MATALAB微分方程市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

1、數(shù)學(xué)建模 微 分 方 程第1頁(yè) 在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)聯(lián)絡(luò)到一些變量改變率或?qū)?shù)， 這么所得到變量之間關(guān)系式就是微分方程模型。微分方程模型反應(yīng)是變量之間間接關(guān)系，所以，要得到直接關(guān)系，就得求微分方程。求解微分方程有三種方法： 1）求準(zhǔn)確解；2）求數(shù)值解（近似解）；3）定性理論方法。第2頁(yè)一、導(dǎo)彈追蹤問(wèn)題 設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1, 0)處乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭一直對(duì)準(zhǔn)乙艦.假如乙艦以最大速度v0(是常數(shù))沿平行于y軸直線(xiàn)行駛，導(dǎo)彈速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行曲線(xiàn)方程.又乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？解法一（解析法）第3頁(yè)由(1),(2)消去t整理得模型:第4頁(yè) 二 范. 梅格倫（Va

2、n Meegren） 偽造名畫(huà)案 第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放后，荷蘭保安機(jī)關(guān)開(kāi)始搜捕納粹分子合作者，發(fā)覺(jué)一名三流畫(huà)家H.A.Vanmeegren曾將17世紀(jì)荷蘭著名畫(huà)家Jan.Vermeer一批名貴油畫(huà)盜賣(mài)給德寇，于1945年5月29日通敵罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣稱(chēng)他從未出賣(mài)過(guò)荷蘭利益，全部油畫(huà)都是自己偽造，為了證實(shí)這一切，在獄中開(kāi)始偽造Vermeer畫(huà)耶穌在學(xué)者中間。當(dāng)他工作快完成時(shí)，又得悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫(huà)老化，以免留下罪證。第5頁(yè) 為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加國(guó)際專(zhuān)門(mén)小組，采取了當(dāng)初最先進(jìn)科學(xué)方法，動(dòng)用了X-光線(xiàn)透

3、視等，對(duì)顏料成份進(jìn)行分析，終于在幾幅畫(huà)中發(fā)覺(jué)了當(dāng)代物質(zhì)諸如當(dāng)代顏料鈷藍(lán)痕跡。 這么，偽造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在獄中心臟病發(fā)作而死去。 不過(guò)，許多人還是不相信其余名畫(huà)是偽造，因?yàn)椋?Vanmeegren在獄中作畫(huà)實(shí)在是質(zhì)量太差，所找理由都不能使懷疑者滿(mǎn)意。直到后，1967年，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)科學(xué)家們用微分方程模型處理了這一問(wèn)題。第6頁(yè)原理著名物理學(xué)家盧瑟夫（Rutherford）指出： 物質(zhì)放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)原子數(shù)。設(shè) 時(shí)刻原子數(shù)為 ，則有為物質(zhì)衰變常數(shù)。初始條件第7頁(yè)半衰期能測(cè)出或算出，只要知道 就可算出這正是問(wèn)題難處，下面是間接確定 方法。斷代

4、。第8頁(yè)油畫(huà)中放射性物質(zhì) 白鉛（鉛氧化物）是油畫(huà)中顏料之一，應(yīng)用已經(jīng)有余年，白鉛中含有少許鉛(Pb210)和更少許鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生，而鉛金屬是經(jīng)過(guò)熔煉從鉛礦中提取來(lái)出。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)礦中提取出來(lái)時(shí)， Pb210絕大多數(shù)起源被切斷，因而要快速蛻變，直到Pb210與少許鐳再度處于放射平衡，這時(shí)Pb210蛻變恰好等于鐳蛻變所補(bǔ)足為止。第9頁(yè)鈾238鐳226鉛210釙210鉛206（放射性）（無(wú)放射性）第10頁(yè)假設(shè)（1）鐳半衰期為16，我們只對(duì)17 世紀(jì)油畫(huà)感興趣，時(shí)經(jīng)300多年，白鉛中鐳最少還有原量90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳衰變數(shù)可視為常數(shù)，用 表示。（2）釙

5、半衰期為138天輕易測(cè)定，鉛210半衰期為22年，對(duì)要判別300多年顏料來(lái)說(shuō)，每克白鉛中每分鐘釙衰變數(shù)與鉛210衰變數(shù)可視為相等。第11頁(yè)建模設(shè) 時(shí)刻每克白鉛中含鉛210數(shù)量為 ，為制造時(shí)刻 每克白鉛中含鉛210數(shù)量。為鉛210衰變常數(shù)。則油畫(huà)中鉛210含量第12頁(yè)求解均可測(cè)出?？伤愠霭足U中鉛衰變率 ，再于當(dāng)初礦物比較，以判別真?zhèn)?。礦石中鈾最大含量可能 23%，若白鉛中鉛210每分鐘衰變超出3 萬(wàn)個(gè)原子，則礦石中含鈾量超出 4%。第13頁(yè)測(cè)定結(jié)果與分析畫(huà)名釙210衰變?cè)訑?shù)鐳226衰變?cè)訑?shù)Emmaus信徒們8.50.82洗足12.60.26讀樂(lè)譜婦人10.30.3彈曼陀林婦人8.20.17做

6、花邊人1.51.4歡笑女孩5.26.0第14頁(yè)若第一幅畫(huà)是真品，鉛210每分鐘每克衰變不合理，為贗品。第15頁(yè)同理可檢驗(yàn)第2，3，4幅畫(huà)亦為贗品，而后兩幅畫(huà)為真品。第16頁(yè) 微分方程數(shù)值解 1歐拉方法歐拉方法基本原理:消除導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（離散化）。歐拉法普通步驟:第17頁(yè) 歐拉方法特點(diǎn):易于了解，計(jì)算量小，精度低。第18頁(yè) 2梯形法梯形法普通步驟:第19頁(yè) 梯形法特點(diǎn):，計(jì)算量大，精度高。第20頁(yè) 龍格庫(kù)塔法 龍格庫(kù)塔法基本思想： 由微分中值定理：第21頁(yè)微分方程解析解 求單個(gè)微分方程解析解命令:dsolve(方程1, 初始條件, 自變量)第22頁(yè) 結(jié) 果：u = tg(t-c) 求微分方程組解析解:

7、x1,x2,xndsolve(方程1, 方程2,方程n, 初始條件, 自變量)第23頁(yè)例 2求微分方程 通解，并驗(yàn)證。 y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x)syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x2)第24頁(yè)例 3求微分方程 在初值條件 下特解，并畫(huà)出解函數(shù)圖形。y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x); ezplot(y)第25頁(yè)例4 求微分方程組 在初值條件 下特解，并畫(huà)出解函數(shù)圖形。x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0, x(0)=1, y(0)=0, t)e

8、zplot(x,y,0,1.3)第26頁(yè)微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解定義 在生產(chǎn)和科研中所處理微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出普通解。而在實(shí)際上對(duì)初值問(wèn)題，普通是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿(mǎn)足要求準(zhǔn)確度近似值，或者得到一個(gè)滿(mǎn)足準(zhǔn)確度要求便于計(jì)算表示式。所以，研究常微分方程數(shù)值解法是十分必要。第27頁(yè) 用Matlab軟件求常微分方程數(shù)值解t，y=solver（f,ts,y0）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程寫(xiě)成m-文件名ts=t0，tf，t0、tf為自變量初值和終值函數(shù)初值ode23：組合2/3階龍格-庫(kù)塔-芬爾格算法ode45：利用組合4/5階龍格-庫(kù)塔-芬爾

9、格算法自變量值函數(shù)值第28頁(yè)Matlab提供ODE求解器求解器ODE類(lèi)型特點(diǎn)說(shuō)明ode45非剛性單步法；4，5 階 R-K 方法；累計(jì)截?cái)嗾`差為 (x)3大部分場(chǎng)所首選方法ode23非剛性單步法；2，3 階 R-K 方法；累計(jì)截?cái)嗾`差為 (x)3使用于精度較低情形ode113非剛性多步法；Adams算法；高低精度均可到 10-310-6計(jì)算時(shí)間比 ode45 短ode23t適度剛性采取梯形算法適度剛性情形ode15s剛性多步法；Gears 反向數(shù)值微分；精度中等若 ode45 失效時(shí)，可嘗試使用ode23s剛性單步法；2 階Rosebrock 算法；低精度當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比 ode15s

10、 短ode23tb剛性梯形算法；低精度當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比ode15s短第29頁(yè) 1、在解n個(gè)未知函數(shù)方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-文件中待解方程組應(yīng)以x分量形式寫(xiě)成. 2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組.注意:第30頁(yè)x,y=ode23(fun,0,0.5,1)第31頁(yè)fun=inline(-2*y+2*x2+2*x,x,y);x,y=ode23(fun,0,0.5,1) 求初值問(wèn)題 數(shù)值解，求解范圍為 0,0.5例 1第32頁(yè)圖中，y1圖形為實(shí)線(xiàn)，y2圖形為“*”線(xiàn)，y3圖形為“+”線(xiàn).function f=cxd1(t,y) f=y(2)*y(3);-y(1)*y(3);-0.51*y(1)*y(2)T,Y=ode45(cxd1,0 1 2,0 1 1)plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*