大學(xué)物理試題庫及答案詳解【考試必備】

1、 PAGE 46第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)1 -1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動 ,在時刻 t 質(zhì)點(diǎn)的位矢為 r,速度為 v ,速率為 v,t 至( t t)時間內(nèi)的位移為 r, 路程為 s, 位矢大小的變化量為 r ( 或稱 r ),平均速度為 v ,平均速率為 v 根據(jù)上述情況 ,則必有 () r = s = r rs r ,當(dāng)t 0 時有 dr = ds rd rrs,當(dāng)t 0 時有 dr = dr sd r s r ,當(dāng)t 0 時有 dr = dr = ds根據(jù)上述情況 ,則必有 ()(A) v =v , v =v(B) v v , v v(C) v =v , v v(D) v v , v =v分析與解 (1)

2、 質(zhì)點(diǎn)在 t 至(t t)時間內(nèi)沿曲線從 P 點(diǎn)運(yùn)動到 P點(diǎn),各量關(guān)系如圖所示 ,其中路程 s PP,位移大小 r PP而,r r - r表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量 ,三個量的物理含義不同 ,在曲線運(yùn)動中大小也不相等 (注：在直線運(yùn)動中有相等的可能 )但當(dāng)t 0 時,點(diǎn)P無限趨近 P點(diǎn) ,則有 dr ds,但卻不等于 dr 故選 (B) rs(2) 由于 r s,故,即 v v tt但由于 dr ds,故 drds,即 v v 由此可見 ,應(yīng)選 (C) dtdt1 -2一運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在某瞬時位于位矢r(x,y)的端點(diǎn)處 ,對其速度的大小有四種意見,即dr(1)dtd r； (2)dt；(3)2ds

3、； (4)dxdtdt2dydt下述判斷正確的是()(A)只有 (1)(2) 正確(B)只有 (2)正確(C) 只有 (2)(3) 正確(D)只有 (3)(4) 正確dr分析與解表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時間的變化率, 在極坐標(biāo)系中叫徑向速dt率通常用符號 vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個分量；dr 表示速度矢量；在自然dt坐標(biāo)系中速度大小可用公式求解故選 (D) dsv計(jì)算 ,在直角坐標(biāo)系中則可由公式v dt22dxdydtdt1 -3質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動 ,r 表示位置矢量 , v表示速度 ,a表示加速度 ,s 表示路程 , a表示切向加速度對下列表達(dá)式,即(1)d v /dt a； (

4、2)dr /dt v；(3)d s/dt v； (4)d v /dt a 下述判斷正確的是()(A)只有 (1) 、(4) 是對的(B)只有 (2)、(4) 是對的(C) 只有 (2) 是對的(D)只有 (3) 是對的dv分析與解表示切向加速度 a ,它表示速度大小隨時間的變化率,是加速度矢量沿速dtdr度方向的一個分量 ,起改變速度大小的作用；在極坐標(biāo)系中表示徑向速率vr( 如題 1 -2所dt述)；ds 在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)的速率v；而dtdv 表示加速度的大小而不是切向加速度adt 因此只有 (3)式表達(dá)是正確的故選 (D) 1 -4一個質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動時,則有 ()切向加速度一定改變

5、 ,法向加速度也改變切向加速度可能不變 ,法向加速度一定改變切向加速度可能不變 ,法向加速度不變切向加速度一定改變 ,法向加速度不變分析與解加速度的切向分量 a 起改變速度大小的作用,而法向分量 an起改變速度方向的作用質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動時,由于速度方向不斷改變, 相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變, 因而法向加速度是一定改變的至于a 是否改變 ,則要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動時 , a 恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動時, a 為一不為零的恒量,當(dāng)a 改變時 ,質(zhì)點(diǎn)則作一般的變速率圓周運(yùn)動由此可見,應(yīng)選 (B) *1-5如圖所示 ,湖中有一小船,有人用繩繞過岸上一定高度處的定滑輪拉湖中

6、的船向 岸邊運(yùn)動設(shè)該人以勻速率v0 收繩 ,繩不伸長且湖水靜止 ,小船的速率為 v,則小船作 ()勻加速運(yùn)動 , v勻減速運(yùn)動 , v變加速運(yùn)動 , vv0cosv0cosv0 cos變減速運(yùn)動 , v勻速直線運(yùn)動 , vv0cosv0分析與解本題關(guān)鍵是先求得小船速度表達(dá)式,進(jìn)而判斷運(yùn)動性質(zhì)為此建立如圖所示坐標(biāo)系 ,設(shè)定滑輪距水面高度為h,t時刻定滑輪距小船的繩長為l , 則小船的運(yùn)動方程為xl 2h2,其中繩長 l 隨時間 t 而變化小船速度vdxdtl dl dtl 2h2dl,式中dt表示繩長 l隨時間的變化率,其大小即為 v0,代入整理后為 vv 0v 0,方向沿 x 軸負(fù)向由l 2速

7、度表達(dá)式 ,可判斷小船作變加速運(yùn)動故選(C) h 2 / lcos討論有人會將繩子速率v0 按x、y 兩個方向分解,則小船速度 v嗎？v0 cos ,這樣做對1 -6已知質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸作直線運(yùn)動 ,其運(yùn)動方程為 x的單位為 s求：質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動開始后 4.0 s內(nèi)的位移的大?。毁|(zhì)點(diǎn)在該時間內(nèi)所通過的路程；t 4 s時質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度26t 22t3 ,式中 x 的單位為 m,t分析位移和路程是兩個完全不同的概念只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動且運(yùn)動方向不改變時,位移的大小才會與路程相等質(zhì)點(diǎn)在t 時間內(nèi)的位移x 的大小可直接由運(yùn)動方程得到：xxtx0 ,而在求路程時 ,就必須注意到質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中可能改變運(yùn)動

8、方向,此時 ,位移的大小和路程就不同了為此,需根據(jù) dxdt0 來確定其運(yùn)動方向改變的時刻tp ,求出 0 tp 和t p t 內(nèi)的位移大小 x1 、x2 ,則t 時間內(nèi)的路程 sx1x2,如圖所示 ,至于 t 4.0 s 時質(zhì)點(diǎn)速度和加速度可用dxd 2 x和2dtdt兩式計(jì)算解(1) 質(zhì)點(diǎn)在 4.0 s內(nèi)位移的大小xx4x032 mdx(2) 由0dt得知質(zhì)點(diǎn)的換向時刻為t p2 s(t 0不合題意 )則x1x2x08.0 mx2所以 ,質(zhì)點(diǎn)在 4.0 s時間間隔內(nèi)的路程為x4x240 m(3) t 4.0 s時sx1x248 mvdx dt t4.0s48 m s 1d 2 xtadt

9、24.0 s36 m.s 21 -7一質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸方向作直線運(yùn)動 ,其速度與時間的關(guān)系如圖(a)所示設(shè) t 0 時,x 0試根據(jù)已知的 v-t 圖,畫出a-t 圖以及 x -t 圖分析根據(jù)加速度的定義可知,在直線運(yùn)動中 v-t曲線的斜率為加速度的大小(圖中 AB 、CD段斜率為定值 ,即勻變速直線運(yùn)動；而線段BC的斜率為 0,加速度為零 ,即勻速直線運(yùn)動) 加速度為恒量 ,在a-t 圖上是平行于 t 軸的直線 ,由v-t 圖中求出各段的斜率,即可作出 a-t 圖線又由速度的定義可知,x-t 曲線的斜率為速度的大小因此,勻速直線運(yùn)動所對應(yīng)的x -t 圖應(yīng)是一直線 ,而勻變速直線運(yùn)動所對應(yīng)的xt

10、 圖為 t 的二次曲線 根據(jù)各段時間內(nèi)的運(yùn)動方 程x x(t),求出不同時刻 t 的位置 x,采用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法 ,可作出 x-t 圖解將曲線分為 AB 、BC 、CD 三個過程 ,它們對應(yīng)的加速度值分別為aABv Bv At Bt A20 ms 2(勻加速直線運(yùn)動 )aBC aCD0v DvCt DtC10 m s 2(勻速直線運(yùn)動 )(勻減速直線運(yùn)動 )根據(jù)上述結(jié)果即可作出質(zhì)點(diǎn)的a-t 圖圖 (B) 在勻變速直線運(yùn)動中 ,有xxv0t1 t 22由此 ,可計(jì)算在 0 2和 4 6時間間隔內(nèi)各時刻的位置分別為1用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的作圖方法,由表中數(shù)據(jù)可作 0 2和 4 6時間內(nèi)的 x -t 圖在2

11、4時間內(nèi), 質(zhì)點(diǎn)是作 v20 ms的勻速直線運(yùn)動 , 其x -t 圖是斜率 k 20的一段直線圖(c)1 -8已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為r質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡；2ti(2t 2 ) j ,式中 r 的單位為 m,t 的單位為求：t 0 及t 2時,質(zhì)點(diǎn)的位矢；由t 0 到t 2內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移 r 和徑向增量 r；*(4) 2 內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所走過的路程 s分析質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為 y f(x), 可由運(yùn)動方程的兩個分量式x(t )和y(t)中消去 t 即可得到對于 r、r、r 、s 來說,物理含義不同 ,可根據(jù)其定義計(jì)算其中對s的求解用到積分方法,先在軌跡上任取一段微元ds,則 ds(dx) 2(dy)2,最后用sds

12、積分求 解(1) 由x(t)和y( t)中消去 t 后得質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為y2這是一個拋物線方程 ,軌跡如圖 (a)所示1 x24將t 0和 t 2分別代入運(yùn)動方程 ,可得相應(yīng)位矢分別為r02 j,r24 i2 j圖(a)中的 P、Q 兩點(diǎn) ,即為 t 0和 t 2時質(zhì)點(diǎn)所在位置由位移表達(dá)式 ,得rr2r1(x2x0)i( y2y0 ) j4 i2 j其中位移大小 r(x)2(y)25.66 m而徑向增量 rrr2r0222xyx22022.47 my0*(4)如圖 (B) 所示 , 所求 s 即為圖中PQ 段長度 , 先在其 間任意處取AB微元 ds, 則ds(dx)2(dy)2,由軌道方程可得

13、dyQ1 xdx ,代入 ds,則2內(nèi)路程為242sdsP4x dx05.91 m1 -9質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為xy式中 x,y 的單位為 m,t 的單位為10t 15t30t 220t 2試求： (1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析由運(yùn)動方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運(yùn)動合成算出速度和加速度的大小和方向解(1) 速度的分量式為vdxxdt1060tyvdydt1540t當(dāng)t 0 時, vox -10 m -1 , voy 15 m -1 ,則初速度大小為2v0v0 x2v0 y18.0 m s 1設(shè)vo與x 軸的夾角為 則,tanv0 y3v0 x2123 4

14、1(2) 加速度的分量式為adv xxdt60 m s 2,aydv ydt40 m s 2則加速度的大小為22aaxay72.1 m s 2設(shè)a 與x 軸的夾角為 ,則ay2tan ax3 -33 41或3(26 19)1 -10一升降機(jī)以加速度 1.22 m -2 上升 ,當(dāng)上升速度為 2.44 m -1時,有一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫 ,天花板與升降機(jī)的底面相距2.74 m計(jì)算： (1)螺絲從天花板落到底面所需要的時間； (2)螺絲相對升降機(jī)外固定柱子的下降距離分析在升降機(jī)與螺絲之間有相對運(yùn)動的情況下,一種處理方法是取地面為參考系,分別討論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動和初速不為零的螺絲

15、的自由落體運(yùn)動,列出這兩種運(yùn)動在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動方程y1 y1(t)和y2 y2(t), 并考慮它們相遇 ,即位矢相同這一條件,問題即可解； 另一種方法是取升降機(jī)(或螺絲 )為參考系 ,這時 ,螺絲 (或升降機(jī) )相對它作勻加速運(yùn)動,但是 ,此加速度應(yīng)該是相對加速度升降機(jī)廂的高度就是螺絲(或升降機(jī) )運(yùn)動的路程解1(1)以地面為參考系 ,取如圖所示的坐標(biāo)系 ,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動方程分別為yv t1 at 2當(dāng)螺絲落至底面時,有y1 y2 ,即10y2hv0t21 gt 22v0t1 at 22hv0t1 gt 22t2h0.705 sga(2) 螺絲相對升降機(jī)外固定柱子下降的距離為dhy2v

16、0t1 gt 220.716 m解2(1)以升降機(jī)為參考系 , 此時 ,螺絲相對它的加速度大小a g a,螺絲落至底面時,有0h1 ( g2a)t 2t2h0.705 sga(2) 由于升降機(jī)在 t 時間內(nèi)上升的高度為hv0t1 at 22則dhh0.716 m1 -11一質(zhì)點(diǎn) P 沿半徑 R 3.0 m的圓周作勻速率運(yùn)動 ,運(yùn)動一周所需時間為 20.0 ,設(shè)t 0 時,質(zhì)點(diǎn)位于 O 點(diǎn)按 (a) 圖中所示 Oxy 坐標(biāo)系 ,求(1) 質(zhì)點(diǎn) P 在任意時刻的位矢； (2)5 時的速度和加速度分析該題屬于運(yùn)動學(xué)的第一類問題,即已知運(yùn)動方程 r r(t )求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的一切信息( 如位置矢量、位移、

17、速度、加速度) 在確定運(yùn)動方程時 ,若取以點(diǎn) (0,3) 為原點(diǎn)的 O x 坐標(biāo)y 系,并采用參數(shù)方程 x x(t)和y y( t)來表示圓周運(yùn)動是比較方便的然后 ,運(yùn)用坐標(biāo)變換 x x0 x和y y0 y將,所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至Oxy 坐標(biāo)系中 ,即得 Oxy 坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn) P 在任意時刻的位矢采用對運(yùn)動方程求導(dǎo)的方法可得速度和加速度解(1)如圖(B) 所示 ,在O x 坐y 標(biāo) 系 中 ,因2t ,則質(zhì)點(diǎn) PT的參數(shù)方程為txRsin 2T,tyRcos2T坐 標(biāo) 變 換 后 , 在Oxy 坐標(biāo)系中有txxRsin 2則質(zhì)點(diǎn) P 的位矢方程為,yyy0TtRcos 2 R TtirRsin

18、2 TRcos 2 R jtT3sin (0.1t)i31cos(0.1t) j(2) 5時的速度和加速度分別為vdr dt22 costiRTT22 Rsintj TT(0.3ms 1) jd2 radt 22 22 R() sintiTT2 22 R() costjTT( 0.032 ms 2 )i1 -12地面上垂直豎立一高 20.0 m 的旗桿 ,已知正午時分太陽在旗桿的正上方,求在下午 2 00 時,桿頂在地面上的影子的速度的大小在何時刻桿影伸展至20.0 m ？分析為求桿頂在地面上影子速度的大小,必須建立影長與時間的函數(shù)關(guān)系,即影子端點(diǎn)的位矢方程根據(jù)幾何關(guān)系,影長可通過太陽光線對地

19、轉(zhuǎn)動的角速度求得由于運(yùn)動的相對性,太陽光線對地轉(zhuǎn)動的角速度也就是地球自轉(zhuǎn)的角速度這樣,影子端點(diǎn)的位矢方程和速度均可求得解設(shè)太陽光線對地轉(zhuǎn)動的角速度為,從正午時分開始計(jì)時,則桿的影長為 shtg t,下午2 00 時,桿頂在地面上影子的速度大小為vds dth cos2t1.9410 3 m s 1當(dāng)桿長等于影長時,即s h,則t1 arctan s 36060 s即為下午 3 00 時h41 -13質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動 ,加速度 a 4 -t2 ,式中 a的單位為 m -2 ,t的單位為 如果當(dāng) t 3時 ,x 9 m,v 2 m -1 ,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程分析本題屬于運(yùn)動學(xué)第二類問題,即已知加速度求

20、速度和運(yùn)動方程,必須在給定條件下用積分方法解決 由 adv 和 v dtdx 可得 dvdtadt和 dxvdt 如a a(t)或v v(t),則可兩邊直接積分如果a 或v不是時間 t 的顯函數(shù) ,則應(yīng)經(jīng)過諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分解由分析知 ,應(yīng)有vtvdv 00adt得v4t1 t 3v03(1)x由dxx0得tvdt0 x2t 21 t 412v0tx0(2)將t 3時,x 9 m,v 2 m -1代入 (1)(2) 得v0 -1 m -1,x0 0.75 m于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程為x2t 21 t 4120.751 -14一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力 ,石子并非作

21、自由落體運(yùn)動,現(xiàn)測得其加速度 aA -B v,式中 A、 B 為正恒量 ,求石子下落的速度和運(yùn)動方程分析本題亦屬于運(yùn)動學(xué)第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù) ,因此 ,需將式 dv a(v)d t 分離變量為dv a(v)dt 后再兩邊積分解選取石子下落方向?yàn)?y 軸正向 ,下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)dv由題意知用分離變量法把式(1)改寫為將式 (2)兩邊積分并考慮初始條件,有adtdvABvABvdt(1)(2)vdvdvt dtv0 ABv0得石子速度vA (1 Be Bt )由此可知當(dāng) ,t時, vA為一常量 ,通常稱為極限速度或收尾速度B再由 vdydtA (1 Be Bt) 并

22、考慮初始條件有y dyt A (1e Bt )dt得石子運(yùn)動方程0yAt B0 BA (e Bt1) B2-21 -15一質(zhì)點(diǎn)具有恒定加速度a 6i 4j,式中 a的單位為 m在 t 0時,其速度為零,位置矢量 r0 10 mi 求： (1)在任意時刻的速度和位置矢量；(2) 質(zhì)點(diǎn)在 Oxy 平面上的軌跡方程 ,并畫出軌跡的示意圖分析與上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動,根據(jù)疊加原理 ,求解時需根據(jù)加速度的兩個分量 ax 和ay分別積分 ,從而得到運(yùn)動方程 r的兩個分量式 x(t)和y(t)由于本題中質(zhì)點(diǎn)加速度 為 恒 矢 量 , 故 兩 次 積 分 后 所 得 運(yùn) 動 方 程 為 固 定 形

23、 式 , 即 xx0v0 xt12tax和2yy0v0yta t 2y,兩個分運(yùn)動均為勻變速直線運(yùn)動讀者不妨自己驗(yàn)證一下解由加速度定義式 ,根據(jù)初始條件 t0 0時v0 0,積分可得vtvdadt00t(6i04 j)dtv6ti4tj又由 vdr及初始條件 t0 時,rdt0 (10 m) i,積分可得rtdrvdtr00t(6ti04tj)dtr(103t 2) i2t2 j由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程的分量式,即2x 10 3t消去參數(shù) t,可得運(yùn)動的軌跡方程2y 2t3y 2x -20 m這是一個直線方程直線斜率kdy dxtan2, 33 41軌跡如圖所示31 -16一質(zhì)點(diǎn)在半徑為R

24、的圓周上以恒定的速率運(yùn)動,質(zhì)點(diǎn)由位置 A 運(yùn)動到位置 B,OA和 OB所 對 的 圓 心 角 為 (1)試 證 位 置 A和 B之 間 的 平 均 加 速 度 為a2(1cos)v 2/( R) ； (2) 當(dāng)分別等于 90、30、10和1時,平均加速度各為多少？ 并對結(jié)果加以討論分 析瞬 時 加 速 度 和 平 均 加 速 度 的 物 理 含 義 不 同 , 它 們 分 別 表 示 為 adv 和dtnav 在勻速率圓周運(yùn)動中,它們的大小分別為at2v, a Rv,式中 v可由圖t(B) 中的幾何關(guān)系得到 ,而t 可由轉(zhuǎn)過的角度 求出由計(jì)算結(jié)果能清楚地看到兩者之間的關(guān)系,即瞬時加速度是平均加

25、速度在t0 時的極限值解(1) 由圖 (b) 可看到 v v2 -v1 ,故vv22v122v1v 2cosv2(1cos)而ts v所以va2(1tR vcos)2vR(2) 將 90,30 ,10 ,1 分別代入上式 ,得212a0.9003 v, a20.9886 vRRa30.99872v, a421.000 vRR以上結(jié)果表明 ,當(dāng) 0時,勻速率圓周運(yùn)動的平均加速度趨近于一極限值,該值即為法v 2向加速度R1 -17質(zhì)點(diǎn)在 Oxy 平面內(nèi)運(yùn)動 ,其運(yùn)動方程為 r 2.0ti (19.0 -2.0t2 )j,式中 r 的單位為m,t 的單位為 s求： (1) 質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；(2) 在

26、t1 1.0s 到t2 2.0s 時間內(nèi)的平均速度； (3) t 1 1.0時的速度及切向和法向加速度；(4) t 1.0s 時質(zhì)點(diǎn)所在處軌道的曲率半徑分析根據(jù)運(yùn)動方程可直接寫出其分量式x x(t)和y y(t ),從中消去參數(shù) t,即得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程平均速度是反映質(zhì)點(diǎn)在一段時間內(nèi)位置的變化率,即 vr,它與時間間隔 t 的t大小有關(guān) ,當(dāng)t0時,平均速度的極限即瞬時速度vdr dt切向和法向加速度是指在自然坐標(biāo)下的分矢量 a 和an ,前者只反映質(zhì)點(diǎn)在切線方向速度大小的變化率,即 atdv etdt,后者只反映質(zhì)點(diǎn)速度方向的變化,它可由總加速度 a 和a 得到在求得 t1 時刻質(zhì)點(diǎn)的速度和法

27、向加v 2速度的大小后 ,可由公式 an求 解(1) 由參數(shù)方程消去 t 得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：x 2.0t,y 19.0-2.0 t2 y 19.0 -0.50 x2在t1 1.00 到t2 2.0時間內(nèi)的平均速度vr tr2r1t2t12.0i6.0 j質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的速度和加速度分別為v(t)vx ivy jdx idtdy jdt2.0i4.0tja (t )d2 x dt 2 id 2 ydt 2j4.0 ms 2 j則t1 1.00時的速度v(t) t 1 2.0i -4.0j切向和法向加速度分別為tadv ed (v 2v2 )e3.58 m s 2edtdtt t 1 sxytta

28、a 2a2e1.79 m s 2entnnt 1.0質(zhì)點(diǎn)的速度大小為v224.47 m s 1vvxyv2則 11.17 m an-11 -18飛機(jī)以 100 m的速度沿水平直線飛行,在離地面高為 100 m時,駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標(biāo)處,問：(1) 此時目標(biāo)在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？(2) 投放物品時 ,駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？(3) 物品投出 2.0后 ,它的法向加速度和切向加速度各為多少？分析 物品空投后作平拋運(yùn)動忽略空氣阻力的條件下 ,由運(yùn)動獨(dú)立性原理知 ,物品在空中沿水平方向作勻速直線運(yùn)動 ,在豎直方向作自由落體運(yùn)動到達(dá)地面目標(biāo)時 ,兩方向上運(yùn)動時間是相同的

29、因此 ,分別列出其運(yùn)動方程 ,運(yùn)用時間相等的條件 ,即可求解此外 ,平拋物體在運(yùn)動過程中只存在豎直向下的重力加速度為求特定時刻t時物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時刻它們與重力加速度之間的夾角或由圖可知 ,在特定時刻 t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角,可由此時刻的兩速度分量vx 、vy求出 ,這樣,也就可將重力加速度 g 的切向和法向分量求得解(1) 取如圖所示的坐標(biāo),物品下落時在水平和豎直方向的運(yùn)動方程分別為x vt,y 1/2 gt 2飛機(jī)水平飛行速度v 100 ms-1 ,飛機(jī)離地面的高度y 100 m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離xv2 y g452 m視線和水

30、平線的夾角為 arctan yx12.5o在任意時刻物品的速度與水平軸的夾角為vygt arctanvxarctanv取自然坐標(biāo) ,物品在拋出 2s 時,重力加速度的切向分量與法向分量分別為atgsin gsinarctan gtv1.88 m s 2angcosgcosarctan gtv9.62 m s 21 -19如圖 (a)所示 ,一小型迫擊炮架設(shè)在一斜坡的底端O 處,已知斜坡傾角為,炮身與斜坡的夾角為 ,炮彈的出口速度為v0,忽略空氣阻力 求：(1) 炮彈落地點(diǎn) P 與點(diǎn) O 的距離 OP；1(2)欲使炮彈能垂直擊中坡面證明和必須滿足tan 并與 v0 無關(guān)2tan 分析這是一個斜上

31、拋運(yùn)動,看似簡單 ,但針對題目所問,如不能靈活運(yùn)用疊加原理,建立一個恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 ,將運(yùn)動分解的話 ,求解起來并不容易 現(xiàn)建立如圖 (a)所示坐標(biāo)系 ,則炮彈在x 和y 兩個方向的分運(yùn)動均為勻減速直線運(yùn)動,其初速度分別為v0cos和v0sin,其加速度分別為gsin和gcos在此坐標(biāo)系中炮彈落地時,應(yīng)有y 0,則x OP如欲使炮彈垂直擊中坡面,則應(yīng)滿足 vx 0,直接列出有關(guān)運(yùn)動方程和速度方程,即可求解由于本題中加速度g 為恒矢量故第一問也可由運(yùn)動方程的矢量式計(jì)算,即 rv 0t1 gt 2 ,做出炮彈落地時的矢量圖 如2圖(B) 所示 ,由圖中所示幾何關(guān)系也可求得OP(即圖中的 r 矢量 )

32、解1由分析知 ,炮彈在圖 (a)所示坐標(biāo)系中兩個分運(yùn)動方程為xv0tcos1 gt2sin2(1)令y 0 求得時間 t 后再代入式 (1) 得yv0tsin 1 gt 2cos2(2)00OPx2 v 2sin(cos cos sin sin )2 v 2sincos( )gcos2gcos2解2做出炮彈的運(yùn)動矢量圖,如圖 (b) 所示 ,并利用正弦定理 ,有1 gt 2sinr 2sinv0t 22sin 從中消去 t 后也可得到同樣結(jié)果(2) 由分析知 ,如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿足y 0 和vx 0,則由(2)(3) 兩式消去 t 后得tan vxv0cos 12sin gtsin 0(3

33、)由此可知只要角和 滿足上式 ,炮彈就能垂直擊中坡面 ,而與 v0 的大小無關(guān)討論如將炮彈的運(yùn)動按水平和豎直兩個方向分解,求解本題將會比較困難,有興趣讀者不妨自己體驗(yàn)一下1 -20一直立的雨傘,張開后其邊緣圓周的半徑為R,離地面的高度為 h,(1) 當(dāng)傘繞傘柄以勻角速 旋轉(zhuǎn)時 ,求證水滴沿邊緣飛出后落在地面上半徑為rR 12h2 / g的圓周上；(2)讀者能否由此定性構(gòu)想一種草坪上或農(nóng)田灌溉用的旋轉(zhuǎn)式灑水器的方案？分析選定傘邊緣 O 處的雨滴為研究對象,當(dāng)傘以角速度 旋轉(zhuǎn)時 ,雨滴將以速度 v 沿切線方向飛出 ,并作平拋運(yùn)動建立如圖(a)所示坐標(biāo)系 ,列出雨滴的運(yùn)動方程并考慮圖中所示幾何關(guān)系

34、,即可求證由此可以想像如果讓水從一個旋轉(zhuǎn)的有很多小孔的噴頭中飛出,從不同小孔中飛出的水滴將會落在半徑不同的圓周上,為保證均勻噴灑對噴頭上小孔的分布還要給予精心的考慮解(1) 如圖 (a)所示坐標(biāo)系中 ,雨滴落地的運(yùn)動方程為xvtRt(1)由式 (1)(2) 可得22R22hxgy1 gt 2h2(2)由圖 (a)所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為rx2R22h2R 1g(2) 常用草坪噴水器采用如圖(b) 所示的球面噴頭(0 45)其上有大量小孔噴頭旋轉(zhuǎn)時, 水滴以初速度 v0 從各個小孔中噴出 ,并作斜上拋運(yùn)動 ,通常噴頭表面基本上與草坪處在同一水平面上則以角噴射的水柱射程為Rv 0sin

35、 2 g為使噴頭周圍的草坪能被均勻噴灑,噴頭上的小孔數(shù)不但很多,而且還不能均勻分布, 這是噴頭設(shè)計(jì)中的一個關(guān)鍵問題1 -21一足球運(yùn)動員在正對球門前25.0 m 處以 20.0 m -1 的初速率罰任意球 ,已知球門高為 3.44 m若要在垂直于球門的豎直平面內(nèi)將足球直接踢進(jìn)球門,問他應(yīng)在與地面成什么角度的范圍內(nèi)踢出足球？( 足球可視為質(zhì)點(diǎn) )分析被踢出后的足球 ,在空中作斜拋運(yùn)動 ,其軌跡方程可由質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動方程得到由于水平距離x 已知 ,球門高度又限定了在 y 方向的范圍 ,故只需將 x、y 值代入即可求出解取圖示坐標(biāo)系 Oxy,由運(yùn)動方程消去 t 得軌跡方程xvtcos,yvt

36、sin 1 gt22yxtan g(1 2v2tan2) x2以x 25.0 m,v 20.0 m -1 及3.44 m y 0代入后 ,可解得71111 69 9227922 18 89如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下,球擊中球門底線或球門上緣都將對應(yīng)有兩個不同的投射傾角(如圖所示 )如果以 71 11或 18.89 踢出足球 ,都將因射程不足而不能直接射入球門；由于球門高度的限制, 角也并非能取 71.11 與18.89 之間的任何值當(dāng)傾角取值為 27.92 69 92時,踢出的足球?qū)⒃竭^門緣而離去,這時球也不能射入球門因此可取的角度范圍只能是解中的結(jié)果1 -22一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為

37、R 的圓周按規(guī)律sv0t1 bt 22運(yùn)動 ,v0 、b 都是常量 (1) 求t時刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；(2) t 為何值時總加速度在數(shù)值上等于b？(3) 當(dāng)加速度達(dá)到 b 時,質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？分析在自然坐標(biāo)中 ,s 表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐標(biāo)由給定的運(yùn)動方程s s(t),對時間 t 求一階、 二階導(dǎo)數(shù) ,即是沿曲線運(yùn)動的速度v 和加速度的切向分量 a ,而加速度的法向分量為 an v2 / R這樣 ,總加速度為 a a e anen至于質(zhì)點(diǎn)在 t 時間內(nèi)通過的路程,即為曲線坐標(biāo)的改變量 sst -s0因圓周長為 2R,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得0解(1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動的速率為v

38、其加速度的切向分量和法向分量分別為dsvbt dt2ad sb ,a2v(v02bt )tdt 2nRRt故加速度的大小為aa22anta 2b2(v0Rbt )42其方向與切線之間的夾角為 arctananat122arctan4(v0bt) Rb要使 a b,由R bR(v0bt)tb 可得v0b從t 0 開始到 t v0 /b 時,質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為0v2ssts02b因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為ns2R2v04bR1 -23一半徑為 0.50 m 的飛輪在啟動時的短時間內(nèi),其角速度與時間的平方成正比在t 2.0 時測得輪緣一點(diǎn)的速度值為4.0 m-1求： (1) 該輪在 t 0.5的角速度 ,輪

39、緣一點(diǎn)的切向加速度和總加速度；(2)該點(diǎn)在 2.0內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度分析首先應(yīng)該確定角速度的函數(shù)關(guān)系 kt2依據(jù)角量與線量的關(guān)系由特定時刻的速度值可得相應(yīng)的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)k, ( t)確定后 ,注意到運(yùn)動的角量描述與線量描述的相應(yīng)關(guān)系,由運(yùn)動學(xué)中兩類問題求解的方法(微分法和積分法),即可得到特定時刻的角加速度、切向加速度和角位移解因R v,由題意 t2 得比例系數(shù)kvt 2Rt22 rad s 3所以(t )2t 2則t 0.5 時的角速度、角加速度和切向加速度分別為2t 20.5rad s 1 d4t dt2.0 rad s 22atR1.0 m s總加速度aa natRetn2

40、Re2aR222 R1.01 m s在2.0內(nèi)該點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的角度20 0dt2 2t 2dt02 t3 2035.33 rad1 -24一質(zhì)點(diǎn)在半徑為0.10 m的圓周上運(yùn)動 ,其角位置為 24t 3 ,式中 的單位為rad,t 的單位為 (1) 求在t 2.0時質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度(2) 當(dāng)切向加速度的大小恰等于總加速度大小的一半時, 值為多少？ (3) t 為多少時 ,法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對應(yīng)關(guān)系,應(yīng)用運(yùn)動學(xué)求解的方法即可得到解(1)由 于 2加速度的數(shù)值分別為4t3 ,則角速度 d 12t 2dt在 t 2 時,法向加速度和切向

41、an t 2 sr22.30 m s 2tat t 2 sr d dt4.80 m s 2(2) 當(dāng) ata / 212aat2n2 時,有 3a 2a2 ,即4得t33 24rtn2123r 2 12t 2此時刻的角位置為 24t 33.15rad(3) 要使anat ,則有23 24rt4r 2 12t 2t 0.551 -25一無風(fēng)的下雨天 ,一列火車以 v1 20.0 m -1 的速度勻速前進(jìn) ,在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75角下降求雨滴下落的速度v2 (設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動)分析這是一個相對運(yùn)動的問題設(shè)雨滴為研究對象,地面為靜止參考系 ,火車為動參考系 v1 為 相對

42、的速度 ,v2 為雨滴相對的速度,利用相對運(yùn)動速度的關(guān)系即可解解以地面為參考系 ,火車相對地面運(yùn)動的速度為v1 ,雨滴相對地面豎直下落的速度為v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2為相對速度 ,它們之間的關(guān)系為v 2可得v 2v1(如圖所示 ),于是v1v 2tan 75o5.36 m s 11 -26 如圖 (a)所示 ,一汽車在雨中沿直線行駛 ,其速率為 v1 ,下落雨滴的速度方向偏于豎直方向之前 角,速率為 v2若,車后有一長方形物體 ,問車速 v1為多大時 ,此物體正好不會被雨水淋濕？分析 這也是一個相對運(yùn)動的問題可視雨點(diǎn)為研究對象 ,地面為靜參考系 ,汽車為動參考系 如圖 (a)所示 ,

43、要使物體不被淋濕 ,在車上觀察雨點(diǎn)下落的方向 (即雨點(diǎn)相對于汽車的運(yùn)動速度 v2的方向 )應(yīng)滿足 arctan lh再由相對速度的矢量關(guān)系v 2v 2v1 ,即可求出所需車速 v1解由 v 2v 2v1 圖 (b) ,有arctanv1v 2sin v2cos而要使 arctan l , 則hv1v2sin l v2coshv1v2lcos hsin 1 -27一人能在靜水中以1.10 m-1的速度劃船前進(jìn)今欲橫渡一寬為1.00103 m 、水流速度為 0.55 m -1 的大河(1) 他若要從出發(fā)點(diǎn)橫渡該河而到達(dá)正對岸的一點(diǎn) ,那么應(yīng)如何確定劃行方向？ 到達(dá)正對岸需多少時間？ (2) 如果希

44、望用最短的時間過河 ,應(yīng)如何確定劃行方向？ 船到達(dá)對岸的位置在什么地方？分析 船到達(dá)對岸所需時間是由船相對于岸的速度 v 決定的由于水流速度 u的存在 , v 與船在靜水中劃行的速度 v之間有 v u v如(圖所示 )若要使船到達(dá)正對岸 ,則必須使 v沿正對岸方向；在劃速一定的條件下 ,若要用最短時間過河 ,則必須使 v 有極大值解(1) 由v u v可知 arcsin uv,則船到達(dá)正對岸所需時間為tddvv cos1.05103 s(2) 由于 vv cos ,在劃速 v一定的條件下 ,只有當(dāng) 0 時, v 最大( 即vv此), 時 ,船過河時間 t d /v船,到達(dá)距正對岸為l 的下游處

45、 ,且有l(wèi)utu d5.0 v102 m-28 一質(zhì)點(diǎn)相對觀察者 O 運(yùn)動 , 在任意時刻 t , 其位置為 x vt , ygt 2 /2,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡為拋物線 若另一觀察者 O以速率 v 沿x 軸正向相對于 O 運(yùn)動 試問質(zhì)點(diǎn)相對 O的軌跡和加速度如何？分析該問題涉及到運(yùn)動的相對性如何將已知質(zhì)點(diǎn)相對于觀察者O 的運(yùn)動轉(zhuǎn)換到相對于觀察者 O的運(yùn)動中去 ,其實(shí)質(zhì)就是進(jìn)行坐標(biāo)變換,將系O 中一動點(diǎn) (x,y)變換至系 O中的點(diǎn)( xy,)由于觀察者 O相對于觀察者 O 作勻速運(yùn)動 ,因此,該坐標(biāo)變換是線性的解取Oxy 和Ox分y別為觀察者 O 和觀察者 O所在的坐標(biāo)系 , 且使 Ox 和Ox兩

46、軸平行在 t 0 時,兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合由坐標(biāo)變換得x x - v t v t - v t 0 y y 1/2 gt2d 2 y加速度aaydt 2g由此可見 ,動點(diǎn)相對于系 O是在 y 方向作勻變速直線運(yùn)動動點(diǎn)在兩坐標(biāo)系中加速度相同,這也正是伽利略變換的必然結(jié)果第二章牛頓定律-1 如圖 (a)所示 ,質(zhì)量為 m 的物體用平行于斜面的細(xì)線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上 ,若斜面向左方作加速運(yùn)動 ,當(dāng)物體剛脫離斜面時 ,它的加速度的大小為 ( )(A) gsin (B) gcos (C) gtan (D) gcot 分析與解 當(dāng)物體離開斜面瞬間 ,斜面對物體的支持力消失為零 ,物體在繩子拉力 F (其方向仍可

47、認(rèn)為平行于斜面 )和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度 a,如圖 (b) 所示 ,由其可解得合外力為 mgcot ,故選 (D) 求解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開斜面瞬間的物體受力情況和狀態(tài)特征2 -2用水平力 FN 把一個物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止當(dāng)F N 逐漸增大時 ,物體所受的靜摩擦力 F f的大小 ()不為零 ,但保持不變隨F N成正比地增大開始隨 F N增大 ,達(dá)到某一最大值后,就保持不變無法確定分析與解與滑動摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值F N 范圍內(nèi)取值 當(dāng)F N增加時,靜摩擦力可取的最大值成正比增加,但具體大小則取決于被作用物體的運(yùn)動狀態(tài)由題意知,物體一直保持

48、靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩擦力與重力大小相等,方向相反 ,并保持不變 ,故選 (A) 2 -3一段路面水平的公路 ,轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為 R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為,要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑,汽車在該處的行駛速率()不得小于gR必須等于gR不得大于gR還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m 決定分析與解由題意知 ,汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動,為保證汽車轉(zhuǎn)彎時不側(cè)向打 滑, 所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應(yīng)為F N由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為v Rg因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時的實(shí)際速率不大于此值,均能保證不側(cè)向打滑應(yīng)選(C)2 -4一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑,在下滑過程中 ,

49、則()它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心,其速率保持不變它受到的軌道的作用力的大小不斷增加它受到的合外力大小變化,方向永遠(yuǎn)指向圓心它受到的合外力大小不變,其速率不斷增加分析與解由圖可知 ,物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以及時刻指向圓軌道中心的軌道支持力FN作用 ,其合外力方向并非指向圓心,其大小和方向均與物體所在位置有關(guān)重力的切向分量(m gcos ) 使物體的速率將會不斷增加(由機(jī)械能守恒亦可判斷),則物體 作 圓 周 運(yùn) 動 的 向 心 力( 又稱 法 向 力 ) 將 不 斷 增 大 , 由 軌 道 法 向 方 向 上 的動 力 學(xué) 方 程FNmgsin 2m v可判斷 ,隨 角的不斷增

50、大過程,軌道支持力 F N 也將不斷增大 ,由此可R見應(yīng)選 (B) 2 -5圖(a)示系統(tǒng)置于以 a 1/4 g 的加速度上升的升降機(jī)內(nèi),A、B 兩物體質(zhì)量相同均為m,A所在的桌面是水平的,繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì),若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦,并不計(jì)空氣阻力 ,則繩中張力為 ()(A) 58 mg(B) 12 mg(C) mg(D) 2 mg分析與解本題可考慮對 A 、B兩物體加上慣性力后 ,以電梯這個非慣性參考系進(jìn)行求解此時 A 、B 兩物體受力情況如圖 (b)所示 ,圖中 a為A、 B 兩物體相對電梯的加速度,ma為慣性力對 A 、B 兩物體應(yīng)用牛頓第二定律,可解得 F 5/8 mg故選

51、(A) 討論對于習(xí)題 2 -5 這種類型的物理問題,往往從非慣性參考系(本題為電梯 )觀察到的運(yùn)動圖像較為明確 ,但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時, 必須對物體加上一個虛擬的慣性力如以地面為慣性參考系求解,則兩物體的加速度aA 和 aB 均應(yīng)對地而言 ,本題中 aA 和aB 的大小與方向均不相同 其中 aA 應(yīng)斜向上 對aA 、aB 、a 和a之間還要用到相對運(yùn)動規(guī)律,求解過程較繁有興趣的讀者不妨自己嘗試一下2 -6圖示一斜面 ,傾角為 ,底邊 AB長為l2.1 m,質(zhì)量為 m 的物體從題 2 -6 圖斜面頂端由靜止開始向下滑動,斜面的摩擦因數(shù)為 0.14試問

52、,當(dāng)為何值時 ,物體在斜面上下滑的時間最短？其數(shù)值為多少？分析 動力學(xué)問題一般分為兩類： (1) 已知物體受力求其運(yùn)動情況； (2) 已知物體的運(yùn)動情況來分析其所受的力 當(dāng)然 ,在一個具體題目中 ,這兩類問題并無截然的界限 ,且都是以加速度作為中介 ,把動力學(xué)方程和運(yùn)動學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來本題關(guān)鍵在列出動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)方程后,解出傾角與時間的函數(shù)關(guān)系 f(t),然后運(yùn)用對 t 求極值的方法即可得出數(shù)值來解取沿斜面為坐標(biāo)軸Ox,原點(diǎn) O 位于斜面頂點(diǎn) ,則由牛頓第二定律有又物體在斜面上作勻變速直線運(yùn)動,故有mgsin mgcos ma(1)l cos則t1 at 222l1 g sin 2cos t 2

53、(2)gcossin cos為使下滑的時間最短 ,可令 dtd0 ,由式 (2)有sin sin cos cos cos sin 0則可得tan 21 ,49 o此時t2l gcossin cos0.99 s2 -7工地上有一吊車 ,將甲、乙兩塊混凝土預(yù)制板吊起送至高空甲塊質(zhì)量為 m1 2.00102 kg,乙塊質(zhì)量為 m2 1.00102 kg設(shè)吊車、 框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計(jì)試求下述兩種情況下 ,鋼絲繩所受的張力以及乙塊對甲塊的作用力：(1) 兩物塊以 10.0 m -2 的加速度上升；兩物塊以 1.0 m的道理嗎？-2, 的加速度上升從本題的結(jié)果你能體會到起吊重物時必須緩慢加速分析預(yù)制板、

54、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體處理動力學(xué)問題通常采用“隔離體 ” 的方法 ,分析物體所受的各種作用力,在所選定的慣性系中列出它們各自的動力學(xué)方程根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)目的方程式結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系,可解決物體的運(yùn)動或相互作用力解按題意 ,可分別取吊車 (含甲、乙 )和乙作為隔離體 ,畫示力圖 ,并取豎直向上為 Oy 軸正方向 (如圖所示 )當(dāng)框架以加速度a 上升時 ,有F -(m1 m2 )g (m1 m2 )a(1) F N2 - m2 g m2 a(2)解上述方程 ,得F (m1 m2 )(g a)(3) FN2m2 (g a)(4)-2當(dāng)整個裝置以加速度 a 10

55、m 上升時 ,由式 (3) 可得繩所受張力的值為乙對甲的作用力為F5.94103 NF N2 -F N2 -m2 (g a) -1.98103 N當(dāng)整個裝置以加速度 a 1 m -2 上升時 ,得繩張力的值為此時 ,乙對甲的作用力則為F3.24F N2 -1.08103 N103 N由上述計(jì)算可見,在起吊相同重量的物體時,由于起吊加速度不同,繩中所受張力也不同,加速度大 ,繩中張力也大因此 ,起吊重物時必須緩慢加速,以確保起吊過程的安全2 -8如圖 (a) 所示 ,已知兩物體 A 、B的質(zhì)量均為 m 3.0kg 物體 A以加速度 a 1.0 m-2 運(yùn)動 ,求物體 B 與桌面間的摩擦力 (滑輪

56、與連接繩的質(zhì)量不計(jì))分析該題為連接體問題 ,同樣可用隔離體法求解分析時應(yīng)注意到繩中張力大小處處相等是有條件的,即必須在繩的質(zhì)量和伸長可忽略、滑輪與繩之間的摩擦不計(jì)的前提下成 立同時也要注意到張力方向是不同的解分別對物體和滑輪作受力分析圖 (b)由牛頓定律分別對物體A 、B 及滑輪列動力學(xué)方程 ,有mA g -F mA a(1)F 1 -F mB a(2)F -2F 1 0(3)考慮到 mA mB m, F F, F1 F 1 ,a 2a,可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力Ffmgm24m a7.2 N討論 動力學(xué)問題的一般解題步驟可分為： (1) 分析題意 ,確定研究對象 ,分析受力 ,選定坐標(biāo)；

57、(2) 根據(jù)物理的定理和定律列出原始方程組； (3) 解方程組 ,得出文字結(jié)果； (4) 核對量綱 ,再代入數(shù)據(jù) ,計(jì)算出結(jié)果來2 -9 質(zhì)量為 m的長平板 A 以速度 v在光滑平面上作直線運(yùn)動 ,現(xiàn)將質(zhì)量為 m 的木塊 B輕輕平穩(wěn)地放在長平板上 ,板與木塊之間的動摩擦因數(shù)為 ,求木塊在長平板上滑行多遠(yuǎn)才能與板取得共同速度？分析 當(dāng)木塊 B 平穩(wěn)地輕輕放至運(yùn)動著的平板 A 上時 ,木塊的初速度可視為零 ,由于它與平板之間速度的差異而存在滑動摩擦力 ,該力將改變它們的運(yùn)動狀態(tài)根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對地面的加速度 換以平板為參考系來分析 ,此時 ,木塊以初速度 -v與(平板運(yùn)動速率大小相等、

58、方向相反 )作勻減速運(yùn)動 ,其加速度為相對加速度 ,按運(yùn)動學(xué)公式即可解得該題也可應(yīng)用第三章所講述的系統(tǒng)的動能定理來解將平板與木塊作為系統(tǒng),該系統(tǒng)的動能由平板原有的動能變?yōu)槟緣K和平板一起運(yùn)動的動能,而它們的共同速度可根據(jù)動量定理 求得又因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功,根據(jù)系統(tǒng)的動能定理 ,摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動能的增量木塊相對平板移動的距離即可求出解1以地面為參考系 ,在摩擦力 F mg的作用下 ,根據(jù)牛頓定律分別對木塊、 平板列出動力學(xué)方程F mg ma1 F -F ma2a1 和a2 分別是木塊和木板相對地面參考系的加速度 若以木板為參考系 ,木塊相對平板的加速度 a a1 a2 ,木塊相對平板以

59、初速度 - v作勻減速運(yùn)動直至最終停止 由運(yùn)動學(xué)規(guī)律有- v2 由上述各式可得木塊相對于平板所移動的距離為2as2sm v2g mm解2以木塊和平板為系統(tǒng) ,它們之間一對摩擦力作的總功為W F (s l) - F l mgs式中 l 為平板相對地面移動的距離由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力,當(dāng)木塊放至平板上時 ,根據(jù)動量守恒定律,有mv (m m) v由系統(tǒng)的動能定理,有由上述各式可得mgsm v 21 m22m v 22sm v2g mm2 -10如圖 (a)所示 ,在一只半徑為 R 的半球形碗內(nèi) ,有一粒質(zhì)量為 m 的小鋼球 ,當(dāng)小球以角速度 在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動時,它距碗底有多高

60、？分析維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動時,必須使鋼球受到一與向心加速度相對應(yīng) 的力 (向心力 ),而該力是由碗內(nèi)壁對球的支持力FN 的分力來提供的 ,由于支持力 FN 始終垂直于碗內(nèi)壁 ,所以支持力的大小和方向是隨而變的取圖示 Oxy 坐標(biāo) ,列出動力學(xué)方程 ,即可求解鋼球距碗底的高度解取鋼球?yàn)楦綦x體 ,其受力分析如圖 (b) 所示在圖示坐標(biāo)中列動力學(xué)方程FN sin manmR2sin (1)FN cos mg(2)且有由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為h可見 ,h 隨的變化而變化cos RhRRg2(3)2 -11火車轉(zhuǎn)彎時需要較大的向心力,如果兩條鐵軌都在同一水平面內(nèi)(內(nèi)軌、外軌等高 )