微積分多元函數(shù)微分習(xí)題講解_第1頁
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文檔簡介

1、多元函數(shù)練習(xí)題1. 討論二重極限解法1解法2 令解法3 令時, 下列算法是否正確?分析:解法1解法2 令此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況, 此法排除了沿曲線趨于原點(diǎn)的情況. 此時極限為 1 .第二步 未考慮分母變化的所有情況, 解法3 令此法忽略了 的任意性,極限不存在 !由以上分析可見, 三種解法都不對, 因?yàn)槎疾荒鼙ＷC自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn) .特別要注意, 在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限, 但要注意在定義域內(nèi) r , 的變化應(yīng)該是任意的. 同時還可看到, 本題極限實(shí)際上不存在 .提示: 利用 故 f 在 (0,0) 連續(xù);知在點(diǎn)(0,0) 處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 , 但不可

2、微 . 2. 證明:而所以 f 在點(diǎn)(0,0)不可微 !例1. 已知求出 的表達(dá)式. 解法1 令即解法2 以下與解法1 相同.則且二、多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1. 分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫變量關(guān)系圖)自變量個數(shù) = 變量總個數(shù) 方程總個數(shù)自變量與因變量由所求對象判定2. 正確使用求導(dǎo)法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”注意正確使用求導(dǎo)符號3. 利用一階微分形式不變性例2. 設(shè)其中 f 與F分別具解法1 方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù), 求(1999 考研)解法2 方程兩邊求微分, 得化簡消去 即可得例3.設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且求解:練習(xí)題設(shè)函數(shù) f 二階連續(xù)可微, 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)解答提示:三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1.極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) 求解最值問題2.在微分方程變形等中的應(yīng)用例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解: 設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則 P 的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):作拉氏函數(shù)到平面令解

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