《導(dǎo)數(shù)-深度·拔高系列講義》第3篇 構(gòu)造函數(shù)解決函導(dǎo)壓軸小題（內(nèi)附：萬能積分法+不定積分詳解） - 學(xué)生版

1、關(guān)注微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)精品課，獲取號(hào)內(nèi)其他深度系列講義！ 邏輯出品，必屬精品加入QQ群439883560，獲取解析版學(xué)生Word版講義 邏輯出品，必屬精品 公眾號(hào)邏輯數(shù)學(xué)精品課深度拔高系列之導(dǎo)數(shù)2020/09/16導(dǎo)數(shù)-深度拔高系列講義第3篇 構(gòu)造函數(shù)解決函導(dǎo)壓軸小題（內(nèi)附：萬能積分法+不定積分詳解）總編：山東濟(jì)南徐偉目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc53598485 一、技能儲(chǔ)備 PAGEREF _Toc53598485 h 3 HYPERLINK l _Toc53598486 情境一.常規(guī)構(gòu)造 PAGEREF _Toc53598486 h 3 HYPE

2、RLINK l _Toc53598487 題型：指冪型 PAGEREF _Toc53598487 h 3 HYPERLINK l _Toc53598488 題型：三角型 PAGEREF _Toc53598488 h 5 HYPERLINK l _Toc53598489 題型：對(duì)數(shù)型 PAGEREF _Toc53598489 h 5 HYPERLINK l _Toc53598490 情境二.非常規(guī)構(gòu)造 PAGEREF _Toc53598490 h 5 HYPERLINK l _Toc53598491 題型1：在常規(guī)構(gòu)造的基礎(chǔ)上，導(dǎo)數(shù)相關(guān)式中存在獨(dú)立于和之外的項(xiàng) PAGEREF _Toc53598

3、491 h 5 HYPERLINK l _Toc53598492 題型2：若干常規(guī)構(gòu)造模型組合（附：萬能積分法） PAGEREF _Toc53598492 h 9 HYPERLINK l _Toc53598493 二、拓展：不定積分 PAGEREF _Toc53598493 h 12 HYPERLINK l _Toc53598494 一、原函數(shù)與不定積分 PAGEREF _Toc53598494 h 12 HYPERLINK l _Toc53598495 二、基本積分表 PAGEREF _Toc53598495 h 13 HYPERLINK l _Toc53598496 三、不定積分的性質(zhì) P

4、AGEREF _Toc53598496 h 13 HYPERLINK l _Toc53598497 四、計(jì)算方法 PAGEREF _Toc53598497 h 14 HYPERLINK l _Toc53598498 NO.1第一類換元積分法（湊微分法） PAGEREF _Toc53598498 h 14 HYPERLINK l _Toc53598499 NO.2第二類換元法 PAGEREF _Toc53598499 h 15 HYPERLINK l _Toc53598500 NO.3分部積分法（湊微分法） PAGEREF _Toc53598500 h 16 HYPERLINK l _Toc53

5、598501 三、典型例題 PAGEREF _Toc53598501 h 17一、技能儲(chǔ)備【引例】已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且當(dāng)成立，,則的大小關(guān)系是 ( ) 類似于引例，在已知這種導(dǎo)數(shù)相關(guān)式（等式或不等式）的前提下，讓我們解與相關(guān)的不等式或比較大小的題目，這種問題的難點(diǎn)是如何通過導(dǎo)數(shù)相關(guān)式構(gòu)造出與相關(guān)的單調(diào)性可推算的新函數(shù)（有時(shí)也直接求出的解析式）進(jìn)而求解問題構(gòu)造新函數(shù)是解決這類問題的通法也是難點(diǎn)，下面我們就以導(dǎo)數(shù)相關(guān)式的種類為依據(jù)進(jìn)行分類，分別介紹不同類型下如何構(gòu)造新函數(shù).微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)精品課情境一.常規(guī)構(gòu)造 題型：指冪型 【解題模型】 1. 若，則可構(gòu)造函數(shù)；2. 若，則可構(gòu)造函

6、數(shù)；3. 若，則可構(gòu)造函數(shù)； 若，則可構(gòu)造函數(shù)，().4. 若，則可構(gòu)造函數(shù)； 若，則可構(gòu)造函數(shù)，().5. 若，則可構(gòu)造函數(shù)；微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)精品課 若，則可構(gòu)造函數(shù)，().6. 若，則可構(gòu)造函數(shù)； 若，則可構(gòu)造函數(shù)，().7. 若，則可構(gòu)造函數(shù)； 8. 若，則可構(gòu)造函數(shù)；9.若，則可構(gòu)造函數(shù)； 若，則可構(gòu)造函數(shù)(注意x的正負(fù))； 若，則可構(gòu)造函數(shù)(注意x的正負(fù))；10. 若，則可構(gòu)造函數(shù)(注意x的正負(fù)，n的奇偶)；題型：三角型【解題模型】11. 若，則可構(gòu)造函數(shù)； 若，則可構(gòu)造函數(shù)(注意x的取值范圍)；12. 若，則可構(gòu)造函數(shù)；若，則可構(gòu)造函數(shù) (注意x的取值范圍)；題型：對(duì)數(shù)型【解題

7、模型】 微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)精品課13. 若，則可構(gòu)造函數(shù)； 若，則可構(gòu)造函數(shù)；14. 若，則可構(gòu)造函數(shù)()； 若，則可構(gòu)造函數(shù)()；情境二.非常規(guī)構(gòu)造題型1：在常規(guī)構(gòu)造的基礎(chǔ)上，導(dǎo)數(shù)相關(guān)式中存在獨(dú)立于和之外的項(xiàng)題型概述：由于導(dǎo)數(shù)相關(guān)式中存在獨(dú)立于和之外的項(xiàng)，也就意味著我們通過情境一中的模型構(gòu)造完函數(shù)之后，還存在未被構(gòu)造的項(xiàng)，此時(shí)面臨的問題是：如何處理，我們有如下處理策略：【解題策略】題型1.1：導(dǎo)數(shù)相關(guān)式為等式【典例1】設(shè)函數(shù)滿足則函數(shù)（ ）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；【典例2】設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且則的解集為（ ）微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)

8、學(xué)精品課 題型1.2：導(dǎo)數(shù)相關(guān)式為不等式【典例3】若定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足且，則下列結(jié)論一定成立的是（ ） 【典例4】設(shè)函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，且，下面不等式恒成立的是（ ）微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)精品課 題型2：若干常規(guī)構(gòu)造模型組合（附：萬能積分法）題型概述：導(dǎo)數(shù)相關(guān)式是由常規(guī)構(gòu)造中若干模型組合而來，有也有，但是不存在獨(dú)立項(xiàng)【解題策略】下面以這道題為例，對(duì)積分法的一些升級(jí)操作及其萬能屬性進(jìn)行說明【典例5】已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則 在上為減函數(shù) 在上為增函數(shù)【題1】已知，構(gòu)造函數(shù).【題2】已知，構(gòu)造函數(shù).【題3】已知，構(gòu)造函數(shù).下面學(xué)點(diǎn)積分吧，如果你也想萬能二、拓展：不定積分 一、原函

9、數(shù)與不定積分定義1：若，則稱為的原函數(shù)。 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)； 若為的原函數(shù)，則也為的原函數(shù)；事實(shí)上， 的任意兩個(gè)原函數(shù)僅相差一個(gè)常數(shù)。事實(shí)上，由，得故表示了的所有原函數(shù)，其中為的一個(gè)原函數(shù)。定義2：的所有原函數(shù)稱為的不定積分，記為，積分號(hào)，被積函數(shù)，積分變量.顯然二、基本積分表1、2、3、4、5、6、7、8、9、12、13、三、不定積分的性質(zhì)1.2.四、計(jì)算方法NO.1第一類換元積分法（湊微分法）方式1.題1、求不定積分方式2. 題2、求不定積分方式3. 題3、求不定積NO.2第二類換元法方式1.三角代換題4、解：令，則原式=題5、解：令原式=小結(jié)：中含有可考慮用代換方式2.無理代換例6、

10、解：令原式=NO.3分部積分法（湊微分法）分部積分公式：簡(jiǎn)證：因?yàn)椋谑?，故?（前后相乘）（前后交換）口訣：“對(duì)反冪三指”，分別對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)函數(shù)、反函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)。越往前則可認(rèn)定在不定積分中充當(dāng)著，越往后則為。例7、例8、例9、或解：令原式例10、故三、典型例題例題以情境1為主，其他情境在前文已有例題對(duì)應(yīng)，在此不再贅述.【例6】已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且當(dāng)成立，,則的大小關(guān)系是 ( ) 微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)精品課 【例7】已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，若，則下列關(guān)于的大小關(guān)系正確的是（ D ） 【例8】已知為上的可導(dǎo)函數(shù)，且，均有，則有A， B，C， D，微信公眾號(hào)

11、：邏輯數(shù)學(xué)精品課【例9】 已知函數(shù)為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于任意恒成立，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（ C ） 微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)精品課【例10】已知函數(shù)對(duì)任意的滿足,則（ ）A B. C. D. 【例11】若函數(shù)y=在R上可導(dǎo)且滿足不等式恒成立，對(duì)任意正數(shù)、，若，則必有（ ）A B C D【例12】已知是定義在（0，+）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足0，對(duì)任意正數(shù)、，若，則必有（ ）A B 微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)精品課C D【例13】設(shè)是上的可導(dǎo)函數(shù)，分別為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則當(dāng)時(shí)，有（ C ） 【例14】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)2，對(duì)任意xR，則f(x)2x4的解集為()A(1,1) B(1

12、，)C(，1) D(，)【例15】已知函數(shù)滿足，且，則的解集為（ ）A. B. C. D. 【例16】定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則關(guān)于的不等式的解集為 【例17】已知函數(shù)為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于任意恒成立，且，則的解集為 微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)精品課【例18】函數(shù)的定義域是，對(duì)任意，則不等式的解集為（ A ） B. C. D. 【例19】設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集是 【例20】已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式 的解集為（ C ）A. B. C. D.【例21】函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意xR，都有成立，則不等式的解集為（ C ） A. B. C. D.【例22】設(shè)是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，,則不等式的解集為（ D ）A. B. C. D. 【例23】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且時(shí),則不等式的解集是_【例24】設(shè)是上的可導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為 【例25】設(shè)分別是定義在上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為 . 微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)精品課【例26】已知上的函數(shù)滿足，且，若，則關(guān)于的不等式的解集為 . 【例27】設(shè)奇函數(shù)定義在上，其導(dǎo)函數(shù)為，且，當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的不等式的解集為_.【例28】設(shè)是上的可導(dǎo)函數(shù)，且，.則的值為 .【例29】已知的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，且，若存在，使，則的值為 1 .（提示：構(gòu)造）【例30】已知定