高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案(湖南卷)(Word)

1、2013 年高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案(湖南卷 )(Word 版) PAGE 9 / 92013 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的。復(fù)數(shù) z=i（1+i）（i 為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限某學(xué)校有男、 女學(xué)生各 500 名，為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100 名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是()抽簽法B. 隨機(jī)數(shù)法C. 系統(tǒng)抽樣法D. 分層抽樣法在銳角 ABC

2、 中，角 A，B 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a，b。若 2asin BB.C.D.126433b ，則角 A 等于()若變量 x，y 滿足約束條件y2 x,xy1,y1,則 x2 y 的最大值是 ()5B. C.25D.5232函數(shù) f x2 ln x的圖象與函數(shù) g xx4x5 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()A. 3B. 2C. 1D. 0已知 a， b 是單位同量， a b=0。若向量 c 滿足 cab1 ，則的取值范圍是 ()21 ,21B. 21,22 C. 1,21D. 1,22已知棱長(zhǎng)為 1 的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1 的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于 ()A. 1B.2C.21

3、2D.21 2在等腰直角三角形 ABC 中， AB=AC=4，點(diǎn) P 是邊 AB 上異于 A， B 的一點(diǎn)，光線從點(diǎn) P 出發(fā)，經(jīng) BC，CA 反射后又回到點(diǎn) P（如圖 1）。若光線 QR 經(jīng)過(guò) ABC 的重心，則 AP 等于( )2B. 1C.8D.433二、填空題：本大題共 8 小題，考生作答 7 小題，每小題 5 分 ，共 35 分。（一）選做題（請(qǐng)考生在第 9，10，11 三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）x在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若直線 l：yt ,x(t 為參數(shù))過(guò)橢圓 C：tay3cos , 2 sin(為參數(shù)) 的右頂點(diǎn)，則常數(shù) a 的值為.已知a,b, cR

4、， a+2b+3c=6，則 a 24b 29c 2 的最小值為.如圖 2，在半徑為 7 的 O 中，弦 AB，CD 相交于點(diǎn) P，PA=PB=2， PD=1，則圓心 O 到弦 CD 的距離為.( 二) 必做題（ 12 16 題）若 T x 2 dx09 ，則常數(shù) T 的值為.執(zhí)行如圖 3 所示的程序框圖，如果輸入 a=1， b=2，則輸出的 a 的值為.設(shè)x 2F1 ， F2 是雙曲線 C： 2a2y1 （a0，b0）的兩個(gè)焦b 2點(diǎn)，P 是 C 上一點(diǎn)。若PF1PF26a ，且PF1 F2 的最小內(nèi)角為 30，則 C 的離心率為.設(shè) Sn 為數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和， Snnan1 ， nn

5、N，則（1） a1 =；（2） S1S2S100 =。設(shè)函數(shù) f xa xbxcx ，其中 ca0，cb0。記集合 M= （ a, b,c ）| a, b, c 不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，且a=b ，則（ a,b,c ） M 所對(duì)應(yīng)的 f（x）的零點(diǎn)的取值集合為；若 a, b, c 是 ABC 的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是。（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）x,1 ，f（x）0； xR ，使ax , bx , cx 不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；若 ABC 為鈍角三角形，則x(1,2)，使 f（x）=0。三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.

6、（本小題滿分 12 分）已知函數(shù) f（x）=sin（ x）+cos（ x），g（x）=2sin2 x 。632（）若是第一象限角，且 f（） = 335，求 g（）的值；（）求使 f（x） g（ x）成立的 x 的取值集合。18.（本小題滿分 12 分）某人在如圖 4 所示的直角邊長(zhǎng)為 4 米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該 種作物的年收獲量 Y（單位： kg）與它的“相近”作物株數(shù) X 之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1 米。（）從三角形地塊

7、的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近” 的概率；（）從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望。19.（本小題滿分 12 分）如圖 5，在直棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AD /AD=AA1=3。BC ， BAD=90，ACBD ，BC=1，（）證明： ACB1D ；（）求直線 B1C1 與平面 ACD1 所成角的正弦值。20.（本小題滿分 13 分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，將從點(diǎn) M 出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn) N 的任一路徑稱為 M 到 N 的一條“ L 路徑”。如圖 6 所示的路徑 MM1 M2 M3N 與路徑 MN1N 都是 M 到 N 的“

8、 L 路徑”。某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy 內(nèi)三點(diǎn) A（3，20），B（-10， 0），C（14，0）處，現(xiàn)計(jì)劃在 x 軸上方區(qū)域（包含 x 軸）內(nèi)的某一點(diǎn) P 處修建一個(gè)文化中心。（）寫出點(diǎn) P 到居民區(qū) A 的“ L 路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式（不要求證明） ；（）若以原點(diǎn) O 為圓心，半徑為 1 的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)， “L 路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)。請(qǐng)確定點(diǎn) P 的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L 路徑”長(zhǎng)度之和最小。21.（本小題滿分 13 分）過(guò)拋物線 E： x22 py（ p0）的焦點(diǎn) F 作斜率分別為 k1，k2 的兩條不同直線 l 1，l 2，且 k1k 22。l1 與 E

9、 相交于點(diǎn) A，B； l2 與 E 相交于點(diǎn) C，D。以 AB，CD 為直徑的圓2M，圓 N（M， N 為圓心）的公共弦所在直線記為l。（）若 k10， k2 0，證明：FM FN2 p ；（）若點(diǎn) M 到直線 l 的距離的最小值為75 ，求拋物線 E 的方程。522.（本小題滿分 13 分）已知a0，函數(shù) f（x）=xa。x2a（）記 f（x）在區(qū)間 0 ，4 上的最大值為 g（a），求 g（ a）的表達(dá)式；（）是否存在 a，使函數(shù) y= f（ x）在區(qū)間（ 0， 4）內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直？若存在，求a 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2012 年高考理科數(shù)學(xué)（湖南

10、卷）參考答案一、15：BDDCB6 8： ACD二、9、310、1211、312、313、914 、 3215、（1） 三、1（2） 116311210016、（ 1） x|0 x1（ 2）17、解： f（ x） =sin（ x）+cos（ x）633=sin x 21cos x21cos x23sin x2=3 sin x ，g（x）=2sin2x =12cos x 。（）由 f（） = 335得 sin= 3 ，又是第一象限角，所以 cos0，從而5g（） =1cos=11sin 2=14 = 1 。55（） f（x） g（x）等價(jià)于3 sin x 1cosx ，即3 sin xcosx

11、1，于是sin（ x） 1 。62從而 2k6x 2k 65， k6Z ，即 2k x 2k2， kZ 。3故使 f（x）g（x）成立的 x 的取值集合為 x |2 k18、解： x 2k2， k3Z 。（）所種作物總株數(shù) N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為 12，從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有C1C1=36 種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8種。312故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為 82 。369（）先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y 的分布列

12、。因?yàn)镻（Y = 51）= P（X = 1），P（Y = 48）= P（X = 2），P（Y = 45）= P（X = 3），P（Y = 42）= P（X = 4），所以只需求出 P（X = k）（k=1，2，3，4）即可。記 nk 為其“相近”作物恰有 k 株的作物侏數(shù)（ k =1，2，3，4），則n1=2，n2=4，n3=6， n4 =3由 P（X= k） = nk 得NP（X=1） = 2 ， P（ X=2）= 4 ，P（X=3） =6 = 2 ，P（X=4）=3 = 1 。1515故所求的分布列為155155Y P所求的數(shù)學(xué)期望為E（Y）=515148454224211515552 +

13、484 +452 +42 1 = 34649042 =46。19、解法 1：1515555（）如圖 1，因?yàn)锽B1平面 ABCD， AC平面 ABCD，所以 ACBB1 。又 ACBD ，所以 AC平面 BB1D。而B1D平面 BB1D，所以 ACB1 D 。（）因?yàn)锽1C1/ AD ，所以直線 B1C1 與平面 ACD1 所成的角等于直線 AD 與平面 ACD1所成的角（記為）。如圖 1，邊結(jié) A1D。因?yàn)槔庵?ABCDA1B1C1D1 是直棱柱，且 B1A1D1=BAD=90，所以 A1B1平面 ADD1A1，從而A1B1AD1 。又 AD=AA1=3，所以四邊形 ADD 1A1是正方形，

14、于是A1DAD1 。故AD1平面 A1B1D，于是AD1B1D 。由（）知， ACB1D ，所以B1D平面 ACD1，故 ADB1= 90。在直角梯形 ABCD 中，因?yàn)?ACBD ，所以 BAC=ADB。從而RtABC RtDAB ，故 ABDABC ，即 ABABDABC3 。22連結(jié) AB1，易知AB1D是直角三角形，且 B1D22BB1BD22BB1ABAD =21，即 B1D=21 。在 RtAB1D中， cosADB1AD B1 D321 ，即 cos(90)=21721 ，7從而 sin21 。721即直線 B1C1 與平面 ACD1 所成角的正弦值為。7解法 2：（）易知， A

15、B，AD，AA1 兩兩垂直。如圖 2，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB， AD，AA1 所在直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AB= t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為： A（0，0，0）， B（ t，0，0），B1（t，0，3）， C（t，1，0），C1（ t，1，3），D（ 0， 3， 0），D1（0，3，3）。從而 B1D =（-t，3，-3）， AC =（t，1，0）， BD =（-t，3，0）。因?yàn)?ACBD ，所以ACBDt 2300 。解得 t3 或t3 （舍去）。于是 B1D =（3 ，3，-3）， AC =（ 3 ， 1， 0）。因?yàn)?ACB1D3300 ，所以 A

16、CB1D ，即 ACB1 D 。（）由（）知，AD1=（ 0， 3， 3）， AC =（3 ，1，0）， B1C1=（ 0， 1， 0）。設(shè) n =（ x， y， z）是平面 ACD1 的一個(gè)法向量，則nAC nAD10， 即0，3 xy 3y3z0，令 x0，1，則 n =（1，3 ， 3 ） 。設(shè)直線 B1 C1 與平面 ACD1 所成角為 ，則sincos(n, B1C1 )nB1C1 n B1C1321 。7721即直線 B1 C1 與平面 ACD1 所成角的正弦值為。720、解：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ x，y）。（）點(diǎn) P 到居民區(qū) A 的“ L 路徑”長(zhǎng)度最小值為|x-3|+|y-2

17、0|， xR， y0，+）。（）由題意知，點(diǎn) P 到三個(gè)居民區(qū)的“ L 路徑”長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn) P 分別到三個(gè)居民區(qū)的“ L 路徑”長(zhǎng)度最小值之和（記為 d）的最小值。當(dāng) y1 時(shí)， d =| x+10 |+| x-14 |+| x-3 |+2| y |+| y-20 |。因?yàn)閐1（ x） =| x+10 |+| x-14 |+| x-3 | x+10 |+| x-14 |；（*） 當(dāng)且僅當(dāng) x =3 時(shí)，不等式（ * ）中的等號(hào)成立。又因?yàn)閨 x+10 |+| x-14 |24，（ * ） 當(dāng)且僅當(dāng) x-10 ，14 時(shí)，不等式（ * ）中的等號(hào)成立。所以 d1（ x） 24，當(dāng)且僅當(dāng)

18、x =3 時(shí)，等號(hào)成立。d2（ y）=2y+| y-20 |21，當(dāng)且僅當(dāng) y =1 時(shí)，等號(hào)成立。故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 3， 1）時(shí)， P 到三個(gè)居民區(qū)的“ L 路徑”長(zhǎng)度之和最小，且最小值為 45。當(dāng) 0 y 1 時(shí)，由于“ L 路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，所以d = | x+10 |+| x-14 |+| x-3 |+1+| 1-y |+| y |+| y-20 |。此時(shí)， d1（x）=| x+10 |+| x-14 |+| x-3 |d2（y）=1+| 1-y |+| y |+| y-20 |=22-y21。由知， d1（ x） 24，故 d1（ x） + d2（y） 45，當(dāng)且僅當(dāng) x =

19、3， y =1 時(shí)等號(hào)成立。綜上所述，在點(diǎn) P（3，1）處修建文化中心，可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小。21、解：（）由題意，拋物線E 的焦點(diǎn)為 F（0，p ），直線 l1 的方程為 y 2pk1 x。2由 yk1 xp2，得 x22 pk1 xp0 。x 22 py設(shè) A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（ x1，y1），（ x2，y2）則 x1，x2 是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。從而x1+ x2= 2pk1，y1+ y2= k1(x1+x2)+p = 2pk12+p。所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ pk1，pk 2+ p ）， FM =（pk1，pk 2）。1122p2同理可得點(diǎn) N 的坐標(biāo)為

20、（ pk2， pk2 +2）， FN =（pk2，pk2）。于是1FM FN =p2（k1k2+k2k 2）。2由題設(shè)， k1+k2=2，k10， k20，k1 k2 ，所以 0 k1k2( k1k22故 FM FN 0，所以點(diǎn) M 到直線 l 的距離221 272 pk1pk1pp 2k1k11p 2(k1)48d。55517 p7 p75故當(dāng) k1時(shí)， d 取最小值。由題設(shè)，解得 p8 。48故所求的拋物線 E 的方程為 x222、解：516y 。8 55（）當(dāng) 0 x a 時(shí)，f ( x)axx2a；當(dāng) xa 時(shí)，3af ( x)xax2a。因此，當(dāng) x（ 0， a）時(shí)，f ( x)( x2a)20 ， f ( x) 在（ 0，a）上單調(diào)遞減；當(dāng) x（ a， +）時(shí)，f ( x)3a( x2a)