初中數(shù)學(xué)北師大九年級下冊（2023年新編） 二次函數(shù)二次函數(shù)綜合應(yīng)用（郭瑛）

1、二 次 函 數(shù) 綜 合 應(yīng) 用 與二次函數(shù)有關(guān)的三角形面積研究一、學(xué)情分析 學(xué)生已有完整的二次函數(shù)知識體系，在此基礎(chǔ)上，進一步深入研究二次函數(shù)與三角形面積相結(jié)合的問題，讓學(xué)生進一步體會并建立起函數(shù)與幾何之間的鏈接.二、教學(xué)任務(wù)分析 教學(xué)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容安排1個課時完成主要研究拋物線中特殊點構(gòu)成的三角形面積及在二次函數(shù)框架中對三角形面積變換的研究 地位及作用二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中重要知識點.在對它與幾何圖形相結(jié)合的研究中可以充分體現(xiàn)函數(shù)思想、方程思想及數(shù)形結(jié)合、分類、變換的思想，因此歷來在中考中是作為學(xué)生能力測試的最好載體三、教學(xué)目標(biāo)分析 教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)1掌握二次函數(shù)中特殊點構(gòu)成三角形面積的計

2、算方法；2能對幾何信息與函數(shù)信息進行熟練地轉(zhuǎn)換；3掌握三角形面積在底不變的前提下的變化規(guī)律過程與方法目標(biāo)通過對函數(shù)信息與幾何信息的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的形象思維，從而建立函數(shù)與幾何的鏈接同時在教師引導(dǎo)下，以學(xué)生自主探究、合作交流的方式展開教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、探究、交流、歸納等探索活動使學(xué)生形成自己對數(shù)學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)模式情感與態(tài)度目標(biāo)進一步豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功體驗,并形成積極參與數(shù)學(xué)活動、主動與他人合作交流的意識. 教學(xué)重點1.二次函數(shù)圖像上特殊點構(gòu)成的三角形的面積計算；2.三角形面積變化規(guī)律在二次函數(shù)框架中的運用 教學(xué)難點三角形面積變化在二次函數(shù)中的運用并能結(jié)合函數(shù)知識求出滿足條件點

3、的坐標(biāo)四、教法學(xué)法 教學(xué)方法：引導(dǎo)探究歸納本節(jié)課的教學(xué)對象是進入總復(fù)習(xí)階段的初三學(xué)生,他們的參與意識較強,思維活躍,對二次函數(shù)有較好的知識基礎(chǔ),為了實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),我力求從以下三個方面對學(xué)生進行引導(dǎo):1. 從創(chuàng)設(shè)問題情景引入,通過對舊知識復(fù)習(xí),展開教學(xué)過程；2. 從簡單例題入手,通過不斷變式,層層深入，順勢教學(xué)過程；3. 利用探索,研究手段,通過深入思維,引導(dǎo)教學(xué)過程. 課前準(zhǔn)備教具: 教案、電腦、多媒體課件.學(xué)具: 學(xué)案、筆記本、課堂練習(xí)本、作圖工具.五、教學(xué)過程第一環(huán)節(jié): 引入課題 學(xué)生觀察動畫，通過往屆中考原題呈現(xiàn)，找出題目的共性與三角形的面積相關(guān) 1. (2023年成都)28（本

4、小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yax22ax3a（a0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：ykxb與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD4AC（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）；點E是直線l上方的拋物線上的動點，若ACE的面積的最大值為，求a的值； (2023年綿陽)如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(0,3)，且此拋物線的頂點坐標(biāo)為M（-1,4）。（1）求此拋物線的解析式。（2）設(shè)點D為該拋物線對稱軸上的任意一點，當(dāng)ACD與ACB面積相等時，

5、求點D的坐標(biāo)。3. (義烏中考)如圖,拋物線的頂點M的坐標(biāo)是(1,3),且與y軸交于點C(0,2)，與x軸交于A、B兩點. (1)寫出拋物線解析式 ； (2)點P是拋物線上的一點,且使ABP的面積等于ABM 的面積,則所有滿足條件的點P 的個數(shù)為 .4. (四川南充中考)二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，那么在此拋物線上是否存在這樣的點P， 使SAPB=2SABC ，若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.設(shè)計說明：激發(fā)學(xué)生的求知欲望,吸引同學(xué)們的注意力,并把本節(jié)內(nèi)容拋出,達到引入本節(jié)課的內(nèi)容與二次函數(shù)有關(guān)的三角形面積研究.同時以往屆中考原題呈現(xiàn)的方式讓學(xué)生感知本課內(nèi)容的重要

6、性.對拋物線上特殊點構(gòu)成的三角形面積計算進行歸納總結(jié):對于拋物線前提: 重要四點: 其中是方程的兩根. 四個重要的三角形: ABC ABM ACM BCM面積的求法: 第二環(huán)節(jié): 知識講解例1 已知拋物線與x軸交于不同的兩點A和B（點A在B的左側(cè)），與y軸交于C點. (1)求ABC的面積. 設(shè)計說明：從簡單例題入手,讓學(xué)生體驗幾何知識在其中的運用,并感受解決此類問題的一般方法, 建立一個初步的函數(shù)模型, 為后面的變式奠定基礎(chǔ),也讓學(xué)生感受成功的喜悅.答案: SABC6練習(xí): 1、 分別求出例1中ABM、ACM、BCM的面積?2、 如圖,二次函數(shù)的圖像交x軸于A、B兩點,交y軸于C點,則ABC的

7、面積為 ( ) 已知拋物線與y軸交于點A,與x軸的正半軸交于B、C兩點,且BC=2,SABC =3,那么c= .答案: (1) ABM、ACM和BCM的面積分別為：8、1、3； (2) C； (3) 3.變式一(2) 在拋物線上是否存在點P(不與C重合),使ABP的面積等于ABC 的面積?若存在,請求出所有滿足的P點;若不存在，請說明理由?設(shè)計說明：通過該變式，讓學(xué)生進一步探究已知三角形一定邊與面積的前提下, 第三頂點在拋物線上的存在性問題,并引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有知識,大膽猜想,勇于探索,鼓勵學(xué)生積極思維,幫助學(xué)生提高分析,解決問題的能力,體驗解決存在性問題的一般方法.復(fù)習(xí)內(nèi)容: (1)在平面內(nèi)已

8、知三角形一邊及面積,第三頂點在平行于定邊且距離等于高的兩條平行線上； (2) 平面直角坐標(biāo)系中點到x軸的距離等于縱坐標(biāo)的絕對值.答案： P點坐標(biāo)為 ()、(,3)、(,3).變式二 (3) 在拋物線上是否存在點P,使ABP的面積等于ABC 面積的2倍?若存在,請求出所有滿足的點P ；若不存在請說明理由?設(shè)計說明:在三角形底不發(fā)生變化的前提下,讓學(xué)生進一步掌握三角形面積之比等于高之比，并能熟練的轉(zhuǎn)化為函數(shù)信息.答案: 點坐標(biāo)為 ()練習(xí): 在例1的拋物線上是否存在點P,使ABP的面積等于ABC 面積的?若存在,那么有幾個滿足的P點 ；若不存在請說明理由?答案: 四個P點.設(shè)計說明 :對滿足條件點的個數(shù)進行歸納: 前提：已知三角形定邊及三角形面積. 四個交點 三個交點 兩個交點第三環(huán)節(jié): 挑戰(zhàn)自我變式三 在例1的拋物線上是否存在異于點C的P點,使BCP的面積等于ABC的面積.設(shè)計說明：通過變式，讓學(xué)生感受三角形底邊不在x軸上, 第三頂點在拋物線上的存在性問題,并能通過討論去感知解題思路,與例一的變式進行類比. 答案：P點的坐標(biāo) 第四環(huán)節(jié) 課后小結(jié)今天，你有什么收獲？設(shè)計說明：鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,談?wù)勛约旱氖斋@和感想(學(xué)生暢所欲言,教師正確點評并給予鼓勵),進一步鞏固本節(jié)課的知識.第五環(huán)節(jié) 課外探究變式四: 在拋物線上是否存在一個點P,