高二數(shù)學(xué)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理

1、高二數(shù)學(xué)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理第1頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四甲問題1 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？乙火 車 2火 車 1火 車 3汽 車 1汽 車 23+2=5（種）第2頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理又稱“加法原理” 完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1 種不同的方法，在第2類方法中有 m2 種不同的方法，在第n類辦法中有mn 種不同的方法，那么完成這件事共有 Nm1 m2 mn種不同的方法第3

2、頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四關(guān)于分類計(jì)數(shù)原理的幾點(diǎn)注記： 各類辦法之間相互獨(dú)立，都能完成這件事，且辦法總數(shù)是各類辦法相加，所以這個原理又叫做加法原理； 分類時，首先要在問題的條件之下確定一個分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類； 完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，且分別屬于不同兩類的兩種方法都是不同的不重不漏 第4頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四火 車 2火 車 1火 車 3問題2 從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地。一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？ 甲乙

3、丙汽 車 2汽 車 1火車1汽車1 火車1汽車2 火車2汽車1火車2汽車2 火車3汽車1 火車3汽車2第5頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四分步計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法做第步有種不同的方法那么完成這件事共有N種不同的方法分步計(jì)數(shù)原理又叫作“乘法原理”第6頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四關(guān)于分步計(jì)數(shù)原理的幾點(diǎn)注記各個步驟之間相互依存，且方法總數(shù)是各個步驟的方法數(shù)相乘，所以這個原理又叫做乘法原理 ；分步時首先要在問題的條件之下確定一個分步標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分步標(biāo)準(zhǔn)下分步； 完成這件事的任何一

4、種方法必須并且只需連續(xù)完成每一個步驟 更多資源 第7頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法總數(shù)的問題區(qū)別在于：分類計(jì)數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用中任何一種方法都可以做完這件事；分步計(jì)數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事第8頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四例題例1 書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書。 （1）從書架上任取一本書，有多

5、少種取法？ （2）從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同的取法?注意區(qū)別“分類”與“分步”第9頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四解 : (1)從第1層任取一本,有4種取法,從第2層任取一本,有3種取法,從第3層任取一本,有2種取法,共有 4+3+2=9種取法。答：從書架上任意取一本書，有9種不同的取法。(2) 從書架的1 、 2 、 3層各取一本書,需要分三步完成, 第1步,從第1層取1本書,有4種取法,第2步,從第2層取1本書,有3種取法,第3步, 從第3層取1本書,有2種取法.由分步計(jì)數(shù)原理知,共有 432=24種取法。答：從書架上的第1、2、3層各取一本書

6、，有24種不同的取法。分類時要做到不重不漏分步時做到不缺步第10頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四例2 一種號碼鎖有4個撥號盤,每個撥號盤上有從0到9共10個數(shù)字,這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字的號碼? 本題的特點(diǎn)是數(shù)字可以重復(fù)使用，例如0000，1111，1212等等，與分步計(jì)數(shù)原理比較，這里完成每一步的方法數(shù) m=10，有n=4個步驟,結(jié)果是總個數(shù)N=10101010=104 解：由于號碼鎖的每個撥號盤有0到9這10個數(shù)字，每個撥號盤的數(shù)字有10種取法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，4個撥號盤上各取1數(shù)字組成的個數(shù)是 答：可以組成10000個四位數(shù)字號碼。N=104 。一般

7、的，完成一件事有n個步驟，每一步驟的方法數(shù)相同，都是m, 則完成這件事共有 種不同方法。 （牢記：步驟數(shù)n是指數(shù)?。﹎n第11頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四3. 四名研究生各從A、B、 C三位教授中選一位作自己的導(dǎo)師，共有_種選法；三名教授各從四名研究生中選一位作自己的學(xué)生，共有_種選法。2. 在120共20個整數(shù)中取兩個數(shù)相加,使其和為偶數(shù)的不同取法共有多少種?答.：(109+109)/2=90（種）.43 1. 某中學(xué)的一幢5層教學(xué)樓共有3處樓梯口,問從1樓到5樓共有多少種不同的走法?答： 3333=34=81（種）練 習(xí) 34 第12頁，共19頁，2022年，

8、5月20日，11點(diǎn)42分，星期四例3 要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？解：從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，可以看成是經(jīng)過先選1名上日班，再選1名上晚班這兩個步驟完成。先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后再選1名上晚班，上晚班的工人有2種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,所求的不同的選法數(shù)是 答：有6種不同的選法。第13頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四 日班 晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相應(yīng)的排法不同排法如下圖所示甲 乙 甲 丙乙 甲 乙 丙丙 甲丙 乙 日班 晚班練 習(xí)P86 練習(xí) 2、3、4、5第14頁，共19頁，2022年，

9、5月20日，11點(diǎn)42分，星期四例4 有數(shù)字 1，2，3，4，5 可以組成多少個三位數(shù)（各位上的數(shù)字許重復(fù)）？解：要組成一個三位數(shù)可以分成三個步驟完成： 第一步確定百位上的數(shù)字，從5個數(shù)字中任選一個數(shù)字，共有5種選法； 第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，這仍有5種選法； 第三步確定十位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法。 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到組成的三位數(shù)的個數(shù)是： N = 5 5 5 = 53 = 125 答：可以組成125個三位數(shù)。第15頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四例5 :滿足 AB=1,2的集合A ,B共有多少種?解析: 法一 A, B均是1,2的子集:

10、,1,2,1,2,但不是隨便兩個子集搭配都行,本題猶如含A B的 兩元不定方程,其全部解分為四類:1. 當(dāng)A=時,只有B=1,2得1組解; 2. 當(dāng)A=1時,B=2或1,2,得2組解; 3. 當(dāng)A=2時,B=1或1,2,得2組解;備選例題第16頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四4. 當(dāng)A=1,2時,B=或1或2或1,2,得4組解由加法原理,共有1+2+2+4=9組解法2: 設(shè)A,B為兩個“口袋”,需將兩種元素(1與2)裝入,任一元素至少裝入一個袋中分兩步可辦好此事:第1步裝“1”,可裝入A不裝入B,也可裝入B不裝入A,還可既裝入A又裝入B,有3種裝法;第2步裝“2”,同

11、樣有3種裝法.由乘法原理,共有 3 3=9 種裝法第17頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四 1 一件工作可以用兩種方法完成。有5人會用第一種方法完成，另有4人會用第二種方法完成。選出一個人來完成這件工作，共有多少種選法？2乘積( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + 5 )展開后共有項(xiàng)？ 4 + 5 = 9練習(xí)2：1、把四封不同的信任意投入三個信箱中,不同投法種數(shù)是( ) A. 12 B.64 C.81 D.72、火車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有 （ ）種A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不對練習(xí)1：CA第18頁，共19頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)42分，星期四總結(jié)：分類計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它可以有 n 類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第一類辦法中有m2種不同的方法， ，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那麼完成這件事共有 N= m1+ m2+ + mn 種不同的方法。分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種