復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法講義

1、PAGE Chapter 1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)一、復(fù)數(shù)的基本概念 (Basic concepts of complex number)形如(，)的數(shù)稱為復(fù)數(shù)。（兩元素兩算子與四元素四算子）復(fù)數(shù)（Complex number）的三種形式：1) ，（）代數(shù)式：;（缺點：無法表示多值函數(shù)的高相位）三角式：;（極坐標(biāo)系下的表示）指數(shù)式：， 其中 . 稱為歐拉公式。2) 一些術(shù)語（terminology）和符號(notation):, 實部（Real part）, ，虛部（Imaginary part）.，模（Modulus）, 稱為幅角（Argument），記作. 而將滿足或的值稱為幅角的主值或主幅角，

2、記為，因此有 . 當(dāng)取時，有關(guān)系3) ，稱為的復(fù)共軛或共軛復(fù)數(shù)(Complex conjugate of )，當(dāng)然，也是的復(fù)共軛。注意：* 復(fù)數(shù)無大小。但它們的模之間可以比較大小。*的充要條件為(單值可以，多值時沒有定義幅角); (可以)復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)平面（Complex plane）：通過直角坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系將平面上的點或與復(fù)數(shù)或做成一一對應(yīng)，此時的平面稱為復(fù)平面, 其自由矢量為（討論：在哪里？）復(fù)數(shù)的運算規(guī)則：設(shè) ，.1) 加法： 滿足交換律和結(jié)合律。減法：.加減法的幾何解釋與向量加減法相似，三角形法則（自由矢量，可以平移）。2) 乘法：（）和多項式乘法一樣, 乘積的模=模的乘積。，乘

3、積的幅角=幅角的和。特別地，.乘法的幾何解釋：在0 x軸上取單位線段0I， 作和相似，那么P點就表示乘積 這是因為 3) 除法：假設(shè), ，.幾何解釋（）：先看(即設(shè))，若，過點作射線Oz的垂線，交單位圓周于T，過T作單位圓周的切線，這條切線與Oz的交點就是，而它關(guān)于軸的對稱點為. 設(shè)點到點的距離為，則圖示三個直角三角形之間存在如下關(guān)系：解得 若，只需先作切線，再作垂線。若，.4) 整數(shù)冪：,De Moivre公式。（X）復(fù)數(shù)運算的一些基本性質(zhì)：（兩個重要不等式）1）， 三角形兩邊之和大于第三邊;， 三角形兩邊之差小于第三邊。證明：利用, 2）.3）. .復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點：考慮一個半徑為R的球面

4、S（），點(0,0,0)稱為南極，與復(fù)平面的原點重合，點(0,0,2R)稱為北極，記為N. 對于C中的任一有限遠(yuǎn)點，它與N連接的直線只與S交于一點反之，球面S上任意一點（N點除外），它與N連接的直線也只與C交于一點. 所以，除N點外，球面S上的點和復(fù)平面C上的點都是一一對應(yīng)的。對于N點，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，因此在復(fù)平面C中引進(jìn)一個理想點，作為與N對應(yīng)的點，稱為無窮遠(yuǎn)點，記為 加上無窮遠(yuǎn)點的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面，也叫閉復(fù)平面，記為不包含無窮遠(yuǎn)點的復(fù)平面C稱為有窮復(fù)平面，也叫（開）復(fù)平面。這樣，與S建立起來的一一對應(yīng)，稱為球極射影。S稱為復(fù)球面。注意：* 無窮遠(yuǎn)點只有一個，其模為，而幅角是不確定的。*

5、同樣對于點，其模為0，幅角是不確定的。*：作變換，或復(fù)球面均是就大而言，其中為N與點之間的距離。二、復(fù)變函數(shù)（Functions of complex variable）1. 區(qū)域的概念（復(fù)習(xí)）：點集E：由復(fù)數(shù)點組成的集合。例如，表示以原點為圓心，半徑為1 的圓（單位圓）的內(nèi)部。，表示以為焦點，半長軸為2的橢圓。點的鄰域：對于實數(shù)，滿足條件的點的全體稱為點的鄰域，記為。點的鄰域：滿足條件（R是正實常數(shù)）的所有點z的集合，即以點為圓心，R為半徑的圓的外部，記為。點集E的內(nèi)點：設(shè)平面上給定一點集E，如果及其某鄰域的點全部屬于E，則稱為點集E的內(nèi)點。點集E的外點：設(shè)平面上給定一點集E，如果及其某鄰域

6、的點全部不屬于E，則稱為點集E的外點。點集E的邊界點：設(shè)平面上給定一點集E，如果的任一鄰域中都含有E和非E的點，則稱為點集E的邊界點。區(qū)域D：滿足下面兩條的點集稱為區(qū)域。D為開集: D中的每一點都是內(nèi)點區(qū)域全由內(nèi)點組成；D是連通集: 對于D中的任意兩點，總可以用某一曲線段連接起來，而這條曲線上的所有點都屬于該點集區(qū)域內(nèi)點連通。閉區(qū)域：由區(qū)域D及其全部邊界點所組成的點集，閉域D通常記為.單連通域：在連通域D中任作閉曲線，若該曲線內(nèi)部的點全部屬于D，則稱D為單連通域。否則稱D為復(fù)連通域?。ㄕ堄懻撝。┯薪缬駾：若存在有限大的圓，使得，則稱D為有界域，否則為無界域 （有界域離散量子數(shù)無界域連續(xù)量子數(shù)

7、）。復(fù)變函數(shù)：復(fù)變函數(shù)定義：若對于復(fù)平面上區(qū)域D中的每一個復(fù)數(shù)，按照一定規(guī)律，都有一個（或幾個）復(fù)數(shù)值w與之相對應(yīng)，則稱w為的復(fù)變函數(shù) (單值函數(shù)（或多值函數(shù)）)，區(qū)域D稱為定義域。復(fù)變函數(shù)有兩種表示形式：, （）, 均為實變量的二元實函數(shù)。例如： （1） 平移變換 （2） 旋轉(zhuǎn)變換 （3） 縮放變換 （4） 設(shè)，三步：1/旋轉(zhuǎn)；2/縮放；3/平移.（5） （廣義）反演變換。如果,則 就是的復(fù)共軛；如果與是相同的量綱（例如長度），則亦具有相同的量綱。(2) 復(fù)變函數(shù)的極限：設(shè)是函數(shù)的定義域內(nèi)的一點，如果對，都，（隱含，和）使得對于任意滿足條件的復(fù)數(shù)，都有，那么復(fù)數(shù)（有限）稱為函數(shù)當(dāng)趨于時的極限

8、，記為. 如果復(fù)數(shù)無限，則稱函數(shù)在處發(fā)散（divergence）。設(shè)，則.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)與一致連續(xù)：，當(dāng)，恒有，那么稱函數(shù)在點連續(xù)（在點鄰域連續(xù)） 等價定義：設(shè)是函數(shù)的定義域內(nèi)的一點，那么稱函數(shù)在點連續(xù)，如果函數(shù)在區(qū)域D上的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在區(qū)域D上是連續(xù)的。注：在處連續(xù)均在處連續(xù)。， ，對任何，只要，且，恒有，那么稱函數(shù)在上一致連續(xù)等價定義：如果， ，只要，恒有，那么稱函數(shù)在上一致連續(xù)。注：* 函數(shù)在區(qū)域上一致連續(xù)，一定在D上連續(xù)。*連續(xù)定義中的不僅與有關(guān)，還與點有關(guān)。一致連續(xù)定義中的只與有關(guān)，與點無關(guān)。例如，在區(qū)域上連續(xù)，但不一致連續(xù)。例：求函數(shù) 在的極限，并判斷在該點的連續(xù)性。解：

9、因為， ，因此，又所以，在的極限存在，并連續(xù)。例：求函數(shù) 在的極限，并判斷在該點的連續(xù)性。解：設(shè)，則，顯然，在點的極限存在并連續(xù)， 然而，不存在，事實上，令，有，對于不同值，極限不同，故知在點的極限不存在。所以，在的極限不存在。（4） 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)是函數(shù)的定義域內(nèi)的一點，當(dāng)z在的鄰域內(nèi)沿一切方向、按任何方式趨于點時，即當(dāng)時，若極限具有同一有限值，則稱函數(shù)在點可導(dǎo)，稱此極限值為在的導(dǎo)數(shù)，記為或.注意:* 與的方式無關(guān);*求導(dǎo)最多有兩個方向，而可有多個方向。 *是偏導(dǎo)，是全導(dǎo)。復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件Cauchy-Riemann(C-R)條件：設(shè)在點可導(dǎo)，則,在處必定滿足.證明： 在點可導(dǎo),根

10、據(jù)定義， 存在，并且與的路徑無關(guān)。 下面選擇兩個特殊路徑：首先沿平行于實軸的直線（即為常數(shù)），,然后沿平行于虛軸的直線（即為常數(shù)），,既然在點可導(dǎo),那么上面兩個極限應(yīng)相等,于是簡記為.Cauchy-Riemann條件不充分，例如： 在 附近，我們有 顯然的定義多余。雖然 這不是固定點的導(dǎo)數(shù)，而是嚴(yán)格意義下的 而因此，附近不可導(dǎo)！ (6) 復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：在點可導(dǎo)的充要條件是:a),在處具有一階偏導(dǎo)數(shù)且滿足C-R條件必要條件;b),在處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足C-R條件充分條件.證明：假設(shè), 在處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此, 在處可微，即 其中是數(shù)量級比更高階的無窮小量，即. (由假設(shè)知)

11、 存在可導(dǎo)。反之，要存在，則需要存在并且連續(xù)（有極限且鄰域可導(dǎo)），同理（反用CRCs）存在并且連續(xù)充分條件。(7)求導(dǎo)法則：與實函數(shù)的求導(dǎo)法則、公式相同。例:判斷何處可導(dǎo)。解：，,，,由C-R條件，得，.解得，表明w除點外處處不可導(dǎo)，其次，四個偏導(dǎo)數(shù)在點存在且連續(xù)，故在點可導(dǎo)。三、解析函數(shù)（Analytic functions） 1定義:在及其某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，稱在點解析。 在區(qū)域D內(nèi)處處解析稱為在區(qū)域D內(nèi)解析。 * 在區(qū)域D內(nèi)解析在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)。* 奇點（sinqularity）: 函數(shù)的不可導(dǎo)點稱為該函數(shù)的奇點。如是的奇點，亦是的奇點。2函數(shù)解析的充要條件：如果, 在區(qū)域D內(nèi)具有一階連

12、續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（此條件可放寬為：在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)），且滿足C-R條件，則在D內(nèi)解析。3. 解析可導(dǎo)的必要條件：存在且滿足CRCs；充分條件：存在和連續(xù)且滿足CRCs.例：研究函數(shù) 的可導(dǎo)性、解析性。解：，.因為 ，且于全平面連續(xù)，故于全平面（當(dāng)然不包括，此函數(shù)在無定義）處處可導(dǎo)，處處解析。又，其導(dǎo)數(shù)為其本身。注：.3解析函數(shù)的簡單性質(zhì)：同一區(qū)域D上的兩個解析函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍為解析函數(shù)。解析函數(shù)的實部等值線與虛部等值線（為實常數(shù)）相互正交。Grade in 3D real space ():.For examples, see below.若在區(qū)域D內(nèi)解析，則在D內(nèi)有， ,即它的實部

13、和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足Laplace方程：,且稱, 為共軛調(diào)和函數(shù)。4已知實部 或虛部 求解析函數(shù)： C-R條件使得解析函數(shù)的實部和虛部相互關(guān)聯(lián)。 例：已知某一個解析函數(shù)的實部，且, 求此解析函數(shù)。解法一：，因此，由C-R條件，把作為參數(shù)，積分($)得 為待定函數(shù).再由，得 ，積分($)得（為待定常數(shù)）.所以 .令，即，得，.于是，滿足所給條件的解析函數(shù)為.* 當(dāng), 為有理函數(shù)時，令，就可以把解析函數(shù)化成的形式。 這是因為有理函數(shù)總可以寫成泰勒級數(shù)：反過來用一次二項式展開有， 其中與之間存在二項式展開系數(shù)的關(guān)系。故 并且 當(dāng)區(qū)域時此定理仍然成立。解法二：Math：有

14、全微分形式；Phys：要求是態(tài)函數(shù)。 配成全微分了，故有 .($):，積分與路徑無關(guān) 這是因為解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，因此, 有任意階偏導(dǎo)數(shù)且連續(xù)；在此基礎(chǔ)上此曲線積分滿足與路徑無關(guān)的條件：(See Adv. Math. Or Chapt 2 Cauchy Theorem，)；這是因為，所以此條件在這里成立.5解析函數(shù)的物理解釋空間無源、無旋的平面標(biāo)量場： 標(biāo)量場(梯度); 矢量場(旋度); (散度). Maxwells Eqs.: 線性各向同性介質(zhì)： 物理問題：無源、無旋平面標(biāo)量場。例如，靜電場、溫度場和流場等，它的勢滿足Laplace 方程（see part II），. 如果它與三維空間的某

15、一方向（如方向）無關(guān)，那么，這種場稱為平面場。此時滿足二維Laplace方程，. 梯度、散度和旋度的定義see chapter 12. 解析函數(shù)的實部（或虛部）可以解釋為某無源平面靜電場的勢。解析函數(shù)的實部和虛部之梯度是相互正交的，而我們知道平面靜電場的等勢線簇和電力線簇是相互正交的， 因此，如果我們將解析函數(shù)的實部或虛部 解釋為某平面靜電場的勢，則其虛部 或?qū)嵅繉⒚枋鏊碾娏€。這些等勢線族和電力線族是無旋的射線族，磁力線族才是有旋的同心圓族。 例1：考慮解析函數(shù)（其中）所對應(yīng)的平面靜電場，即問它是什么樣平面靜電場的復(fù)勢？解： , 1） 如果將它的實部看作靜電場的勢，那么其虛部則表示電力線簇

16、（），這是以原點為端點的一組射線（如圖中的虛線所示）。等勢線簇為，即，它是以原點為圓心的一組同心圓（如圖中的實線所示）。物理意義：這是與軸重合的無窮長均勻帶電直導(dǎo)線周圍的靜電場。由高斯定理和容易求得線電荷密度為 2）如果將它的虛部看作靜電場 的勢，那么其實部，即則表示電力線簇，（如圖中的虛線所示），等勢線簇為，（如圖中的實線所示）。這是以正實軸為割線，上岸電勢為0，而下岸電勢為時的平面靜電場。（Home Work）例2：已知一平面靜電場的電力線簇C是拋物線簇 ，求等勢線簇，并求此電場的復(fù)勢。（見習(xí)題1.11）解：從電力線方程解出參數(shù)，（，因此取“+”）。不可以直接令，這是因為不是調(diào)和函數(shù)，即它

17、不滿足Laplace方程，而解析函數(shù)要求是調(diào)和函數(shù)。那么，如何尋找呢？做法如下：令，取而是的函數(shù)，是參數(shù)，是參數(shù)方程的解；正因為如此，如果滿足（即等值線簇），那么一定有（另外一個等值線簇），此正好是題意給定的電力線簇一種新方法。這樣,.同理，,于是，即 ，或 .解之得，. 因此.下面求，改用極坐標(biāo)系，又極坐標(biāo)下的C-R條件（Home Work），. 于是，所以 ，即 . 由此解得等勢線族: ;電力線族: . 復(fù)勢為.三、初等函數(shù)（Elementary functions）整數(shù)冪函數(shù)： （）.當(dāng)時，在除了點外處處解析;當(dāng)時，為常數(shù)，在閉平面全解析（在閉平面解析的函數(shù)一定為常數(shù), ，并且一般函數(shù)總

18、是可以展開成級數(shù)的，只能為常數(shù)）; 當(dāng)時，在全平面解析，奇點：在不可導(dǎo)，不定）。2. 指數(shù)函數(shù)：，在全平面解析，奇點：.和實函數(shù)形式一樣，其導(dǎo)數(shù)為，它是周期為的周期函數(shù)，即 .三角函數(shù)：，.（并非之線性組合）因為在全平面解析，所以，和也在全平面解析，是它們唯一的奇點。和實三角函數(shù)一樣，和都是周期為的周期函數(shù)。和實三角函數(shù)不同，和的模可以大于1:其他三角函數(shù)，可以用和定義，形式和實數(shù)時一樣。如 等等。實三角函數(shù)中的各種恒等式對于復(fù)三角函數(shù)仍成立，如 4. 雙曲函數(shù)：，全平面解析，奇點：.雙曲函數(shù)和三角函數(shù)之間可互化,如，,它們的導(dǎo)數(shù)為：，四、多值函數(shù)(Multi-value functions)

19、：1根式函數(shù)正整數(shù)冪函數(shù)的反函數(shù)（實數(shù)，復(fù)數(shù)）.多值函數(shù),對任意（除外），有個與之對應(yīng)。為了更清楚地看出多值函數(shù)的性質(zhì)，現(xiàn)在仔細(xì)分析一下函數(shù).如果記，根據(jù)定義有，所以，因此，對于給定的一個值，有兩個值與之對應(yīng)： （相當(dāng)于上面的）; （相當(dāng)于上面的）.這里，函數(shù)的多值性來源于幅角的多值性，準(zhǔn)確地說，來源于宗量（而不是自變量）幅角的多值性。多值性的表現(xiàn)則是的幅角。為明確起見，可以把表示為：，.為了更進(jìn)一步說明多值函數(shù)的性質(zhì)，現(xiàn)在不妨規(guī)定好平面上某一點的值，而后研究沿一定曲線連續(xù)變化時，相應(yīng)的值的連續(xù)變化。當(dāng)沿一定簡單閉曲線運行一周回到原處時，我們發(fā)現(xiàn)，可能出現(xiàn)兩種情形。一種是閉曲線內(nèi)不包含點，當(dāng)運

20、行一周回到原處時，也還原，因此對應(yīng)的值不變；另一種情形是閉曲線內(nèi)包含點，當(dāng)運行一周回到原處時，增加，而在平面上，值并不還原?，F(xiàn)象1：從上面的分析可以看出，點在多值函數(shù)中具有特殊的地位：當(dāng)繞點轉(zhuǎn)一圈回到原處時，對應(yīng)的函數(shù)值不還原；而當(dāng)不繞點轉(zhuǎn)一圈回到原處時，函數(shù)值還原。因此我們把點稱為多值函數(shù)的支點(這里是一階支點，因為繞兩圈后還原)?，F(xiàn)象2：同樣可以看出，也是多值函數(shù)的支點。這是因為，如果作一個足夠大的閉曲線，當(dāng)沿這個閉曲線變化一周回到原處時，值一定不還原（只要這個閉曲線足夠大，就一定會把點包含在內(nèi)）。而這樣的閉曲線，又可以看成是繞點轉(zhuǎn)一圈。也就是說，當(dāng)繞點轉(zhuǎn)一圈回到原處時，函數(shù)值也不還原。因

21、此點也是的支點。解決辦法：這樣看來，為了完全確定多值函數(shù)的函數(shù)值與自變量值之間的對應(yīng)關(guān)系，我們可以采用規(guī)定宗量的幅角變化范圍。當(dāng)宗量的幅角限制在某個周期內(nèi)時，的幅角也就唯一地確定，因而值也就唯一的確定了。例如，規(guī)定或，等等。作為一個例子，設(shè)，規(guī)定，求，和.解：. 因為，所以 . . . .顯然，在規(guī)定幅角下，的幅角一定限制在，即被限制在平面的上半平面。在這樣的限制下，的值與自變量值之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。如果規(guī)定，則，將限制在下半平面，值與自變量值之間又有新的一一對應(yīng)關(guān)系。在，或，的規(guī)定下，還會重復(fù)出現(xiàn)這些結(jié)果。由于它們并不給出新結(jié)果，所以就不必討論了。這樣看來，只要適當(dāng)規(guī)定宗量的幅角變化范圍，

22、就可以將多值函數(shù)單值化。幅角變化的各個周期，給出多值函數(shù)的各個單值分支。每個單值分支都是單值函數(shù)，整個多值函數(shù)就是它的各個單值分支的總和。在上面的討論中，多值函數(shù)有兩個單值分支，分別是的上半平面和下半平面：給出單值分支I：，給出單值分支II：.將多值函數(shù)劃分為若干個（甚至無窮個）單值分支，其實質(zhì)就是限制的變化方式，在上面的例子中，就是限制不得繞點或點轉(zhuǎn)圈。這種規(guī)定可以用幾何方法形象化地表現(xiàn)出來（Riemann面）：在平面上平行于實軸從點向右作一條割線，一直延續(xù)到點。如果規(guī)定在割線的上岸（接近這個實軸），就給出單值分支I；如果規(guī)定在割線的下岸，就給出單值分支II。這兩個單值分支合起來，就得到一個

23、完整的平面，即整個多值函數(shù)。割線的作用就是限制的變化方式。由于割線連接了多值函數(shù)的兩個支點，和，因此，不再能夠繞一個支點轉(zhuǎn)圈了（這時，繞兩個支點轉(zhuǎn)一圈還是允許的）。更進(jìn)一步地，我們可以將兩個割開的平面粘接起來，第一個面的割線下岸（）和第二個面的割線上岸（）相連，第一個面的割線上岸（）和第二個面的割線下岸（）相連。這就構(gòu)成了二葉Riemann面。對于函數(shù)來說，二葉Riemann面上的點和平面上的點是一一對應(yīng)的。這種做法的好處是，的變化路線不受限制，可以從一個單值分支運動到另一個單值分支。因此，只要規(guī)定了在某一點的值，并明確說明的連續(xù)變化路線，我們就可以得到唯一確定的值。注意： * 單值分支的劃分

24、不是唯一的，或者說，宗量幅角變化范圍的規(guī)定不是唯一的。例如，也可以規(guī)定：和，（即相當(dāng)于從點沿負(fù)實軸方向到點作割線），或和，（即相當(dāng)于從點沿虛軸正方向到點作割線）。*割線的做法多種多樣，甚至不必是直線。在一般情況下，割線可能不止一條，也不一定需要用一條割線把全部支點都連接起來。* 支點必為奇點。這是因為在支點的鄰域內(nèi)無法把各單值分支分開，支點對各單值分支來說是共有的，這點的導(dǎo)數(shù)無法定義。*奇點不見得是支點。例如是奇點但不是支點。多值復(fù)變函數(shù)不能象實分析中那樣分解為多個獨立的單值函數(shù)，而是通過Riemann曲面單值化。關(guān)于Riemann曲面，可以用“時鐘面”來幫助理解。即問當(dāng)長針指在“1-12”圈

25、的“3”時短針指在“0-12”的何處？這一關(guān)系可理解為多值（12個值）函數(shù)。為指出短針的確切位置，可如此分析：長針走12圈，短針走一圈。假定長針從“12”開始走完第一圈進(jìn)入第二圈時不是原來的平面，而是第二個平面。再第三、第四圈亦如此，直至十二個平面。長針走第13圈時才進(jìn)入第一個平面，這時短針也回到原來的位置。雖然實際上長針?biāo)叩倪@十二個平面是重疊的，但不是孤立的，而成螺旋狀，中心點（以及點）為這十二個面所共有。同時想象第十二平面的終了與第一平面的開始連接起來，這樣一個幾何實體（從正面看是一個平面，從側(cè)面看有十二葉）就是一個Riemann曲面。中心點（與點）稱為支點，且為階支點，在Riemann

26、曲面上函數(shù)單值。例如，長針指在第5葉的“3”上，則短針必然在“4”與“5”間的某處。2對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)對給定的z，滿足方程的稱為對數(shù)函數(shù)，記為.令，就得到.所以，（）.多值函數(shù)，有時也稱為其主值。其多值性的來源是宗量幅角的多值性，多值性的表現(xiàn)則是函數(shù)值的虛部。對應(yīng)每一個值，有無窮多個值，它們的實部相同，虛部相差的整數(shù)倍。的支點是和.作割線連接和，并規(guī)定割線一側(cè)的值，即可得到的單值分支。有無窮多個單值分支，相應(yīng)地，的Riemann面是無窮多葉的。每個單值分支內(nèi)，都有.雙曲函數(shù)還有，奇點：，以及，奇點：. 3一般冪函數(shù)：（任意復(fù)常數(shù)），多值函數(shù)，支點：.4反三角函數(shù)：;（雙多值函數(shù)，只能取

27、一個）.（單多值函數(shù)）例1判斷函數(shù)的支點，其中是不同的復(fù)常數(shù)。解：分析：可能的支點為. 常用方法：設(shè)是其內(nèi)部包含a點而不包含b點的簡單曲線，當(dāng)沿繞a一圈時，的幅角增量為. 常用技巧：設(shè)，即 （，且），則 當(dāng)沿繞a一圈后，即增加后，不還原，說明a點為的支點（其實為超越支點無窮階支點）。同理，b點也是的超越支點。對點，此時，當(dāng)繞原點轉(zhuǎn)一圈后，即增加后，值還原，說明點不是的支點。對于點，此時，當(dāng)繞點轉(zhuǎn)一圈后，即增加后，值不還原，說明點是的支點，而且也是超越支點。例2判斷函數(shù)的支點，求，？解：可能的支點為.（是奇點但不是支點。）1）點鄰域，一階支點；2） 點鄰域，一階支點；3） 點鄰域，不是支點；因此

28、，是的兩個支點。從作割線，有兩個單值分支。我們選定的一個單值分支如下：規(guī)定在割線的上岸I：，則在割線的上岸有 ，因此， （上岸I）.當(dāng)I上的點繞過左端點（）回到下岸II上具有相同坐標(biāo)x點時，即在割線的下岸II上，有，. 因此， （下岸II）.練習(xí)：當(dāng)然，我們也可以從I上的x點繞過割線的右端點回到II上的x點。這時，. 即有，.因此， （下岸II）. 結(jié)果一樣?，F(xiàn)在來求的值。在點處，（從上岸繞過點到）. 因此，.因此， .練習(xí)：如果從上岸繞過點到，則有，. 因此，. 因此， .例3判斷函數(shù)的支點，并求解：可能的支點為.1） 點鄰域，不是支點；2） 點鄰域， 一階支點；3） 點鄰域， 一階支點；4

29、） 點鄰域，不是支點；因此，是的兩個支點。從作割線，有兩個單值分支。我們選定的一個單值分支如下：規(guī)定在割線的上岸I：，則在割線的上岸有，. 因此，（上岸I）.當(dāng)I上的點繞過左端點（）回到下岸II上具有相同坐標(biāo)點時，（轉(zhuǎn)），（不變），即在割線的下岸II上，有 ，. 因此，（下岸II）.練習(xí)：當(dāng)然，我們也可以從I上的x點繞過割線的右端點回到II上的對應(yīng)點，這時，即有，. 因此，（下岸II）.再當(dāng)然，繞過兩個支點轉(zhuǎn)一圈亦是允許的，這相當(dāng)于繞無窮遠(yuǎn)點轉(zhuǎn)一圈（此例中沒有留下效果）。Home work: 1.1(2), (3) ; 1.4(6);1.5; 1.8(4).鏈接：/s/1gf1AbSZ 密碼：

30、pcfxChapter 2 復(fù)變函數(shù)積分 Abstract: Derivation the Cauchy theorem and Cauchy formula based on the properties of the integrals of complex variable functions. 復(fù)變函數(shù)積分(Integrals of complex variable functions) 1定義：設(shè)l是復(fù)平面C上的一條可求長的有向曲線，函數(shù)在l上有定義，沿l取分點，從的一小段上任取一點，作和數(shù)，如果當(dāng)弧段（）的最大長度時，此和數(shù)的極限存在，且與和的選取無關(guān)，那么這個極限值稱為沿曲線l的

31、積分，記作. *) 一個復(fù)變函數(shù)積分實際是兩個實變線積分的有序組合.因此，根據(jù)實變函數(shù)線積分的知識，可以知道，如果l是分段光滑的， 在l上連續(xù)，復(fù)變函數(shù)積分一定存在。 *) 可以把沿曲線的積分化為關(guān)于參數(shù)的積分參數(shù)方程：，即 其中由曲線端點的參數(shù)值確定。2性質(zhì)：若，則.，其中表示的逆向。.，其中M是的上界，是曲線的長。例1求，l為：(i)沿實軸由，再平行于虛軸；(ii) 沿虛軸由，再平行于實軸；(iii)沿直線由.解：令，則，. 對于(i)， . 對于(ii)， . 對于(iii)，, .雖然積分的起末點相同，但三種結(jié)果不同，這是由于不是解析函數(shù)。例2，其中l(wèi)以為起點，為終點，路徑為：(i)直

32、線段；(ii)上半單位圓周；(iii)下半單位圓周。（練習(xí)）解：(i) l的參數(shù)方程為：，所以，則 .(ii) l的參數(shù)方程為：，所以，則 .(iii) l的參數(shù)方程為：，所以，則 .例3計算積分，其中l(wèi)為實圓環(huán)的上半部分的邊界，方向為環(huán)形區(qū)域的正方向(靠右行)。 解：咋看起來在D內(nèi)解析，應(yīng)該有. 其實不然，僅僅依賴于 而非依賴于：，非解析。例4計算積分，（，其中C是以點為圓心，為半徑的圓，積分方向為逆時針方向。解：曲線C 的參數(shù)方程為：.,這個積分與半徑及常點的位置無關(guān)，并且必須在復(fù)平面上，其實是個純虛數(shù)?？葡６ɡ恚–auchy Theorem） 上節(jié)講述的是一般復(fù)變函數(shù)積分（主要是例子）。

33、一般來說，它們的值不僅與積分曲線段起點和終點的位置有關(guān)，還與該曲線段的具體形狀有關(guān)。 在復(fù)變函數(shù)中是否能找到一類滿足某些條件的能使積分與曲線段的具體形狀無關(guān)這正是解析函數(shù)。Cauchy定理正是研究這類函數(shù)的有力工具（是基礎(chǔ)，非目標(biāo)）。 單連通區(qū)域：對于區(qū)域D，如果D內(nèi)的任何閉曲線在收縮為一點的過程中，曲線上的所有點都在D內(nèi)，則稱D為單通區(qū)域。 復(fù)連通區(qū)域：在單通區(qū)域內(nèi)挖去所有奇點（可以是幾個點、幾條線、幾個區(qū)域）而組成的區(qū)域。 境界線走向：沿境界線行走，區(qū)域總在左邊的走向規(guī)定（定義）為正向。 1. 單連通區(qū)域的Cauchy定理：如果在閉單連通域中解析，則沿中任何一個分段光滑的閉曲線l，有. 證

34、明：為簡單起見，下面在更強的條件下證明這個定理。附加條件是在中連續(xù)（其實，后面會看到，只要在中解析，即存在，則也存在，因而連續(xù)），即四個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。在此條件下可以應(yīng)用Green 公式（*） 于復(fù)變函數(shù)積分，有根據(jù)Cauchy-Riemann條件，馬上得到.注意（*）：由于Green公式的要求，這里所說的單連通區(qū)域只能是一個有界域，即，不能是包含點在內(nèi)的（無界）域。以后我們會看到，即使在點解析，它繞點一周的積分也可以并不為0。推論一：如果在閉單連通域中解析，則復(fù)變積分與路徑無關(guān)?；蛘哒f，只要保持兩端點固定，積分曲線可以在區(qū)域內(nèi)連續(xù)變形而積分值不變。 2. 復(fù)連通區(qū)域的Cauchy定理：如果是閉復(fù)

35、連通域中的單值解析函數(shù)（需要做手腳?。?，則有，其中是的全部境界線（正方向）。 證明：（略）推論二：對于閉復(fù)連通域上的單值解析函數(shù)，沿外境界線逆時針方向的積分等于各內(nèi)境界線逆時針方向的積分之和。推論三：設(shè)是閉區(qū)域（單連通或復(fù)連通）上的解析函數(shù)，對于D內(nèi)的一條閉曲線，當(dāng)它在D內(nèi)連續(xù)變形時積分值始終保持不變（但是奇點區(qū)不能穿過，也只能繞過一次?。?。一個常用結(jié)果：，其中，在曲線C內(nèi)。當(dāng)，在全平面解析，由Cauchy Theorem，對于，在點不解析，由推論三，我們總可以把圍繞的任一閉曲線C變?yōu)橐詾閳A心的圓周，然后利用前面例題的結(jié)果。如果函數(shù)在環(huán)域內(nèi)解析，且(這個數(shù)值類似于、但不是留數(shù),Residue)

36、，則，曲線C為D內(nèi)繞點的閉曲線。證明：.，即，任給，存在，使得時，有. （解析函數(shù)一致性定理?。┧? 因此，. 只要例2（X）設(shè)C為不經(jīng)過與的正向簡單閉路，為不等于零的任何復(fù)數(shù)，試就C與，的位置關(guān)系，計算.解：. 因為C不經(jīng)過與，故C與，的位置關(guān)系有四種可能：（1）與同時位于C的外部，；（2）位于C的內(nèi)部，位于C的外部，;（3）位于C的內(nèi)部，位于C的外部，;（4）與同時位于C的內(nèi)部，由推論二，有 .（X）解析函數(shù)不定積分 (Indefine integrals)定理：設(shè)是單連通域D內(nèi)的解析函數(shù)，是D內(nèi)的一個定點，在D內(nèi)定義函數(shù)，則也是D內(nèi)的解析函數(shù)，且，同時，對D內(nèi)的任意兩點和，有.證明：為

37、了證明是解析的，只需要直接求出它的導(dǎo)數(shù)就可以了。設(shè)是D內(nèi)一點,是它的鄰點，則 ，因為積分與路徑無關(guān)，所以，由此可得，由于是解析的，它一定連續(xù)，即，對于任給，存在，使得當(dāng)時，只要，同時點落在以點為中心，為半徑的圓內(nèi)，就有 所以，即得 .這就證明了在D內(nèi)處處可導(dǎo)，是D內(nèi)的解析函數(shù)，并且.根據(jù)原函數(shù)的定義：如果，則稱為的原函數(shù)?？梢娛堑囊粋€原函數(shù)。對于給定的一個函數(shù)來講，原函數(shù)不是唯一的。任意兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)。這是因為，如果與都是的原函數(shù)，則，. 所以，即.現(xiàn)在證明. 設(shè)也是的一個原函數(shù)，那么，顯然，于是上式又可寫為： . 因而，.的原函數(shù)的集合稱為的不定積分，記為.四、科希積分公式 (

38、Cauchy integral formula) Cauchy定理最直接、最重要的結(jié)果是Cauchy公式。對于區(qū)域上的解析函數(shù)，這一公式建立了邊界和區(qū)域內(nèi)各點的關(guān)系，即，它在邊界上的值決定了它在D內(nèi)任意一點的值。有界區(qū)域的Cauchy積分公式：設(shè)是閉單連通區(qū)域上的解析函數(shù)， 為區(qū)域境界線，則對區(qū)域內(nèi)任一點，有，其中積分路線沿的正方向。證明：因為，所以只要證明即可。在D內(nèi)做圓，根據(jù)Cauchy 定理推論三(回路變形)，. 因為又因為在點連續(xù)，即任給，存在，使得當(dāng) 時，. 因此，只要上面的，就有. 所以有 .注意：* 此證明亦說明，在內(nèi)（），雖然的原函數(shù)（對數(shù)函數(shù)）是多值函數(shù)，或者做回路積分時，轉(zhuǎn)

39、一圈位相變化（明顯地，是的奇點），但是是解析函數(shù); 只不過是當(dāng)時，. 這樣就解析延拓了: 從離開一點點，可由完全決定，再離開一點點，仍然如此,解析函數(shù)的一致性定理。*）和由C-R條件以微分形式相互聯(lián)系，而非獨立；）解析函數(shù)是一種平面標(biāo)量場，而平面場的邊界條件決定了區(qū)域內(nèi)部的場。這種物理意義是以復(fù)變函數(shù)的積分形式關(guān)聯(lián)。* 對于復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)，只要將積分路線l理解為該區(qū)域的全部境界線（都取正方向），則Cauchy公式仍然有效。引理1 (大圓弧引理)（*動機：定積分計算）：如果在區(qū)域D：，上連續(xù)，且當(dāng)時，一致地趨于一個復(fù)常數(shù)，則，其中是以為圓心、為半徑、夾角為的圓弧，.（各向同性）證明：

40、因為，所以由于當(dāng)，時，一致地趨于復(fù)常數(shù)K，這意味著任給，存在與無關(guān)的，使當(dāng)時，所以 即 .無界區(qū)域的Cauchy積分公式：設(shè)在閉曲線C及其外部的無界區(qū)域上是解析的，且，則有 ，其中積分路線沿C的正方向（注意：現(xiàn)在正方向為順時針方向）。證明：在C外作一個以原點為圓心，為半徑的 大圓，這樣，對于C和所圍的復(fù)連通區(qū)域，根據(jù)有界域Cauchy積分公式，.因為，所以，由引理1，馬上得到. 因此，, 并延拓至了。解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：如果在中解析，則在D內(nèi)的任何階導(dǎo)數(shù)均存在，并且，其中積分路線沿的正方向 (在上，在內(nèi))。證明：首先求. 因為取極限，左邊為. 因此只需證明. 因為由于在上連續(xù)，因此是有界的，故

41、在上有. 設(shè)到的最短距離. 設(shè)境界線的全長為，所以.因此，.用類似的方法，同樣可以證明的情況。歸納法：若為真，假定正確，證明成立，則立論成立。無界區(qū)域的Cauchy導(dǎo)數(shù)公式：設(shè)在閉曲線C及其外部的無界區(qū)域上是解析的，且，則有，其中積分路線沿C的正方向（注意：現(xiàn)在正方向為順時針方向）。例：計算積分，其中閉曲線C為圓，逆時針方向。解：令，因為并且函數(shù)在外部解析，根據(jù)無界域Cauchy導(dǎo)數(shù)公式.(X) Cauchy公式的幾個重要推論：（1）莫勒納（Molera）定理（Cauchy定理的逆定理）：如果在單連域D內(nèi)連續(xù)，且在D內(nèi)任意圍道積分為，則在D內(nèi)解析。證明：因為，在D內(nèi)任意圍道積分為0，故與積分路

42、徑無關(guān)，再考慮到的連續(xù)性，可得，所以，. 因此，解析，其導(dǎo)數(shù)為. 根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)的存在性可知，在D內(nèi)也必解析。（2）Cauchy不等式：設(shè)在閉區(qū)域內(nèi)解析，則在邊界上連續(xù)，在上必有上界、而且達(dá)到上界. 因此， ，其中是邊界的長度，是到邊界的最小距離。 特別是，當(dāng)邊界是以為圓心，為半徑的圓時，有 ，這就是Cauchy不等式。（3）最大模定理：若在閉區(qū)域內(nèi)解析，則模的最大值在的邊界上。 證明：設(shè)M為在邊界上的上界，則由上面的推論，對于解析函數(shù)（m為正整數(shù)），有 ，即，此式對任何m均成立，故取極限，得，.（4）劉維（Liouville）定理：如在全平面解析，而且當(dāng)時， 有界，則為常數(shù)。 證明：以任一有限

43、點z為圓心，R為半徑做圓，則根據(jù)Cauchy不等式，有 ，其中是在圓周上的上界。 因為當(dāng)時，有界，故時，有界。因此. 所以，即，由此可知，. 注意，這里事先對函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點是否解析，并未作任何限定。Liouville定理告訴我們，在滿足定理條件下，函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點也一定解析。（5）均值定理：解析函數(shù)在解析區(qū)域D內(nèi)任意一點的函數(shù)值，等于以為圓心，完全位于D內(nèi)的任一圓周上的函數(shù)值的平均，即. 證明：由Cauchy積分公式，有 . 取積分閉曲線為以為圓心，為半徑的圓（但要求完全在D內(nèi)），故在上，有，所以 .Home work:2.1 (2), (3);2.3.Chapter 3 復(fù)變函數(shù)級數(shù)Abstr

44、act：簡介解析函數(shù)的性質(zhì)，尤其是解析函數(shù)最重要的表達(dá)形式之一的冪級數(shù)(power series) 的重要性質(zhì)。重點講述解析函數(shù)在常點附近展開為Taylor級數(shù)和在孤立奇點附近展開為Laurent級數(shù)。最后討論單值函數(shù)孤立奇點的分類。Motivation：引論中講過，一方面，物理學(xué)家力求（將此sum表達(dá)為一個簡單的函數(shù)）；但另一方面，有些物理上的表示（例如求解方程和方程的解等）相當(dāng)復(fù)雜，人們不得不反過來做級數(shù)展開。有趣的是，大部分情況下級數(shù)的前一、二項就解決問題了（物理誤差范圍以內(nèi)）。這不但對收斂快的級數(shù)是如此，況且對發(fā)散級數(shù)尤要cut off！-多項式展開。更有趣的是，這樣便構(gòu)成了本征函數(shù)系

45、早已存在的數(shù)學(xué)理論，物理理論和實驗的核心目標(biāo)，see part II）。級數(shù)復(fù)習(xí): 常數(shù)項級數(shù)：函數(shù)項級數(shù)： 幾何級數(shù)； 指數(shù)級數(shù)； 三角函數(shù)級數(shù)。一般級數(shù)：解析項級數(shù)：1.一般級數(shù)，2.冪級數(shù)。問題：設(shè)有序列，問，Key：divergence 發(fā)散.且 這是log發(fā)散。而收斂， convergence，且絕對收斂。 稱為Riemann zeta function. ：，而發(fā)散（調(diào)和級數(shù)，和諧級數(shù)？）。發(fā)散 . 但是為何收斂呢？此幾何級數(shù)收斂，收斂。再問一致收斂呢？要有學(xué)說，而非See (Sub. 1.3) below.在C平面 有無窮多個奇點。是的零點，其它零點落在Riemann 假設(shè)：上述

46、零點全部在級數(shù)的基本概念與性質(zhì) (Basic concepts and properties of series)復(fù)數(shù)序列定義：按照一定順序排列的復(fù)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)序列，記為。一個復(fù)數(shù)序列完全等價于兩個實數(shù)序列。聚點：給定復(fù)數(shù)序列，若存在復(fù)數(shù)，對于，恒有無窮多個滿足，則稱為的一個聚點（或極限點）。一個序列可以有不止一個聚點，例如序列就有兩個聚點，。有界序列和無界序列：給定復(fù)數(shù)序列，若存在一個正數(shù)，對所有的都有，稱為序列有界；否則稱為序列無界。極限：給定復(fù)數(shù)序列，如果對，自然數(shù)，使得只要，就有，則稱收斂于，記為。一個序列的極限必然是這個序列的聚點，而且是唯一的聚點。顯然，如果寫成，則 例如，對于點列

47、，有 （5）序列極限存在（序列收斂）的Cauchy充要條件：任給，存在正整數(shù)，使對于任意正整數(shù)，有. 一個無界序列不可能是收斂的。 2 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂：一個復(fù)數(shù)級數(shù)，如果它的部分和所構(gòu)成的序列收斂，即有極限，則稱級數(shù)收斂，而序列的極限稱為級數(shù)的和；如果級數(shù)不存在（無窮或不定），則稱發(fā)散。注：，因此，一個復(fù)數(shù)級數(shù)完全等價于兩個實數(shù)級數(shù)。若，都收斂，則收斂；若，至少有一個發(fā)散，則發(fā)散。收斂的充要條件（Cauchy收斂判據(jù)）：任給，存在正整數(shù)，使對于任意正整數(shù) 有. 特別是，令，則得到級數(shù)收斂的必要條件：.絕對收斂：如果收斂，則稱絕對收斂。 絕對收斂的性質(zhì)：絕對收斂的級數(shù)一定收斂（因為：

48、 ），反之不定。絕對收斂的級數(shù)可以改換求和次序。特別是，可以把一個收斂級數(shù)拆成幾個子級數(shù)，每個子級數(shù)仍絕對收斂。兩個絕對收斂級數(shù)的積仍然絕對收斂。例如，是絕對收斂的，則注意最后一步的及的取值范圍因為和構(gòu)成的實數(shù)級數(shù)收斂，所以構(gòu)成的實數(shù)級數(shù)也收斂。由于是一個實數(shù)級數(shù)，而且是一個正項級數(shù)，因此高等數(shù)學(xué)中任何一種正項級數(shù)的收斂判別法都可用來判別一個復(fù)數(shù)項級數(shù)是否絕對收斂。下面列出了一些常用的收斂判別法（自證或者查資料證明之）比較判別法：若，而收斂，則收斂；若，而發(fā)散，則發(fā)散；比值判別法（DAlembert判別法）：若，則收斂； 若，則發(fā)散；若， 可能收斂，也可能發(fā)散；根值判別法（Cauchy判別法）

49、：若，則收斂； 若，則發(fā)散；若， 可能收斂，也可能發(fā)散；Gauss判別法：如果（至少n充分大） ，則當(dāng)時，收斂（相當(dāng)于）；而當(dāng)時，發(fā)散。 3 復(fù)變函數(shù)級數(shù)（設(shè)為域D中的連續(xù)函數(shù)，） 函數(shù)級數(shù)的收斂：如果對于D中的一點，級數(shù)收斂，則稱級數(shù)在點收斂；反之發(fā)散，則稱在點發(fā)散。 如果級數(shù)在D中的每一點都收斂，則稱級數(shù)在D內(nèi)收斂。其和函數(shù)是D內(nèi)的單值函數(shù)。一致收斂：如果對于任意給定的，存在一個與無關(guān)的，使當(dāng)時，對于任意正整數(shù)對D中每一點均成立，則稱級數(shù)在D內(nèi)一致收斂。（X）一致收斂級數(shù)的性質(zhì)：一致收斂的概念總是和一定區(qū)域聯(lián)系在一起的，級數(shù)的一致收斂性質(zhì)是它在一定區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)。（*）若在區(qū)域D內(nèi)滿足，與無

50、關(guān)且收斂，則絕對且一致收斂。（Weierstrass的M判別法）連續(xù)性：如果在D內(nèi)連續(xù)，級數(shù)在D內(nèi)一致收斂，則其和函數(shù)也在D內(nèi)連續(xù)。這個性質(zhì)告訴我們，如果級數(shù)的每一項都是連續(xù)函數(shù)，則一致連續(xù)級數(shù)可以逐項求極限，或者說“求極限”與“求級數(shù)和”可以交換次序。即，.逐項求積分：設(shè)C是區(qū)域D內(nèi)一條分段光滑曲線，如果在C上連續(xù)， 則對于C上一致收斂級數(shù)可以逐項積分，逐項求導(dǎo)數(shù)（Weierstrass定理）：設(shè)在中單值解析，在中一致收斂，則此級數(shù)之和是D內(nèi)的解析函數(shù)，可逐項求導(dǎo)，求導(dǎo)后的級數(shù)在D中的任意閉區(qū)域中一致收斂。 上面這些性質(zhì)的證明見數(shù)學(xué)物理方法，北大 吳崇試，高等教育出版社。函數(shù)在處連續(xù)即可表述

51、為：對任意給定的，總存在，當(dāng)時，使得成立。一致連續(xù)：不依賴于. 例如：，.對任意小的正數(shù)，所以連續(xù)，但并非一致連續(xù)。因為當(dāng)時，.若，則連續(xù); 若，則. 康托爾(Couter)定理：在有界閉區(qū)域上有意義的連續(xù)函數(shù)在此閉區(qū)間上一致連續(xù)。冪級數(shù)( Power series)定義：以冪函數(shù)為一般項的級數(shù)稱為以為中心的冪級數(shù)。反之，函數(shù)在附近的Taylor級數(shù)展開，其系數(shù)為.冪級數(shù)的收斂性：Abel定理：如果級數(shù)在某點收斂，則該級數(shù)在圓域內(nèi)絕對收斂，而且在內(nèi)一致收斂。證明：因為在點收斂，故一定滿足必要條件， .因此存在正數(shù)M，使得，于是，.當(dāng)，即時，幾何級數(shù)收斂，故在圓內(nèi)絕對收斂。而當(dāng)時，而常數(shù)項級數(shù)收

52、斂，故根據(jù)Weierstrass的M判別法，在圓內(nèi)一致收斂。推論一：如果級數(shù)在某點發(fā)散，則該級數(shù)在圓域外處處發(fā)散。當(dāng)時，外處處發(fā)散）; 當(dāng)時，內(nèi)處處發(fā)散）。推論二：對于冪級數(shù)，必存在一個實數(shù)，使得在圓內(nèi)級數(shù)處處收斂，同時在圓外級數(shù)處處發(fā)散。* 這個圓稱為的收斂圓，而半徑稱為收斂半徑。* 收斂半徑的求法，雖然有緊接著下面的常規(guī)方法，但是見p.11的第二個菱形的非常規(guī)方法更有效。冪級數(shù)的收斂圓和收斂半徑：在討論冪級數(shù)的性質(zhì)時，首先應(yīng)當(dāng)求出收斂圓及其收斂半徑：（1），這是因為，根據(jù)DAlembert判別法，有時級數(shù)收斂。因此得.（2），這是因為，根據(jù)Cauchy判別法，有時級數(shù)收斂。因此得.冪級數(shù)在

53、收斂區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)：在收斂圓內(nèi)絕對收斂，在收斂圓內(nèi)的任何閉圓域上一致收斂。Abel theorem.和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析。因冪級數(shù)的每一項都是解析函數(shù)，由Abel定理知冪級數(shù)在其收斂域的任一閉區(qū)域中一致收斂，再由Weierstrass定理知其解析和函數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項積分、逐項求導(dǎo)任意次。同上證明積分和求導(dǎo)后級數(shù)的收斂半徑不變。直接求出收斂半徑即可 例：設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，求下列冪級數(shù)的收斂半徑。（1）（為實數(shù)）； （2）.解： （1），.（2） 注：冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的任何閉區(qū)域內(nèi)是絕對且一致收斂的，因此，逐次求積分和導(dǎo)數(shù)任意次；收斂圓內(nèi)是解析函數(shù)，因而可求收斂半徑。（即，p.11的第二個菱形

54、）三、解析函數(shù)的Taylor級數(shù)展開(Expand to the Taylor series)前面我們看到，一個冪級數(shù)在它的收斂圓內(nèi)代表一個解析函數(shù)（雖然我們的課程目標(biāo)是關(guān)注函數(shù)的非解析性）?，F(xiàn)在，我們要提一個相反的問題（inversion problem）：如何把一個解析函數(shù)表示成冪級數(shù)？解析函數(shù)的Taylor級數(shù):（有限遠(yuǎn)常點附近的級數(shù)展開）Cauchy-Taylor定理： 設(shè)函數(shù)在圓域D：內(nèi)是解析的，則可以在D內(nèi)展開為絕對收斂且一致收斂的冪級數(shù) ，其中，并且這樣的展開是唯一的。證明：我們要證明對任何（D內(nèi)任意一閉區(qū)域），所展開的冪級數(shù)在閉圓域 D1：上是絕對且一致收斂的。在和之間取一圓：

55、，根據(jù)Cauchy積分公式，有 ，其中是閉圓域內(nèi)的任一點。因為其中，即級數(shù)是收斂的。根據(jù)Weierstrass的M判別法，級數(shù)是絕對且一致收斂的。那么也是一致收斂的 一致收斂級數(shù)的每一項乘以同一有界函數(shù)仍為一致收斂級數(shù)，因此可以逐項積分，于是其中 (最后一步用到了階導(dǎo)數(shù)的Cauchy積分式, , see Chapt 2. P.11)。由于是解析的，它必是連續(xù)的，因此，利用Cauchy不等式(see Chapt 2. P.13)，有 ，所以 .因為級數(shù)是收斂的，所以冪級數(shù)在閉圓域上是絕對且一致收斂的。下面證明展開的唯一性：假設(shè)兩個級數(shù)在區(qū)域都收斂到，取極限，由于級數(shù)在收斂域內(nèi)是一致收斂的，故有逐

56、項微商，再取極限，又得 .如此繼續(xù)，即可證得，（展開了且用中心值確定）.Cauchy-Taylor定理的唯一性告訴我們：（1）可以用任何方便的方法來求其展開系數(shù)。（2）如果在同一點展開的兩個Taylor級數(shù)，則可以逐項比較系數(shù)。因為Taylor級數(shù)在其收斂圓內(nèi)是一個解析函數(shù)，所以被展開的函數(shù)如果有奇點的話，只能在收斂圓上或收斂圓外。因此，函數(shù)展開為Taylor級數(shù)，其最大收斂半徑必等于展開中心到被展開函數(shù)最近的奇點的距離。，奇點為，因此收斂半徑.而在實數(shù)范圍內(nèi)，就不能理解收斂半徑為何是1了， 因為函數(shù) 在整個實軸上都是連續(xù)可導(dǎo)、并且任意階導(dǎo)數(shù)都是存在的。函數(shù)的冪級數(shù)為，其中為Bernoulli

57、多項式（雖然它已知，但是寫不出其通項，更寫不出末項）。由解得。所以（分子有）推論：假如Taylor級數(shù)展開的函數(shù)在鄰域為零，則即解析函數(shù)一致性定理證明： 而因為在內(nèi)解析，函數(shù)除點外解析，所以C內(nèi)函數(shù)解析。由于邊界值 決定了其內(nèi)部值，所以根據(jù)Taylor級數(shù)公式，容易求得常見的幾個函數(shù)的Taylor級數(shù)：，（），（），（），（）.例：證明.證明：多值函數(shù)的Taylor級數(shù)（有限遠(yuǎn)常點附近的級數(shù)展開）： 對于多值函數(shù)，在確定單值分支后，可以象單值函數(shù)一樣展開。例1：在的鄰域展開.解：的支點為和，由沿負(fù)實軸到作割線（當(dāng)然有其它作法，只是這樣作割線，其收斂半徑最大）。取單值分支：規(guī)定上岸，則下岸. 因

58、此， ，那么. 于是.又 于是， .自證：若取另一單值分支：規(guī)定上岸，則下岸.因此， . 那么，（此是因為再加上就有上岸的）. 于是 .又 于是 （）還可取其他分支: .（X）例2：在的鄰域展開（為非整數(shù)）。解：的支點為和，由沿負(fù)實軸到作割線（當(dāng)然有其它作法，只是這樣作割線，其收斂半徑最大）。取單值分支：規(guī)定上岸，則下岸. 因此， . 那么，. 于是, 因此， 若取另一單值分支：規(guī)定上岸，則下岸.因此 . 那么 . 于是，因此， 在無窮遠(yuǎn)點的Taylor展開（解析函數(shù)的Taylor級數(shù)展開）：如果在解析，則也可以在展開成Taylor級數(shù)。作變換，則在點解析，將在點展開成Taylor級數(shù)，故 ，

59、. 則 ，.在點的Taylor級數(shù)只有常數(shù)項和負(fù)冪項。例：解析函數(shù)的Laurent級數(shù)展開 (Expand to the Laurent series)Review：.CRCs：CI: CIF:（留數(shù)）大圓弧引理：如果在區(qū)域D：，上連續(xù)，且當(dāng)時，一致地趨于，則，其中，是以為圓心，為半徑，夾角為的圓弧:.習(xí)題2.2. 求積分解：令則 其中前因子是因為的幅角轉(zhuǎn)動一圈時的幅角轉(zhuǎn)動二圈，而其積分將僅轉(zhuǎn)動一圈。因為的次冪的系數(shù)為所以 一個函數(shù)除了可以在解析點作Taylor（圓域內(nèi)單連通、無奇點）展開外，有時還需要將它在奇點附近展開成冪級數(shù)（環(huán)域內(nèi)解析），此即Laurent展開。1Laurent定理：設(shè)函

60、數(shù)在環(huán)形區(qū)域內(nèi)是單值解析的，則可以在此環(huán)形區(qū)域內(nèi)展開為絕對收斂且一致收斂的冪級數(shù)，其中 是環(huán)域內(nèi)圍繞一周的任何閉曲線(詳見證明過程，只要并且遍及全解析區(qū)域只能圍繞一周)，積分沿逆時針方向，并且這樣的展開是唯一的。證明：這里所謂的在環(huán)域內(nèi)一致收斂，意即在任何一個外半徑，內(nèi)半徑（點畫線）的閉環(huán)域上一致收斂。設(shè)是環(huán)域內(nèi)任一點，且（粗實線附近）. 再取兩個圓，和（虛線），并滿足和.根據(jù)復(fù)連通Cauchy積分公式，有(天衣無縫的手術(shù)刀，且兩者積分方向相同).當(dāng)在上時，因為，則，（內(nèi)區(qū)域出現(xiàn)負(fù)冪次?。┘墧?shù)在上一致收斂，并且隨著的減小，這種收斂愈加增快。當(dāng)在上時，因為，則，（外區(qū)域仍然是正冪次！） 級數(shù)在上