專題25《全等三角形的存在性》

1、 專題 25全等三角形的存在性破解策略全等三角形的存在性問題的解題策略有：（1）當(dāng)有一個三角形固定時（三角形中所有邊角為定值），另一個三角形會與這個固 定的三角形有一個元素相等；再根據(jù)全等三角形的判定，利用三角函數(shù)的知識（畫圖）或 列方程來求解（2）當(dāng)兩個三角形都不固定時（三角形中有角或邊為變量），若條件中有一條邊對應(yīng) 相等時，就要使夾這條邊的兩個角對應(yīng)相等，或其余兩條邊對應(yīng)相等；若條件中有一個角 對應(yīng)相等時，就要使夾這個角的兩邊對應(yīng)相等，或再找一個角和一條邊對應(yīng)相等 例題講解例 1 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 yax2bx4 與 x 軸的一個交點為 A（2， 0），與 y 軸的交點為

2、C，對稱軸是 x3，對稱軸與 x 軸交于點 B（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點 D 在 x 軸上，在拋物線上是否存在點 P，使得PBDPBC?若存在，求點 P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）若點 M 在 y 軸的正半軸上，連結(jié) MA，過點 M 作 MA 的垂線，交拋物線的對稱軸于點 N問：是否存在點 M，使以點 M、A、N 為頂點的三角形 eq oac(,與)BAN 全等？若存在，求出點 M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）由題意可列方程組4a 2b 4 0 b 3 2 a，解得a 3b 214，1 3所以拋物線的表達(dá)式為 y x 2 x 4 4 21 3 2 ， 1 2 2 ，

3、解得 ，3 4 2 4m25 1 2 5 215 212 21 2 2 2 4mn 2 （2）顯然 OA2， OB3， OC4 所以 BC OB2OC25 BA 若 eq oac(,P) eq oac(, )BDPBC，則 BD BC5，PDPC所以 D 為拋物線與 x 軸的左交點或右交點，點 B，P 在 CD 的垂直平分線上， 若點 D 為拋物線與 x 軸的左交點，即與點 A 重合如圖 1，取 AC 的中點 E，作直線 BE 交拋物線于 P （x ，y ），P （x y ）兩點1 1 1 2 2 2此時 eq oac(,P) eq oac(, )BC eq oac(,P) eq oac(,

4、)BD， eq oac(,P) eq oac(, )BC eq oac(,P) eq oac(, )BD1 1 2 2由 A、C 兩點的坐標(biāo)可得點 E 的坐標(biāo)為（1，2）所以直線 BE 的表達(dá)式為 y x 2 2聯(lián)立方程組 1 3y x 2 21 3y x x 4 4 2，解得x 4 26 x 4 26 1 21 26 1 26 y y 2 2所以點 P ，P 的坐標(biāo)分別為（4 一 26 ， 1 21 2621 26）（4 26 ， ）2若 D 為拋物線與 x 軸的右交點，則點 D 的坐標(biāo)為（8，0）如圖 2，取 CD 的中點 F作直線 BF 交拋物線于 P （x ，y ），P （x ，y ）

5、兩點3 3 3 4 4 4此時 eq oac(,P) eq oac(, )BC eq oac(,P) eq oac(, )BD， eq oac(,P) eq oac(, )BC eq oac(,P) eq oac(, )BD3 3 4 4由 C、D 兩點的坐標(biāo)可得點 F 的坐標(biāo)為（4，2），所以直線 BF 的表達(dá)式為 y2x6聯(lián)立方程組y 2 x 6 1 3y x x 4 4 2x141 x141 y382 41 y482 41所以點 P ，P 的坐標(biāo)分別為（1 41 ，82 41 ），（ 1 41 ，82 41 ）， 3 4綜上可得，滿足題意的點 P 的坐標(biāo)為（4 一 26 ，1 2621

6、26），（4 26 ， ），2（1 41 ，82 41 ）或（1 41 ，82 41 ）（3）由題意可設(shè)點 M（0，m），N（3，n），且 m0，則 AM24m2，MN29（mn）2，BN2n2 而AMNABN900， 所以AMN 與ABN 全等有兩種可能：當(dāng) AMAB，MNBN 時，m 21 m 21可列方程組 ，解得 ；9(mn) n n n 7 7所以此時點 M 的坐標(biāo)為（0， 21 ）當(dāng) AMNB，MNBA 時，可列方程組： 9(mn) 25（舍）， 1 2 2 2 2 1 3 2 4 2 1 2 22 4 8 8BD 1， AE2 2 3， 即點 E 的坐標(biāo)為（ 2 3 3m m 解

7、得 ， （舍） 5 5n n 2 2所以此時點 M 的坐標(biāo)為（0，32）綜上可得，滿足題意的點 M 的坐標(biāo)為（0， 21 ）或（0， ）2例 2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，ABO 為等腰直角三角形，ABO 900，點 A 的坐 標(biāo)為（40），點B 在第一象限若點 D 在線段 BO 上，OD 2DB，點 E，F(xiàn) 在OAB 的邊上， 且滿足DOF 與DEF 全等，求點 E 的坐標(biāo)圖 1解： 由題意可得 OA4，從而 OBAB 2 2 所以 OD 當(dāng)點 F 在 OA 上時，（）若DFODFE，點 E 在 OA 上如圖 1圖 2OB ，BD OB 3 3 3 3此時 DFOA，所以 OFOD

8、 ，所以 OE2OF ，即點 E 的坐標(biāo)為（ ，0） 2 3 3 3（）若DFODFE，點 F 在 AB 上，如圖 2此時 EDOD2BD，所以 sinBED ；所以BED300，ED 2從而 BE 3 BD2 6 6 2 2 6 3 3過點 E 作 EGOA 于點 G則 EGAGAE 2 ， 2 3所以 OG 2 2 3 2 3 2 3， 2 3 3 3）圖 3（）若DFOFDE，點 E 在 AB 上，如圖 3圖 42 48 8 48 x 此時 DEOA，所以 BDBE 從而 AEOD4 23，過點 E 作 EGOA 于點 G， 則 EGAGAE ，2 3所以 OG ，即點 E 的坐標(biāo)為（

9、， ）3 3 3當(dāng)點 F 在 AB 上時，只能有ODF AFD，如圖 4 此時 DF0A且點 E 與點 A 重合，即點 E 的坐標(biāo)為（4，0）綜上可得，端足條件的點 E 的坐標(biāo)為（ ，0），3（ 2 2 3 2 3 8 4， 2 ），（ ， ）或（4，0） 3 3 3 3進階訓(xùn)練1如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知拋物線 y12x 2 3 x 8與 y 軸變于點 C直線 l； y43x與拋物線的對稱軸交于點 E連結(jié) CE，探究；拋物線上是否存在一點 F，使得FOEFCE若存在，請寫出點 F 坐標(biāo)；若不存在，請說明理由yOxECl答案：存在點 F 的坐標(biāo)為（3 17，4）或（3 17，4）

10、2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l 過點 A（1，0）且與 y 軸平行直線 l1 2k過點 B（0，2）且與 x 軸平行，直線 l 與 l 相交于點 PE 為直線 l 上一點，反比例函數(shù) y1 2 2（k0）的圖象過點 E 且與直線 l 相交干點 F1（1）若點 E 與點 P 重合，求 k 的值；（2）是否存在點 E 及 y 軸上的點 M，使得以點 M，E，F(xiàn) 為頂點的三角形 eq oac(,與)PEF 全等？ 若存在，求點 E 的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由l 1yyl2B E Pl2B PFOAxOAxl1備用圖l1答案：（1）k23 8（2）存在點 E 的坐標(biāo)為（ ，2）或（

11、 ，2）8 3k【提示】（2）易得點 E（ ，2），F(xiàn)（1，k）如圖 1，當(dāng) k2 時，只能有MEFPEF過31點 F 作 FHy 軸于點 H，易證BMEHFM，用 k 表示相關(guān)線段的長度，從而得到 BM ，2再解 RtBME，得 k3 3，所以點 E 的坐標(biāo)為（ ，2）；如圖 2，當(dāng) k2 時，只能有 4 88MEFPFE 過點 F 作 FQy 軸于點 Q，同可得點 E 的坐標(biāo)為（ ，2）3yyl2BE PQFMMHFl2BPEOxO Ax圖1l1圖23如圖，拋物線yax2bx c經(jīng)過 A（3，0），B（ 3 3 ，0），C（0，3）三點，線段 BC 與拋物線的對稱軸交干 D，該拋物線的頂點

12、為 P，連結(jié) PA，AD線段 AD 與 y 軸 相交于點 E（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點 Q使以 Q，C，D 為頂點的三角形 eq oac(,與)ADP 全等？ 若存在，求出點 Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由yPCDA O Bx答案：（1）拋物線的表達(dá)式為y1 2 3x 23 3x 3（2）存在點 Q 的坐標(biāo)為（3 3，4），（3，2），（2 3，1）或（0，7）【提示】（2）方法一：易求直線 BC：y33x 3，從而點 D 的坐標(biāo)為（ 3 ，2），可得 CDPD，所以QCD 與ADP 全等有兩種情況設(shè)點 Q 坐標(biāo)，通過兩點間距離公式列出 QC， QD，AP，AD 的長再分類討論列方程組，從而求得點 Q 點坐標(biāo)方法