2021北京高三一模壓軸題匯編學生版

1、 （2021 平谷一模壓軸題）21 （15 分）已知數列 : , , , (0 , 3) 具有性質 ：對任意A a a a a a naP12n12ni, j (1 i j n)，a + a 與 a a 兩數中至少有一個是該數列中的一項， 為數列 的S Anjiji前 項和n（）分別判斷數列 0，1，3，5 與數列 0，2，4，6 是否具有性質 ；Pna（）證明： = 0 ，且 =；aSn1n2（）證明：當n = 4 時， , , , , 成等差數列a a a a a12345（學探診總復習下冊理科模擬練習第八套）（2016 房山一模理）（20）（本小題 13 分）()= a ,a , ,a

2、0 a a a ,n 2已知數集 M具有性質 P ：對任意的兩數中至少有一個屬于M .12n12n()i, j 1 i j n ， a+ a a a與ijji 0,1,30,2,3,5是否具有性質 P ，并說明理由；（）分別判斷數集與2= 0a = (a + a + + a + a )；（）證明：a，且1nn12n1n（）當n = 5時，證明：成等差數列.a1,a ,a ,a ,a2345 （2021 人大附 3 月考）21（本小題 15 分） 0 a a a已 知 項 數 為 ( ， 3) 的 數 列 a 滿 足k k N， 若 對 任 意 的kn12k i，j(1 i j k)+ 與 a

3、a， aa至少有一個是數列 a 中的項，則稱數列 a 具有性質jijinnP（）判斷數列 0，2，4，8 是否具有性質 P，并說明理由； （）設項數為 10 的數列具有性質 ， a = 36 ，求a + a + + a + a；aPn1012910 （）若數列 a 具有性質 ，且不是等差數列，求 Pkn（2019 石景山一模理 20）20.（本小題 13 分）若項數為 的單調遞增數列 滿足：nan =1；a1k n ），存在 i j （ ,N ,Ni j n，1 ）使得對任意 （ ，kkN* 2 i*j*a = a + a，則稱數列 具有性質 .aPkijn1, 3, 4, 7 1, 2, 3

4、,5和（）分別判斷數列是否具有性質 ，并說明理由；P（）若數列 具有性質 ，P 且 a= 36，ann（）證明數列 的項數n7；an（）求數列 中所有項的和的最小值an類例：已 知 數 集a a a a a a n= , , , (1= , 2) 具 有 性 質 P : 對 任 意 的A12n12nk(2k n),i, j(1i j n) ，使得 a= a + a 成立.kij（）分別判斷數集1,3,4和1,2,3,6 是否具有性質 ，并說明理由；P（）求證： 2 + + +a an( 2) ；aan12n1（III）若 = 72 ，求數集 A 中所有元素的和的最小值.an ()= a ,a

5、, a 1 a a a ,n 3具有性質 ：對任P(2009 年 北京20 題) 已知數集 A12n12na, j 1 i j n)(a aiA兩數中至少有一個屬于 .意的i，與jaji 1,3, 41,2,3,6P=1，并說明理由； () 證明： a ，且() 分別判斷數集與是否具有性質1a + a + + a= a= 5, , , ,時， a a a a a 成等比數列.；() 證明：當n12n1a + a + + a11n1234512n（2018 海淀二模理 20）20. （本小題共 13 分） 如果數列滿足“對任意正整數i, j ，i j ，都存在正整數 ，使得 =a a”，則稱數a

6、akkijn 列具有“性質 P”.已知數列是無窮項的等差數列，公差為 .anadn （）若 = 2 ，公差3，判斷數列是否具有“性質 P”，并說明理由；a1=and （）若數列（）若數列具有“性質 P”，求證： 0 且0；aa1d n 具有“性質 P”，且存在正整數 ，使得 = 2018 ，這樣的數列共有多aaakn少個？并說明理由kn（2021 豐臺一模壓軸題）（21）（本小題 14 分）已知數列 : , , , ( N )，現將數列 A 的項分成個數相同的兩組，第一組為A a a a n*122nB :b ,b , ,b， 滿 足 ( =1,2, , 1) ； 第 二 組 為: , ,C

7、c c,c ， 滿 足b b in12n+112niinc c (i =1,2, ,n1)i，記 =M b ci+1iii=1（）若數列 A:1,2,4,8，寫出數列 A 的一種分組結果，并求出此時M 的值； n ；（其中 b c 表示max ,（）若數列 A:1,2,3, ,2n，證明：max , +1( =1,2, , )b cniiiiib ,c 中較大的數）ii（）證明：M 的值與數列 A 的分組方式無關. （類似初中競賽題）將1,2,3,4, ,199,200 這 200 個數任意分為兩組，每組100 個數，將其中一組按從小到大的順序排列（記為 a a），另一組按從大到小的順序排列（

8、記為 b b）b100a1001212求| | + | | + + |a b a b| 的值a100b1001122（2020 人大附初一周測）27.我們將不大于2020的正整數隨機分為兩組。第一組按照升序排列得到 ，a a1a10102第二組按照降序排列得到 b b，求| | + | | + + |a b a b| 的所有可b1010a1010b1010121122能值.（2021 門頭溝一模壓軸題）21.（本小題滿分 15 分）對于一個非空集合 A，如果集合 D 滿足如下四個條件： (a,b) | a A,b A； Da A,( a,a) D；a,b A,，若(a,b) D (b,a) D

9、且 ，則 ab；a,b,c A，若(a,b) D (b,c) D ，則(a,c) D且 ，則稱集合 D 為 A 的一個偏序關系。（I）設 A1,2,3，判斷集合 D(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)是不是集合 A 的偏序關系，請你寫出一個含有 4 個元素且是集合 A 的偏序關系的集合 D；（II）證明：R (a,b)|aR,bR,ab是實數集 R 的一個偏序關系：（III）設E 為集合 A 的一個偏序關系，a,bA.若存在 cA,使得（c,a）E,（c,b）E，且d A，若(d, a) E，(d,b)E，一定有(d,c)E，則稱 c 是 a 和 b 的交，記為 cab.證

10、明：對 A 中的兩個給定元素 a,b,若 ab 存在，則一定唯一. （2021 朝陽一模壓軸題）（21）（本小題 15 分）:a ,a , ,aqB :b ,b , ,b（ 2 ），若存在公比為 的等比數列設數列 A，使得mm12mm+112m+1b a b ，其中 k =1,2,m，則稱數列 B 為數列 A 的“等比分割數列”kkk+1（）寫出數列 Am+1的一個“等比分割數列”B ；m: 3,6,12,2445（）若數列的通項公式為 = 2 ( =1,2, ,10)，其“等比分割數列” 的首項為1，a n n BA1011n求數列 的公比q的取值范圍；B11= n (n =1,2, ,m)

11、，且數列 存在“等比分割數列”，A（）若數列 的通項公式為aA2nm求 的最大值mm（2021 石景山一模壓軸題）（2 1）（本小題15 分）由 m 個正整數構成的有限集a a a= , , , , （其中a a a a ）， 記Ma123m123m( )P(M ) = a + a + + a，特別規(guī)定 P = ，若集合 M 滿足：對任意的正整數0k P(M)，12m= P(A) P(B)都存在集合 M 的兩個子集 A，B，使得k成立，則稱集合 M 為“滿集”.（）分別判斷集合M = 1,2與= 2,3是否為“滿集”，請說明理由；M12（）若集合 M 為“滿集”，求 的值；a1（）若 , ,

12、, , 是首項為 1 公比為 2 的等比數列，判斷集合M 是否為“滿集”，并說a a aa123m明理由（2021 懷柔一模壓軸題）21（本小題 15 分）(為n n)= 3,4,階“期待數列”：,a ,a , ,a定義滿足以下兩個性質的有窮數列a123n+ a + a + + a = 0 a；123n+ a + a + + a =1 a123n （）若等比數列 a 為 4 階“期待數列”，求 a 的公比；nn （）若等差數列 a 是2k +1階“期待數列”（n= 1,2,3, ,2k +1k 是正整數，求 ann的通項公式； （）記2k階“期待數列” a 的前 n 項和為 （nk 是不小于

13、2 的整= 1,2,3, ,2kSnn 12數），求證： Sk(2015 年人大附中 12 月月考)20、（13 分）設有窮數列a （m=1,2,3,4，,n；n=2,3,4,）滿足以下兩個條件：mnn = 0；=1；稱a 為 n 階“單位數列”。aamiii=1i=1（）分別寫出一個單調遞增的 3 階和 4 階“單位數列”；（）若某 2k+1(k N *)階“單位數列”是等差數列，求該數列的通項公式；（）記 n 階“單位數列”的前 k 項和為，S (k = 1, 2,3, , n)k1 112aii求證：（1）；（2） nS .k2 2ni=1(1989 全國高中數學聯賽決賽二試二題)x =

14、1， x = 0，nn R=1, 2, ,n ，n2二、（本題滿分 35 分）已知 x,（i）滿足iiii=1i=1x 1 1n 求證：。ii 2 2ni=1 （2021 東城一模壓軸題）（21）（本小題 15 分）設 n（n2）為正整數，若 （x ，x ，x ）滿足：12n x 0，1，n1，i1，2，n；i 對于 1ijn，均有 x x；i則稱 a 具有性質 E（n）.對于 a（x ，x ，x ）和（y ，y ，y ），定義集合T（，） t|t|x y |，12n12niii1，2，n.（I）設 a（0，1，2），若 （y ，y ，y ）具有性質 E（3），寫出一個 及相應的 T123（a

15、，） ；（II）設 和 具有性質 E（6），那么 T（，）是否可能為0，1，2，3，4，5，若可能，寫出一組 和 ，若不可能，說明理由；（III）設 和 具有性質 E（n），對于給定的 ，求證：滿足 T（，）0，1，n1的 有偶數個.（2021 西城一模壓軸題）（21）（本小題 15 分）已知數列A：a ，a ，a（N3 的各項均為正整數，設集合Tx|xa a 1ijN，）12Nji記 T 的元素個數為 P（T）.（I）若數列 A:1，2，4，3，求集合 T，并寫出 P（T）的值；（II）若 A 是遞增數列，求證:“P（T）N1”的充要條件是“A 為等差數列”；（III）若 N2n1，數列 A

16、 由 1.，2，3，n，2n 這 n1 個數組成，且這 n1 個數在數列 A 中每個至少出現一次，求 P（T）的取值個數. （2021 海淀一模壓軸題）（21）（本小題共 14 分）已知無窮數列a ，對于 mN ，若a 同時滿足以下三個條件，則稱數列a 具有性*nnn質 P(m).條件：a 0（n1，2，）；n條件：存在常數 T0，使得 a T（n1，2，）；n條件：a a ma （n1，2，）.n 2nn+11( )（I）若 a 54xn（n1，2，），且數列a 具有性質 P（m），直接寫出m 的n2n值和一個 T 的值；（II）是否存在具有性質 P（1）的數列a ?若存在，求數列a 的通項

17、公式；若不存在，nn說明理由；（III）設數列a 具有性質 P（m），且各項均為正整數，求數列a 的通項公式.nn（2021 房山一模壓軸題）(21)(本小題 14 分) max a ,a , ,a表示= max a ,a , ,a (n=1,2，3， )對于數列 a ，記b，其中nn12n12k a ,a , ,a 這 個數中最大的數，并稱數列 b 是 a 的 控制數列 ，如數列1,2,3,2“”k12knn的“控制數列”是1,2,3,3. ，寫出所有的 a ；1,3,4,4（）若各項均為正整數的數列 a 的“控制數列”為nn= an 2n ( N*).（）設an2nb b,b,m+2（i）

18、當 a 0時，證明:存在正整數m ，使得是等差數列；mm+1m m +1 m + 2 b b b b+ + +2 3 4 2,2（ii）當 a時，求的值（結果可含a ）.11 2 3 4 （2021 延慶一模壓軸題）21（本小題共 14 分） a若無窮數列 a 滿足： N ，對于n n (n N ) ，都有= （其中 為常m*n+mqqn00an 數），則稱 a 具有性質“ ( , , ) ”.Q m n qn0 （）若 a 具有性質“ (3,2,2) ”，且2 ， + + =18，求 ；a a aQa = a =a246783n1 （）若無窮數列 b 是等差數列，無窮數列 c 是公比為 的等

19、比數列，4 ，b = c =2nn33 ， = + ，判斷 a 是否具有性質“ (2,1,2) ”，并說明理由；a b cb + c = cQ112nnnn （）設 a 既具有性質“ ( ,1, ) ”，又具有性質“ ( ,1, ) ”，其中i，jN ，i j ，Q i qQ j q*n12 ji求證： a 具有性質“ ( , +1, ) ”.Q j i iqjn2 一飯千金幫助漢高祖打平天下的大將韓信，在未得志時，境況很是困苦。那時候，他時常往城下釣魚，希望碰著好運氣，便可以解決生活。但是，這究竟不是可靠的辦法，因此，時常要餓著肚子。幸而在他時常釣魚的地方，有很多漂母（清洗絲棉絮或舊衣布的老婆婆）在河邊作工的，其中有一個漂母，很同情韓信的遭遇，便不斷的救濟他，給他飯吃。韓信在艱難困苦中，得到那位以勤勞克苦僅能以雙手勉強糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便對她說，將來必定要重重的報答她。那漂母聽了韓信的話，很是不高興，表示并不希望韓信將來報答她的。后來，韓信替漢王立了不少功勞，被封為楚王，他想起從前曾受過漂母的恩惠，便命從人送酒菜給她吃，更送給她黃金一千兩來答謝她。這句成語就是出于這個故事的。它的意思是說：受人的恩惠，切莫忘記，雖然所受的恩惠很是微小，但在困難時，即使一點點幫助也是很可貴的；到我們有能力時，應該重重地報答施惠的人才是合理。【感恩小結】感恩，是結草銜環(huán)，是滴水