】B【解析】設(shè)、，則，所以，所以，又弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，又，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：B.2（2020全國高三專題）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）.A B C D【答案】B【解析】，點(diǎn)在以為直徑的圓上，又點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，即，即，又，故選：B.3（2020全國高三專題練習(xí)

23、）若，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)，且，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】C【解析】依題意可知，由橢圓定義可知，.故選：C.技巧3 漸近線與離心率【例3】已知圓的一條切線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】由題意，圓心到直線的距離，解得，圓的一條切線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，所以.故選：D. 【舉一反三】1若雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則離心率的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】若雙曲線與直線無公共點(diǎn)，等價(jià)為雙曲線的漸近線的斜率，即，即，即，即，則，則，離心率滿足，即雙曲線離心率的取值范圍是，故選：A2已知雙曲線 (a0，b

24、0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）AB(1,2),CD【答案】A【解析】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率，離心率，故選3（2020河南新鄉(xiāng)市高三）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過原點(diǎn)作斜率為的直線交的右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】題可知，所以，可得.在中，由余弦定理可得，即，解得.雙曲線的離心率為.故選：D.技巧4 焦點(diǎn)弦與離心率【例4】（2020石嘴山市第三中學(xué)高三三模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)

25、分別為，過作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率=（）ABCD【答案】D【解析】橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過且斜率為的直線為聯(lián)立直線與橢圓方程消后，化簡(jiǎn)可得 因?yàn)橹本€交橢圓于A，B，設(shè) 由韋達(dá)定理可得且，可得，代入韋達(dá)定理表達(dá)式可得即化簡(jiǎn)可得所以故選：D【舉一反三】1（2020河南省高三月考）傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】B【解析】設(shè)到右準(zhǔn)線距離為，則，因?yàn)?，則，所以 到右準(zhǔn)線距離為，從而 傾斜角為，選B. 2（2020全國高三專題練習(xí)）已知、是雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交另一條漸近線于

26、點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（ ）A或B或C或D或【答案】B【解析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，由題意可知，則，代入得，即，解得，則， （2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，由題意可知，則，則，則，代入得，即，解得，則，故選：B.3（2019浙江高三其他模擬）已知過雙曲線的右焦點(diǎn)F，且與雙曲線的漸近線平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)A，交雙曲線的另一條漸近線于點(diǎn)B（A，B在同一象限內(nèi)），滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD2【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，如圖，不妨設(shè)在第一象限，直線的方程為，與聯(lián)立，得；直線與聯(lián)立，得由，得，即，得，即，則，故選：B技巧強(qiáng)化1已知傾斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B

27、兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】因?yàn)閮A斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點(diǎn)，所以直線的斜率，設(shè)，則由得則因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率為1即所以，則，故選：D2設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn).過點(diǎn)F作斜率為-3的直線l與雙曲線左、右支均相交.則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線方程為，當(dāng)過點(diǎn)F且斜率為-3的直線l與漸近線平行時(shí).直線l只與雙曲線右支有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)漸近線的斜率滿足，即時(shí)，直線l與雙曲線左、右支均相交，所以.故選:C.3（2019黑龍江佳木斯市佳木斯一中高三月考）已知，分別是橢圓的左、右焦

28、點(diǎn)，P是此橢圓上一點(diǎn)，若為直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有（ ）.A2個(gè)B4個(gè)C6個(gè)D8個(gè)【答案】C【解析】由題意，則，當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，即，短軸頂點(diǎn)有2 個(gè)，過或作軸垂直與橢圓相交的點(diǎn)在4個(gè)，都是直角三角形，因此共有6個(gè)故選：C.4（2020廣東廣州市）已知,分別是橢圓的左, 右焦點(diǎn), 橢圓上存在點(diǎn) 使為鈍角, 則橢圓的離心率的取值范圍是ABCD【答案】A【解析】設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為 ，則橢圓上存在點(diǎn)，使為鈍角, 故答案為A5（2020河北石家莊市）已知橢圓 ，點(diǎn)M,N為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)H，使 ,則離心率e的取值范圍為ABCD【答案】A【解析】由題意 設(shè) ，則 可得： 故選A6（20

29、20全國高三專題練習(xí)）橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線xy0的對(duì)稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（ ）ABCD1【答案】D【解析】設(shè)F（c,0）關(guān)于直線xy0的對(duì)稱點(diǎn)為A（m，n），則，解得m，n，代入橢圓方程可得化簡(jiǎn)可得 e48e240，又0e1，解得e1.故選：D.7（2020全國高三專題練習(xí)）已知橢圓（ab0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2P是橢圓上一點(diǎn)PF1F2為以F2P為底邊的等腰三角形，當(dāng)60PF1F20,b0),則-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2(-12),a2=-4a2+4b2,5a

30、2=4b2.又a2+b2=9,a2=4,b2=5.雙曲線E的方程為-=1.故選B.【舉一反三】1（2019陜西寶雞市高考模擬）雙曲線的一條弦被點(diǎn)平分，那么這條弦所在的直線方程是（ ）ABCD【答案】C【解析】設(shè)弦的兩端點(diǎn)，斜率為，則，兩式相減得，即，弦所在的直線方程，即故選C2（2019廣東佛山市佛山一中高三期中）已知雙曲線C：(a0，b0)，斜率為1的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為(4，1)，則雙曲線C的漸近線方程是A2xy0Bx2y0Cxy0Dxy0【答案】B【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去y，得，設(shè)，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，解得，所以，所以，所以雙曲線C的漸近線方程為，即

31、，故選B.3（2020吉林長(zhǎng)春市高三月考）雙曲線被斜率為的直線截得的弦的中點(diǎn)為則雙曲線的離心率為（ ）ABC2D【答案】B【解析】設(shè)代入雙曲線方程作差有:，有，所以，故選：B4（2020全國高三專題練習(xí)）過點(diǎn)P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：y21相交于A，B兩點(diǎn)，若P為線段AB的中點(diǎn)，則|AB|（ ）A2B2C3D4【答案】D【解析】解法一：由題意可知，直線AB的斜率存在設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為yk(x4)2.由消去y并整理，得(12k2)x28k(2k1)x32k232k100.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)因?yàn)镻(4，2)為線段AB的中點(diǎn)，所以x1x28，解得k1

32、.所以x1x210.所以|AB|4.故選:D.解法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ，.得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因?yàn)镻(4，2)為線段AB的中點(diǎn)，所以x1x28，y1y24.所以4(x1x2)4(y1y2)0，即x1x2y1y2，所以直線AB的斜率k1.則直線AB的方程為yx2.由消去y并整理，得x28x100，所以x1x28，x1x210.所以|AB|4.故選：D5（2020全國高三專題練習(xí)）已知斜率為的直線與雙曲線：(，)相交于、兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為.則的離心率為（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)，兩式做差得整理得，而，代入有，即可得故選：A.技巧3

33、點(diǎn)差法在拋物線在的應(yīng)用【例3】（1）（2020云南昆明市昆明一中高三月考）已知拋物線，以為中點(diǎn)作的弦，則這條弦所在直線的方程為（ ）ABCD（2）（2020貴州高三其他模擬）已知拋物線，傾斜角為的直線交于兩點(diǎn).若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的值為（ ）AB1C2D4【答案】（1）A（2）C【解析】（1）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn).若直線垂直于軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，由于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，由于點(diǎn)、在拋物線上，可得，兩式作差得，所以，直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故選：A.（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，所以.故選：C.【舉

34、一反三】1（2020全國高三專題練習(xí)）直線過點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，若恰為線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，解得： 故選：A2（2020河北衡水市衡水中學(xué)高三）已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（ ）ABCD【答案】B【解析】設(shè)、，則，兩式相減得，所以，解得，得，所以，得直線，聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理得，所以，故選：B.技巧強(qiáng)化1（2020全國高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于AB兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)，則=2

35、，=2， ， 得，=，又=，=，又9=，解得=9，=18，橢圓方程為，故選：D2（2020全國高三專題練習(xí)）橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為ABCD【答案】A【解析】設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線與橢圓相交于點(diǎn)，斜率為則，兩式相減得，又，代入解得故選：3（2020黑龍江哈爾濱市哈九中高三三模）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線(為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為，則（ ）ABCD【答案】B【解析】設(shè)A，則，A，代入橢圓方程得：，兩式相減可得：，化簡(jiǎn)可得：，即：，故選：B4（2020全國高三專題練習(xí)）已知離心率為的橢圓內(nèi)有個(gè)內(nèi)接三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊的中點(diǎn)分別為，直線的斜率分別為，且均

36、不為0，若直線斜率之和為，則（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意可得，所以不妨設(shè)為.設(shè)，兩式作差得，則，同理可得，所以，故選：5（2020全國高三專題練習(xí)）中心為原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0,5）的橢圓，截直線y3x2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該橢圓方程為（ ）ABCD【答案】C【解析】由已知得c5，設(shè)橢圓的方程為，聯(lián)立得，消去y得（10a2450）x212（a250）x4（a250）a2（a250）0，設(shè)直線y3x2與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），由根與系數(shù)關(guān)系得x1x2，由題意知x1x21，即1，解得a275，所以該橢圓方程為.故選：C6（2020全國高三專題練習(xí)）橢圓mx

37、2ny21與直線y1x交于M，N兩點(diǎn)，連接原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所得直線的斜率為，則的值是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由得(mn)x22nxn10.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，所以y1y2，所以線段MN的中點(diǎn)為P，.由題意知，kOP，所以故選：A.7（2020黑龍江哈爾濱市哈師大附中高三）已知雙曲線：，斜率為2的直線與雙曲線相交于點(diǎn)、，且弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為（ ）A2BCD3【答案】B【解析】設(shè)、，則，所以，所以，又弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，又，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：B.8（2020青海西寧市高三二模）已知傾斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于

38、A，B兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】因?yàn)閮A斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點(diǎn)，所以直線的斜率，設(shè)，則由得則因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率為1即所以，則，故選：D9（2020銀川三沙源上游學(xué)校高三）已知直線:與雙曲線:(，)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）AB2CD【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得.直線:的斜率為，故.因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減并化簡(jiǎn)得，所以，所以.故選：D10（2020齊齊哈爾市第八中學(xué)校高三）已知A，B為雙曲線1（a0，b0）上的兩個(gè)不同點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若kA

39、BkOM，則雙曲線的離心率為（ ）ABC2D【答案】D【解析】設(shè)，則，由可得 ，即，則雙曲線的離心率為故選：D11（2020甘肅蘭州市高三月考）過點(diǎn)作一直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，若為中點(diǎn)，則( )ABCD【答案】D【解析】易知直線AB不與y軸平行，設(shè)其方程為y2k（x4）代入雙曲線C：，整理得（12k2）x2+8k（2k1）x32k2+32k100設(shè)此方程兩實(shí)根為，則又P（4，2）為AB的中點(diǎn)，所以8，解得k1當(dāng)k1時(shí)，直線與雙曲線相交，即上述二次方程的0，所求直線AB的方程為y2x4化成一般式為xy208，10|AB|4故選D12（2020全國高三專題練習(xí)）已知F是拋物線C：y2=2px(p

40、0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)R(2，1)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，R為線段AB的中點(diǎn).若|FA|+|FB|=5，則直線l的斜率為（ ）A3B1C2D【答案】B【解析】由于R(2，1)為AB中點(diǎn)，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB).根據(jù)拋物線的定義|FA|+|FB|=xA+xB+p=22+p=5，解得p=1，拋物線方程為y2=2x.，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即直線l的斜率為1.故選：B13（2020湖北武漢市高三三模）設(shè)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，則直線的斜率（ ）.A2BCD或2【答案】A【解析】聯(lián)立直線與拋物線，消整理可得，設(shè)，由題意，解可得，解可得或，綜上可知，.故選：A14（2

41、020全國高三月考（理）已知圓與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，若拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)和，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）ABCD【答案】A【解析】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱，所以縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為1，代入，可得.設(shè)點(diǎn)，.則則，又關(guān)于直線對(duì)稱.，即，又的中點(diǎn)一定在直線上，.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.故選:A.15（2020全國高三月考）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，若拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的不同兩點(diǎn)和，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）ABCD【答案】A【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，所以設(shè)點(diǎn)，則，則，又，關(guān)于直線對(duì)稱，即，又的中點(diǎn)一定在直線上，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為故選：A.16（2020全國高三專題練習(xí)）已知直線l過拋物

42、線的焦點(diǎn)，并交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，則弦AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是（ ）A3B4C6D8【答案】C【解析】直線l過拋物線的焦點(diǎn), 交拋物線C于A、B兩點(diǎn)則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為 過向準(zhǔn)線作垂直交準(zhǔn)線于點(diǎn),過向準(zhǔn)線作垂直交準(zhǔn)線于點(diǎn),過向準(zhǔn)線作垂直交準(zhǔn)線于,交軸于,如下圖所示:設(shè) 由拋物線定義可知,由,可知因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),由梯形的中位線性質(zhì)可知 則即M的橫坐標(biāo)是 故選:C17（2020河北衡水市衡水中學(xué)高三月考）拋物線方程為，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，若過點(diǎn)可以作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè),由題得，所以，故選：A18（2020全國高三專題練習(xí)）過橢圓內(nèi)的

43、一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在的直線方程 .【答案】【解析】解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，、，為的中點(diǎn)，又、兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得于是，即，故所求直線的方程為，即故答案為：19（2020全國高三專題練習(xí)）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過的直線與相交于、兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求雙曲線的方程 .【答案】【解析】設(shè)雙曲線的方程為(，)，由題意知，設(shè)、則有：，兩式作差得：，又的斜率是，代入得，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是.20（2020全國高三專題練習(xí)）直線m與橢圓y21交于P1，P2兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k10)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為_.【答案】【解析

44、】設(shè)，中點(diǎn)，則滿足，兩式相減得，整理得，即，即，.故答案為：.21（2020全國高三其他模擬）已知直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好為，則橢圓的離心率為_.【答案】【解析】設(shè)，代入橢圓方程得，兩式作差得，整理得，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，所?故答案為：.22（2019浙江寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓：的離心率為，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓r上，設(shè)ABC三條邊AB、BC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、M，且三條邊所在直線的斜率分別為、且均不為0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OD、OE、OM的斜率之和為2，則_【答案】【解析】由橢圓：的離心率為，設(shè) ，則 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 設(shè) 因?yàn)檫匒B

45、、BC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、M，故 ，由 在橢圓上，則 ，兩式相減化簡(jiǎn)得： ，所以即： 同理得：，所以又因?yàn)?故答案為：23（2020四川成都市高三二模）設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則的值為_【答案】【解析】聯(lián)立直線與拋物線，得，則，又，故，.故答案為：.24（2020全國高三月考）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為_.【答案】【解析】設(shè)，則，由得，即所以，又，所以，即，又，解得，所以橢圓方程為25（2020江蘇）橢圓與直線y1x交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為_【答案】【解析】設(shè)，線段AB的中點(diǎn)為則，

46、即， 故答案為：26（2020湖北黃岡市黃岡中學(xué)高三其他模擬）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，是一個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的方程是_.【答案】【解析】由，的坐標(biāo)得.設(shè)雙曲線方程為，則.設(shè)，則，.由，得，即，.于是，所以的方程為.故答案為：27（2020廣東廣州市高三月考）已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)兩點(diǎn)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為時(shí)，直線的方程為_.【答案】【解析】設(shè)，則， 相減得到，即，.故直線方程為：，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線中的點(diǎn)差法，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.28（2020西藏拉薩市拉薩中學(xué)高三月考）已知雙曲線上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，且線段的中點(diǎn)

47、在直線上，則雙曲線的離心率為_.【答案】2【解析】點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，線段的中點(diǎn)在直線上所以得，設(shè)，所以將代入雙曲線，則有兩式相減得.，.點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即.雙曲線的離心率為.故答案為：29（2020全國高三月考）過點(diǎn)作直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線方程為則設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)則則,兩式相減并化簡(jiǎn)可得 即直線的斜率為2所以直線的方程為 ,化簡(jiǎn)可得因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)所以解得且所以的取值范圍為故答案為: 30（2019云南玉溪市高三月考）已知拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，若拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩

48、點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為_.【答案】【解析】焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，設(shè)，中點(diǎn)，得：，即，即故，又因?yàn)樵谥本€上，所以，從而線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.第8講 外接球與內(nèi)切球 技巧導(dǎo)圖技巧詳講外接球8大模型秒殺公式推導(dǎo)1.墻角模型使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長(zhǎng)方體中畫出該圖且各頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合推導(dǎo)過程：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑秒殺公式：圖示過程2.漢堡模型（1）使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體（2）推導(dǎo)過程第一步：取底面的外心O1,，過外心做高的的平行且長(zhǎng)度相等，在該線上中點(diǎn)為球心的位置第二步：根據(jù)勾股定理可得（3）秒殺公式：（4）圖示過程3.斗笠模型（1）使用范圍

49、：正棱錐或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上（2）推導(dǎo)過程第一步：取底面的外心O1,，連接頂點(diǎn)與外心，該線為空間幾何體的高h(yuǎn)第二步：在h上取一點(diǎn)作為球心O第三步：根據(jù)勾股定理（3）秒殺公式：（4）圖示過程4.折疊模型使用范圍：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊推導(dǎo)過程 第一步：過兩個(gè)平面取其外心H1、H2，分別過兩個(gè)外心做這兩個(gè)面的垂線且垂線相交于球心O第二步：計(jì)算第三步：（3）秒殺技巧：（4）圖示過程5.切瓜模型（1）使用范圍：有兩個(gè)平面互相垂直的棱錐（2）推導(dǎo)過程：第一步：分別在兩個(gè)互相垂直的平面上取外心F、N，過兩個(gè)外心做兩個(gè)垂面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為球心O，取BC的中點(diǎn)為M，連接

50、FM、MN、OF、ON第二步：（3）秒殺公式：（4）圖示過程6.麻花模型（1）使用范圍：對(duì)棱相等的三棱錐（2）推導(dǎo)過程：設(shè)3組對(duì)棱的長(zhǎng)度分別為x、y、z,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a、b、c秒殺公式：圖示過程 7.矩形模型（1）使用范圍：棱錐有兩個(gè)平面為直角三角形且斜邊為同一邊（2）推導(dǎo)過程：根據(jù)球的定義可知一個(gè)點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等該點(diǎn)為球心可得，斜邊為球的直徑（3）秒殺公式：（4）圖示過程 鱷魚模型使用范圍：適用所有的棱錐推導(dǎo)過程：（3）秒殺公式：（4）圖示過程內(nèi)切球的半徑等體積法推導(dǎo)過程秒殺公式：圖示過程特別說明：下面例題或練習(xí)都是常規(guī)方法解題，大家可以利用模型的秒殺公式例題舉證技巧1 外接球

51、之墻角模型【例1】（2020河南高三月考）已知長(zhǎng)方體中，與平面所成角的正弦值為，則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】B【解析】作，垂足為，連接，.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以是與平面所成的平面角.又，.所以，解得.故該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為.設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，則，解得.所以該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為.故選B.【舉一反三】1（2020全國高三專題練習(xí)）棱長(zhǎng)為的正方體的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)檎襟w的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)，所以，解得，所以球的表面積為：.故選：C2（2019綏德中學(xué)）球面上有四個(gè)點(diǎn)，若兩兩垂直，且，則該球的

52、表面積為（ ）ABCD【答案】D【解析】由題意可知，該球是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為，由題意可得：,據(jù)此可得：，外接球的表面積為：.本題選擇D選項(xiàng).技巧2 外接球之漢堡模型【例2】（2020四川瀘州市高三）已知四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且平面，則該四棱錐外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意，四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且平面，可把四棱錐放置在如圖所示的一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則四棱錐的外接球和長(zhǎng)方體的外接球表示同一個(gè)球，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，可得，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為.故選：C.【舉一反三】1（2020廣

53、州市廣外）各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面）高為2，體積為8，則這個(gè)球的表面積是（ ）ABCD【答案】B【解析】因?yàn)檎睦庵邽?，體積為8，所以它的底面邊長(zhǎng)是2，所以它的體對(duì)角線的長(zhǎng)是，因此它的外接球的直徑是，所以這個(gè)球的表面積是：.故選：B2（2020遼寧省高三）如圖，在三棱錐ABCD中，BD平面ADC，BD1，AB2，BC3，AC，則三棱錐ABCD外接球的體積為（ ）A4B3C2D4【答案】D【解析】因?yàn)锽D平面ADC，所以，所以，所以，所以，所以以、為棱的長(zhǎng)方體與三棱錐ABCD具有相同的外接球，所以該外接球的直徑為，半徑為，則該外接球的體積為故選：D.3（2

54、020廣東廣州市高三月考）在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】長(zhǎng)方體中，平面，平面，又平面，平面，平面，而平面，是正方形，是與交點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)是直角三角形，設(shè)是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則由可得平面（長(zhǎng)方體中棱與相交面垂直），是的外心，三棱錐的外接球球心在直線上（線段或的延長(zhǎng)線上）設(shè)，則，解得，外接球半徑為，表面積為故選：C4（2020全國高三月考（文）三棱柱中，平面，則該三棱柱的外接球的體積為（ ）ABCD【答案】B【解析】如圖，取中點(diǎn)，連交于點(diǎn)， ，為的外接圓圓心，外接圓半徑為,，平面，平面，又，點(diǎn)為三棱柱的外接球球心，外接球半徑，外接球

55、體積.故選：B.技巧3 外接球之斗笠模型【例3】（2020江蘇南通市高三期中）正三棱錐中，則該棱錐外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】正三棱錐中，,所以,故,同理可得, ,以為棱構(gòu)造正方體，則該棱錐外接球即為該正方體的外接球，如圖，所以，故球的表面積為,故選：C【舉一反三】1（2020秦皇島市撫寧區(qū)第一中學(xué)）已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為6，則該正三棱錐外接球的表面積是_.【答案】【解析】過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，記球心為.在正三棱錐中，底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，.球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長(zhǎng)，.在中，即，解得，外接球的表面積為.故答案為：.2正四棱錐的頂點(diǎn)都在

56、同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為（ ）ABCD【答案】A【解析】正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高上，記為O，PO=AO=R，=4-R，在Rt中，由勾股定理得，球的表面積，故選A.技巧4 外接球之折疊模型【例4】（2020廣東省高三）在三棱錐ABCD中，ABD與CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且二面角的平面角為120，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A7B8CD【答案】D【解析】如圖，取BD中點(diǎn)H，連接AH，CH因?yàn)锳BD與CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形所以AHBD，CHBD，則AHC為二面角ABDC的平面角，即AHD120設(shè)ABD與CBD外接圓圓心分別為E

57、，F(xiàn)則由AH2可得AEAH，EHAH分別過E，F(xiàn)作平面ABD，平面BCD的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點(diǎn)記為O，連接AO，HO，則由對(duì)稱性可得OHE60所以O(shè)E1，則ROA則三棱錐外接球的表面積 故選：D【舉一反三】1（2020山東棗莊市高三期中）已知二面角的大小為120，且，.若點(diǎn)P、A、B、C都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積的最小值為_.【答案】【解析】設(shè)，則，設(shè)和的外心分別為、，則分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作和所在平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)為點(diǎn)，則為三棱錐的外心，連接，則為三棱錐外接球的半徑取的中點(diǎn)，連接、，如圖所示，由題意可知，且，為二面角的平面角，即，連接，平面，平面，四點(diǎn)共圓

58、，且該圓的直徑為在中，由余弦定理知， 的外接圓直徑， 當(dāng)時(shí)，取得最小值，為，此時(shí)該球的表面積取得最小值，為故答案為：2（2020南昌市八一中學(xué)）如圖所示，三棱錐S一ABC中，ABC與SBC都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，二面角ABCS的大小為，若S，A，B，C四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（ ）ABCD3【答案】A【解析】取線段BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD，SD，由題意得ADBC，SDBC，ADS是二面角ABCS的平面角，ADS，由題意得BC平面ADS，分別取AD，SD的三等分點(diǎn)E，F(xiàn)，在平面ADS內(nèi)，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作直線垂直于AD，SD，兩條直線的交點(diǎn)即球心O，連結(jié)OA，則球O半徑R|OA|，由題

59、意知BD，AD，DE，AE，連結(jié)OD，在RtODE中，OEDE，OA2OE2+AE2，球O的表面積為S4R2故選：A技巧5 外接球之切瓜模型【例5】（2020內(nèi)蒙古赤峰市高三月考）已知三棱錐中，面面，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】B【解析】如圖，所以的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn),，為等腰三角形.取的中點(diǎn)，連接，, 又 面面，面面，面，面，過點(diǎn)作的平行線，則球心一定在該直線上.設(shè)的外接圓的圓心為，,則點(diǎn)在上，連接,由球的性質(zhì)則，平面，則為矩形.在中，,則所以的外接圓的半徑 所以，則 則 所以球的半徑為 所以三棱錐的外接球的表面積為 故選：B【舉一反三】1（2020四川瀘州市高三

60、一模）已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）ABCD【答案】D【解析】如圖，由已知可得，與均為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，平面平面，則平面，分別取與的外心，過分別作兩面的垂線，相交于，則為三棱錐的外接球的球心，由與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，可得，三棱錐ABCD的外接球的表面積為.故選：D.技巧6 外接球之麻花模型【例6】（2020四川省眉山市彭山區(qū)第二中學(xué)）在四面體中，若，則四面體的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以，2，為三邊的三角形作為底面