2021年河北卷數(shù)學(xué)高考試卷(原卷+答案)

1、1 / 17絕密啟用前注意事項：2021 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新高考I 卷）（適用地區(qū)：山東、福建、廣東、河北、湖北、湖南、江蘇）數(shù) 學(xué)答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上?；卮疬x擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案書寫在答題卡上，寫在本試卷上無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單選題第 I 卷（選擇題）設(shè)集合 Ax2x4 ， B2,3,4,5，則 AB（）i ，則B z z2,3i（）C 3, 4D2,3,4B 42iC 62iD 42iA 2已知 z2A

2、 62i已知圓錐的底面半徑為2 ，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）A 2B 2 2C 4D 42下列區(qū)間中，函數(shù)fx7sinx單調(diào)遞增的區(qū)間是（）6A 0,23B ,C,22D 3, 22已知F ， F 是橢圓 C ：22y的兩個焦點，點 M 在 C 上，則MFMF的最大值為（）1211294A 13B 12C 9D 6sin1sin 2若 tan2 ，則6A 5sincosB 25（）C 2D 655若過點a, b 可以作曲線yxe 的兩條切線，則（）ebeA baB abaC 0aeD 0be有 6 個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2， 3， 4，5， 6，從中有放回的隨機取兩次

3、，每次取1 個球，甲表示事件 PAGE 17 / 17“第一次取出的球的數(shù)字是1 ”，乙表示事件 “第二次取出的球的數(shù)字是2 ”，丙表示事件 “兩次取出的球的數(shù)字之和是 8”，丁表示事件 “兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A 甲與丙相互獨立B甲與丁相互獨立C乙與丙相互獨立D丙與丁相互獨立二、多選題有一組樣本數(shù)據(jù)x1 ，x2 ， ，xn ，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1 ，y2 ， ，yn ，其中 yic ( i1,2,n ), c為非零常數(shù)，則（ ）A 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D 兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同已知 O為坐標(biāo)原點，點

4、則（）P1 cos,sin， P2 cos,sin， P3 cos,sin， A(1,0)，A OP1OP2AP1AP2OA OP3OP1OP2OA OP1OP2OP32已知點 P 在圓x52y516 上，點A 4,0、 B 0,2，則（）A 點 P 到直線 AB 的距離小于 10B 點 P 到直線 AB 的距離大于 2C當(dāng)PBA 最小時， PB32D 當(dāng)PBA 最大時， PB3 2在正三棱柱則（）A 當(dāng)1 時，ABCA1B1C1 中， AB1P 的周長為定值A(chǔ)BAA11 ，點 P 滿足BPBCBB1 ，其中0,1 ，0,1 ，B 當(dāng)1 時，三棱錐 PA1BC 的體積為定值1C當(dāng)2時，有且僅有

5、一個點P ，使得A1 PBPD 當(dāng)1時，有且僅有一個點P ，使得2A1B平面AB1P第 II卷（非選擇題）三、填空題已知函數(shù) fxx3a 2 x2 x是偶函數(shù)，則a.2已知 O 為坐標(biāo)原點， 拋物線 C ： y2 px ( p0 )的焦點為 F ， P 為 C 上一點， PF 與 x 軸垂直， Q 為 x 軸上一點，且 PQOP ，若 FQ6 ，則 C 的準(zhǔn)線方程為.函數(shù) fx2x12lnx的最小值為.四、雙空題2某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dm 12dm 的2長方形紙，對折 1 次共可以得到 10dm 12dm ， 20dm6dm 兩種規(guī)

6、格的圖形，它們的面積之和S1240dm ，對折 2 次共可以得到 5dm 12dm ，10dm6dm ，20dm3dm 三種規(guī)格的圖形， 它們的面積之和S2180dm ，以此類推，則對折4 次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對折 n 次，那么nSkdm 2 .k 1五、解答題已知數(shù)列an滿足a11 ， an 1an1,n為奇數(shù) , an2, n為偶數(shù) .（ 1）記 bna2n ，寫出b1 ， b2 ，并求數(shù)列bn的通項公式；（ 2）求an的前 20 項和 .某學(xué)校組織 “一帶一路 ”知識競賽，有 A， B 兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答， 若

7、回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A 類問題中的每個問題回答正確得20 分，否則得 0 分； B 類問題中的每個問題回答正確得 80 分，否則得 0 分，己知小明能正確回答A 類問題的概率為 0.8，能正確回答 B 類問題的概率為 0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（ 1）若小明先回答 A 類問題，記 X 為小明的累計得分，求X 的分布列；（ 2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.記 ABC 是內(nèi)角 A ，B ，C 的對邊分別為a ，b ，c .已知 b2（ 1）證明： BDb

8、；ac ，點 D 在邊 AC 上，BD sinABCasin C .（ 2）若 AD2DC ，求 cosABC .如圖，在三棱錐ABCD 中，平面 ABD平面 BCD， ABAD ， O 為 BD 的中點 .（ 1）證明： OACD ；（ 2）若OCD 是邊長為 1 的等邊三角形， 點 E 在棱 AD 上， DE求三棱錐 ABCD 的體積 .2 EA ，且二面角 EBCD 的大小為 45 ，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知點（ 1）求 C 的方程；F117,0、 F217,0，MF1MF22 ，點 M 的軌跡為 C .（ 2）設(shè)點 T 在直線 x1 上，過 T 的兩條直線分別交 C 于 A 、

9、 B 兩點和 P ， Q 兩點，且 TATBTPTQ ，2求直線 AB 的斜率與直線PQ 的斜率之和 .已知函數(shù)fxxln x .（ 1）討論 fx的單調(diào)性；（ 2）設(shè) a ， b為兩個不相等的正數(shù)，且bln aaln bab ，證明： 211e.abB【分析】利用交集的定義可求AB .參考答案【詳解】由題設(shè)有AB2,3，故選： B .C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為zi ，故 z2i ，故z zi2i22i=4+4 i22i2i62i , 故選： C.B【分析】設(shè)圓錐的母線長為l ，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得l 的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓錐的母

10、線長為l ，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則故選： B.Al22 ，解得 l22 .【分析】解不等式 2kx2k26kZ，利用賦值法可得出結(jié)論.2【詳解】因為函數(shù)ysinx 的單調(diào)遞增區(qū)間為2k,2 k2kZ，2對于函數(shù) fx7sinx，由 2k6x2k26kZ，2解得 2kx2k2kZ，33取 k0 ，可得函數(shù) fx 的一個單調(diào)遞增區(qū)間為, 2，33則 0, 2，, 2，A 選項滿足條件， B 不滿足條件；233233取 k1，可得函數(shù) fx 的一個單調(diào)遞增區(qū)間為5, 8，33, 3, 2且, 35, 8，3, 25, 8，CD 選項均不滿足條件.233233233故選： A.C【分析

11、】 本題通過利用橢圓定義得到MFMF2a6 ，借助基本不等式MFMFMF12MF2即可得到答案【詳解】由題， a 29,b 24 ，則MF112MF22a6 ，122所以 MF1MF2MF12MF229（當(dāng)且僅當(dāng)MF1MF23 時，等號成立） 故選： CC【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母(1sin 2化為正切的表達(dá)式，代入tan2 即可得到結(jié)果【詳解】將式子進行齊次化處理得：2cos)，進行齊次化處理，sin1sin 2sinsin2cos22sincossinsincossincossincossinsincostan2tan422 sin2故選： CDcos2

12、1tan2145【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線yex 的圖象，根據(jù)直觀即可判定點a, b 在曲線下方和x 軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線yex 上任取一點P t ,et，對函數(shù)yex 求導(dǎo)得 yx ，所以，曲線yex 在點 P 處的切線方程為yetetxt ， 即yet x1t et ，由題意可知，點a,b 在直線yet x1t et上，可得baet1t eta1t et ，令 fta1t et ，則ftat et .當(dāng) ta 時， ft0 ，此時函數(shù) ft單調(diào)遞增，當(dāng) ta 時， ft0 ，此時函

13、數(shù) ft單調(diào)遞減，所以，ft maxfaea ，由題意可知，直線yb與曲線 yft 的圖象有兩個交點，則bftmaxea ，e當(dāng) ta1 時， ft0 ，當(dāng) ta1時， ft0 ，作出函數(shù) ft的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng) 0bea 時，直線 yb與曲線 yft的圖象有兩個交點 .故選： D.解法二：畫出函數(shù)曲線yex 的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點a,b 在曲線下方和x 軸上方時才可以作出兩條切線 .由此可知 0bea .故選： D.B【分析】根據(jù)獨立事件概率關(guān)系逐一判斷【詳解】P(甲)1 ， P(乙)1 ， P(丙)5 ， P(丁)61 ，6636366P(甲丙 )0P(甲) P(丙

14、)， P(甲丁 )136P(甲) P(丁)，P(乙丙 )136故選： BCDP (乙) P(丙)， P(丙丁)0P(丁)P(丙)，【分析】 A 、C 利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有E( y)E(x)c 、 D( y)D(x) ，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B 、D 的正誤 .【詳解】 A ： E( y)E(xc)E( x)c 且 c0 ，故平均數(shù)不相同，錯誤；B ：若第一組中位數(shù)為xi ，則第二組的中位數(shù)為yixic ，顯然不相同，錯誤；C： D( y)D( x)D( c)D(x) ，故方差相同，正確；D ：由極差的定義知：若第一組的極差為xmaxxmin，則第二組的

15、極差為ymaxymin(xmaxc)(xminc)xmaxxmin，故極差相同，正確；故選：CDAC【分析】 A 、B 寫出OP1 ， OP2uuru、 AP1 ，uuur AP2的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、 D 根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】 A ： OP1(cos,sin) ， OP2(cos,sin) ，所以|OP1|cos2sin 21，| OP2|(cos) 2(sin)21，故 | OP1| | OP2| ，正確；B ： AP1(cos1,sin) ， AP2(cos1,sin) ，所以| AP12|(cos1)2

16、2sincos22cos1sin22(1cos)4sin2 | sin|，同理22| AP|(cos1)2sin 22 | sin| ，故 | AP|,| AP|不一定相等，錯誤；2122C：由題意得：OA OP31cos()0sin()cos() ，OP1 OP2coscossin(sin)cos() ，正確；D ：由題意得：OA OP11cos0sincos，OP2OP3coscos()(sin)sin()cos cos 2 ，故一般來說故選： ACACDOA OP1OP2OP3故錯誤；【分析】計算出圓心到直線AB 的距離，可得出點 P 到直線 AB 的距離的取值范圍，可判斷AB 選項的正

17、誤；分析可知，當(dāng)PBA 最大或最小時， PB 與圓 M 相切，利用勾股定理可判斷CD 選項的正誤 .2【詳解】圓x52y516的圓心為 M5,5，半徑為 4 ，直線 AB 的方程為 xy421 ，即 x2 y40 ，圓心 M 到直線 AB 的距離為52541111 54 ，552212所以，點 P 到直線 AB 的距離的最小值為 11 542 ，最大值為 11 5410 ， A 選項正確， B 選項錯誤；55如下圖所示：當(dāng)PBA 最大或最小時， PB 與圓 M 相切，連接 MP 、 BM ，可知 PMPB ，22BM052534 ， MP4 ，由勾股定理可得2BPBM2MP32 ，CD 選項正

18、確 .故選： ACD.BD【分析】對于 A ，由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進而確定點的坐標(biāo)；對于 B，將 P 點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進而考慮體積是否為定值；對于 C，考慮借助向量的平移將P 點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解P 點的個數(shù)； 對于 D，考慮借助向量的平移將P 點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解P 點的個數(shù)【詳解】易知，點 P 在矩形BCC1B1 內(nèi)部（含邊界） 對于 A ，當(dāng)1 時， BPBCBB1 =BCCC1 ，即此時 P線段CC1 ， AB1 P 周長不是定值， 故 A 錯誤；對于 B，當(dāng)1 時，BPBCBB1= BB1

19、B1C1 ，故此時 P 點軌跡為線段B1C1 ，而B1C1/ BC ， B1C1 / 平面 A1BC ，則有 P 到平面 A1BC 的距離為定值，所以其體積為定值，故B 正確對于 C，當(dāng)1 時， BPBCBB ，取 BC ， B C 中點分別為 Q ， H ，則，所以 P 點22111BPBQQH軌跡為線段 QH ，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，A3 ,0,112， P 0,0,， B10,0，則2A1P故 C 錯誤；3 ,0,12， BP0,1 ,2， A1P BP10 ，所以0 或1 故H , Q 均滿足，對于 D，當(dāng)1 時，BPBC1BB ，取BB ， CC 中點為M , N ，

20、所以 P 點軌跡為11122BPBMMN線段 MN 設(shè) P10, y0 ,，因為 A3，0,0，所以 AP3 , y , 1， A1B3 1, 1，所以02222223111y00y0，此時 P 與 N 重合，故 D 正確4222故選： BD13 1【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)a 的值.【詳解】因為 fx3xxa 2x，故xxfxxa 22，因為 fx 為偶函數(shù)，故 fxfx ，時 x3axxx3axxxxa，整理得到，222212 +2=0故 a1 ，故答案為：114 x32【分析】先用坐標(biāo)表示P， Q ，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得p ，即得結(jié)果 .2【詳解】拋物線 C ：y2

21、px( p0 )的焦點 Fp,0,2 P 為 C 上一點， PF 與 x 軸垂直，所以 P 的橫坐標(biāo)為p ，代入拋物線方程求得P 的縱坐標(biāo)為p ,2不妨設(shè)P( p , p) ,2因為 Q 為 x 軸上一點，且PQOP ，所以 Q 在 F 的右側(cè)，又| FQ |6 ，puuurQ(6,0),2PQ(6,p)因為 PQOP ，所以 PQ OPp6p 20 ,2Q p0,p3 ，所以 C 的準(zhǔn)線方程為x32故答案為： x3 .215 1【分析】由解析式知f ( x) 定義域為 (0,) ，討論 0 x1 、 1x1 、 x1 ，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即22可求 f ( x) 最小值 .【詳解】由題

22、設(shè)知：f ( x)| 2x1|2lnx 定義域為 (0,) ，當(dāng) 0 x1 時， f ( x)12x22lnx ，此時f ( x) 單調(diào)遞減；當(dāng) 1x21 時，f ( x)2x12lnx，有f ( x)22 x，此時f ( x)單調(diào)遞減；當(dāng) x1 時，f (x)2x2lnx ，有 f( x)22x0 ，此時f ( x)單調(diào)遞增；又 f ( x) 在各分段的界點處連續(xù)，綜上有： 0 x1時，f ( x)單調(diào)遞減， x1 時，f ( x)單調(diào)遞增； f ( x)f (1)1故答案為： 1.16 572015 3nn 42【分析】（ 1）按對折列舉即可； （ 2）根據(jù)規(guī)律可得Sn ，再根據(jù)錯位相減法

23、得結(jié)果.【詳解】（ 1）由對折 2 次共可以得到 5dm 12dm， 10dm6dm ， 20dm3dm 三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有： 512，56，103；203 ，共 4 種不同規(guī)格（單位dm2 ) ；22故對折 4 次可得到如下規(guī)格：512 ， 56 ， 53 ， 103 ， 203 ，共 5 種不同規(guī)格；4224（ 2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為 1 的等比數(shù)列，首項為1202dm2,第 n 次對折后的圖形面積為120n 11，對于第 n 此對折后的圖形的規(guī)2格形狀種數(shù)，根據(jù)（ 1）的過程和結(jié)論，猜想為n1

24、種（證明從略） ，故得猜想 S120( n1) ，n設(shè) SSk120212031204L012120 n1n 1，nn 12k 12222則 1 S12021203120n120( n1)，22122兩式作差得：2 n 12n1 S240120 111120 n122222n 12nn 160 112120 n124012 n12120120 n1120 n33602n 1360，2n2n因此， S720240 n32n72015 n3.2n 4故答案為： 5 ； 72015 n3.2n 417（ 1 ）b12,b25 ；（ 2 ）300 .【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得bn 1bn3

25、 ，從而可求bn的通項.（2）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得an的前 20 項和為S20 可化為S202 b1b2b9b1010 ，利用（1 ）的結(jié)果可求S20 .【詳解】（1）由題設(shè)可得 b1a2a112,b2a4a31a2215又 a2 k 2a2k11 ， a2 k 1a2 k2 ， ( kN* )故 a2 k 2a2k3 ，即 bn 1bn3 ，即 bn 1bn3所 以 bn為等差數(shù)列，故bn2n133n1 .（2）設(shè)an的前 20 項和為S20 ，則S20a1a2a3a20 ，因為 a1a21,a3a41,a19a201 ，所以 S202 a2a4a18a20102 b1b2b9b1010

26、21029102310300 .18（ 1）見解析；（ 2 ）B 類【分析】（ 1）通過題意分析出小明累計得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可（2）與（ 1）類似， 找出先回答 B 類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個期望的大小即可【詳解】（ 1）由題可知， X 的所有可能取值為 0 ， 20 ， 100 P X010.80.2 ；P X200.8 10.60.32；P X1000.80.60.48 所以 X 的分布列為X020100P0.20.320.48（2）由（ 1）知，E X00.2200.321000.4854.4 若小明先回答B(yǎng) 問題，記 Y 為小明的累計得分，則Y 的所有可能取值

27、為 0 ， 80 ， 100 P Y010.60.4 ；P Y800.6 10.80.12 ；P X1000.80.60.48 所以 E Y00.4800.121000.4857.6 因為 54.457.6 ，所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng) 類問題719（ 1）證明見解析； （ 2） cosABC.12【分析】（ 1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有acBD，結(jié)合已知即可證結(jié)論.b（ 2）由題設(shè)BDb, AD2b , DCb，應(yīng)用余弦定理求 cosADB 、 cosCDB ，又 ADBCDB ，242可得 2ab a11b2333，結(jié)合已知及余弦定理即可求cosABC .【詳解】（ 1）由題設(shè)， BDa si

28、n CsinABC，由正弦定理知：cbsin CsinABC，即sin Cc ，sinABCb BDac ，又 b2 bac ， BDb ，得證 .（ 2）由題意知：BDb, AD2b , DCb ，33b2b 2b 2b2b24c213c2b2a210a 2 cosADB992，同理cosCDB992，2b2b4b2b b2b3333 ADBCDB ，22213bc2a 210b99，整理得2211b，又 2，4b22b 22ac3bac3342222 2a 2b a11b3，整理得6a411a2b23b4，解得 a2b或 a3 ，23b22222由余弦定理知：cosABCacb4a，2a2

29、17 HYPERLINK l _TOC_250000 2ac32ba2372當(dāng)時，b3cosABC1 不合題意；當(dāng)26b時， cos2ABC；12綜上，cosABC7 .1220 (1) 詳見解析 (2)36【分析】（ 1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AO 平面 BCD ，即可證得結(jié)果；（ 2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根據(jù)體積公式得結(jié)果.【詳解】（ 1）因為 AB=AD,O為 BD 中點，所以 AO BD因為平面 ABD平面 BCD =BD ,平面 ABD 平面 BCD ， AO平面 ABD ， 因此 AO平面 BCD ，因為 CD平面 BCD ，所以 AO CD(2) 作 EFBD 于

30、F, 作 FM BC 于 M, 連 FM因為 AO平面 BCD ，所以 AO BD, AO CD所以 EF BD, EF CD,BDCDD ,因此 EF平面 BCD ，即 EF BC因為 FM BC ， FM IEFF,所以 BC平面 EFM ，即 BC ME則EMF 為二面角 E-BC-D 的平面角 ,EMF4因為 BOOD ,OCD 為正三角形 ,所以 BCD 為直角三角形因為 DE2EA ,FM1 BF1 (11 )2從 而 EF=FM= 23AO12233Q AO平面 BCD,所以 V1 AO SBCD1111333326y221（ 1） x21 x161 ；（ 2） 0 .【分析】（

31、 1）利用雙曲線的定義可知軌跡C 是以點得出軌跡 C 的方程；F1 、 F2 為左、右焦點雙曲線的右支，求出a 、 b 的值，即可（ 2）設(shè)點 T1 , t，設(shè)直線 AB 的方程為ytkx，設(shè)點A x , y、 B x, y，聯(lián)立直線 AB 與曲1112222線 C 的方程， 列出韋達(dá)定理， 求出 TATB 的表達(dá)式， 設(shè)直線 PQ 的斜率為k2 ，同理可得出 TPTQ 的表達(dá)式，由 TATBTPTQ 化簡可得 k1k2 的值 .【詳解】因為MF1MF2F1F22 17 ，所以，軌跡 C 是以點F1 、 F2 為左、右焦點的雙曲線的右支，222設(shè)軌跡 C 的方程為 xy1 a0,b，則 2a2

32、，可得 a1， b17a4 ，a2b2所以，軌跡 C 的方程為y2x21 x1 ；16（ 2）設(shè)點 T, t，若過點 T 的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C 無公共點，2不妨直線 AB 的方程為ytkx1，即yk xtk ，11122yk xt1 k2聯(lián)立11 ，消去 y并整理可得221k16 xk2tkxtk160 ，16 x2y21611112設(shè)點 A x , y、 B x, y，則 x1 且 x1 .1122k 2122k t222t1 k16由韋達(dá)定理可得 x1x211，1，2k16x x211 22k116k24t 2121k 2所以，TATB1k2x1x11k 2x xx1x211，22111211 22t 2121k 2216設(shè)直線 PQ 的斜率為k2 ，同理可得TPTQ2，k216t 2121k 2t 2121k 2因為 TATBTPTQ ，即2，整理可得 k 2k2 ，k 216k 2161212即 k1k2k1k20 ，顯然 k1k20 ，故 k1k20 .因此，直線 AB 與直線 PQ 的斜率之和為 0 .22（ 1） fx 的遞增區(qū)間為0,1 ，遞減區(qū)間為