復(fù)變函數(shù)與積分變換-第二章

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換-第二章第1頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第2頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第3頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第4頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換導(dǎo)數(shù)的分析定義：第5頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法則（以下出現(xiàn)的函數(shù)均假設(shè)可導(dǎo)）： （1） 其中 為復(fù)常數(shù)

2、；（2） 其中 為正整數(shù)；（3） ；（4） （5） ；第6頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換（6） ； （7） 是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且 .第7頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換2.解析的概念第8頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第9頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換注解1、“可微”有時(shí)也可以稱為“單演”，而“解析”有時(shí)也稱為“單值解析”、“全純”、“

3、正則”等；注解2、一個(gè)函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)，顯然它在這個(gè)點(diǎn)連續(xù)；注解2、解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系：在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性為一個(gè)局部概念，而解析性是一個(gè)整體概念；注解：第10頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換注解3、函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)解析，是指在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此在這個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)，反之，在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)不能得到在這個(gè)點(diǎn)解析；注解4、閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包含這個(gè)區(qū)域的一個(gè)更大的區(qū)域上解析；注解5、解析性區(qū)域；注解：第11頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換四則運(yùn)算法則第12頁(yè)，共102頁(yè)，20

4、22年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則第13頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換反函數(shù)求導(dǎo)法則第14頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換利用這些法則，我們可以計(jì)算常數(shù)、多項(xiàng)式以及有理函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果和數(shù)學(xué)分析的結(jié)論基本相同。注解：第15頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換2.2 函數(shù)解析的充要條件第16頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022

5、/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換Cauchy-Riemann條件：第17頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第18頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換定理3.1的證明（必要性）：第19頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換定理3.1的證明（充分性）：第20頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)的解析條件第21頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二

6、2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第22頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換注解:和數(shù)學(xué)分析中的結(jié)論不同，此定理表明解析函數(shù)(可導(dǎo)函數(shù))的實(shí)部和虛部不是完全獨(dú)立的，它們是柯西-黎曼方程的一組解；柯西-黎曼條件是復(fù)變函數(shù)解析的必要條件而非充分條件（見(jiàn)反例）；解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有更簡(jiǎn)潔的形式：第23頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換反例：u(x,y)、v(x,y)如下：第24頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第25頁(yè)，共102

7、頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第26頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換例1 討論下列函數(shù)的可導(dǎo)性和解析性：第27頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第28頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第29頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第30頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7

8、復(fù)變函數(shù)與積分變換第31頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換例2第32頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第33頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第34頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第35頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2.3 初等函數(shù) 3、指數(shù)函數(shù) 4、多值函數(shù)導(dǎo)引：幅角函數(shù)第36頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)1

9、1分，星期二1.指數(shù)函數(shù)(1)指數(shù)函數(shù)的定義第37頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換 我們首先把指數(shù)函數(shù)的定義擴(kuò)充到整個(gè)復(fù)平面。 要求復(fù)變數(shù)z=x+iy的函數(shù)f(z)滿足下列條件：第38頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換 由解析性，我們利用柯西-黎曼條件，有 所以， 因此， 我們也重新得到歐拉公式：第39頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換(2)指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)第40頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11

10、分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第41頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第42頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第43頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第44頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換yxz-平面uw-平面v第45頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換2.三角函數(shù)與雙曲函數(shù)第46頁(yè)，

11、共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換 由于Euler公式，對(duì)任何實(shí)數(shù)x，我們有： 所以有因此，對(duì)任何復(fù)數(shù)z，定義余弦函數(shù)和正弦函數(shù)如下：第47頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換三角函數(shù)的基本性質(zhì):則對(duì)任何復(fù)數(shù)z，Euler公式也成立：第48頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換關(guān)于復(fù)三角函數(shù)，有下面的基本性質(zhì)：1、cosz和sinz是單值函數(shù)；2、cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù):第49頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日

12、，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換 3、cosz和sinz是以為周期的周期函數(shù): 第50頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換 證明：第51頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換注解：由于負(fù)數(shù)可以開(kāi)平方，所以由此不能得到例如z=2i時(shí)，有第52頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換6、cosz和sinz在整個(gè)復(fù)平面解析，并且有：證明：第53頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022

13、/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換7、cosz和sinz在復(fù)平面的零點(diǎn)：cosz在復(fù)平面的零點(diǎn)是， sinz在復(fù)平面的零點(diǎn)是8、同理可以定義其他三角函數(shù)：第54頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換9、反正切函數(shù)：由函數(shù) 所定義的函數(shù) w稱為z的反正切函數(shù)，記作由于令 ，得到第55頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換從而所以反正切函數(shù)是多值解析函數(shù)，它的支點(diǎn)是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不是它的支點(diǎn)。第56頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換3.對(duì)數(shù)函

14、數(shù) 和實(shí)變量一樣，復(fù)變量的對(duì)數(shù)函數(shù)也定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)：第57頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換注解、由于對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)是周期為2 的周期函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)必然是多值函數(shù)，事實(shí)上。第58頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第59頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換對(duì)數(shù)函數(shù)的主值： 相應(yīng)與幅角函數(shù)的主值，我們定義對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的主值lnz為：則這時(shí)，有第60頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日

15、，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換三種對(duì)數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：第61頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)第62頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第63頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第64頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第65頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換

16、第66頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換uvw-平面xz-平面y第67頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換對(duì)數(shù)函數(shù)的單值化： 相應(yīng)與幅角函數(shù)的單值化，我們也可以將對(duì)數(shù)函數(shù)單值化：考慮復(fù)平面除去負(fù)實(shí)軸（包括0）而得的區(qū)域D。顯然，在D內(nèi)，對(duì)數(shù)函數(shù)可以分解為無(wú)窮多個(gè)單值連續(xù)分支。第68頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換沿負(fù)實(shí)軸的割線的取值情況：上沿下沿第69頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二202

17、2/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換一般區(qū)域：第70頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換對(duì)數(shù)函數(shù)的單值化： 由于對(duì)數(shù)函數(shù)的每個(gè)單值連續(xù)分支都是解析的，所以我們也將它的連續(xù)分支稱為解析分支。我們也稱對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)無(wú)窮多值解析函數(shù)。我們稱原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的無(wú)窮階支點(diǎn)（對(duì)數(shù)支點(diǎn)）；第71頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換特點(diǎn)：1、當(dāng)z繞它們連續(xù)變化一周時(shí)，Lnz連續(xù)變化到其它值；2、不論如何沿同一方向變化，永遠(yuǎn)不會(huì)回到同一個(gè)值。第72頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11

18、分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換例1 第73頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換例2 第74頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換例3 第75頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換4.冪函數(shù) 利用對(duì)數(shù)函數(shù)，可以定義冪函數(shù)：設(shè)a是任何復(fù)數(shù)，則定義z的a次冪函數(shù)為第76頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換當(dāng)a為正實(shí)數(shù)，且z=0時(shí)，還規(guī)定由于因此，對(duì)同一個(gè) 的不同

19、數(shù)值的個(gè)數(shù)等于不同數(shù)值的因子 個(gè)數(shù)。第77頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換冪函數(shù)的基本性質(zhì)：第78頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第79頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第80頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第81頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換第82頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，

20、13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換 設(shè)在區(qū)域G內(nèi)，我們可以把Lnz分成無(wú)窮個(gè)解析分支。對(duì)于Lnz的一個(gè)解析分支，相應(yīng)地 有一個(gè)單值連續(xù)分支。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則， 的這個(gè)單值連續(xù)分支在G內(nèi)解析，并且其中 應(yīng)當(dāng)理解為對(duì)它求導(dǎo)數(shù)的那個(gè)分支，lnz應(yīng)當(dāng)理解為對(duì)數(shù)函數(shù)相應(yīng)的分支。第83頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換 對(duì)應(yīng)于Lnz在G內(nèi)任一解析分支：當(dāng)a是整數(shù)時(shí)， 在G內(nèi)有n個(gè)解析分支；當(dāng)a是無(wú)理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，冪函數(shù)在G內(nèi)是同一解析函數(shù)；當(dāng) 時(shí)， 在G內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)解析分支，是一個(gè)無(wú)窮值多值函數(shù)。第84頁(yè)，共102頁(yè)，202

21、2年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換 例如當(dāng)n是大于1的整數(shù)時(shí)，稱為根式函數(shù)，它是 的反函數(shù)。當(dāng)時(shí)，有這是一個(gè)n值函數(shù)。第85頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換在復(fù)平面上以負(fù)實(shí)軸（包括0）為割線而得的區(qū)域D內(nèi)，它有n個(gè)不同的解析分支：它們也可以記作這些分支在負(fù)實(shí)軸的上沿與下沿所取的值，與相應(yīng)的連續(xù)分支在該處所取的值一致。第86頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換冪函數(shù)的映射性質(zhì):第87頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期

22、二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換關(guān)于冪函數(shù)當(dāng)a為正實(shí)數(shù)時(shí)的映射性質(zhì)，有下面的結(jié)論：設(shè) 是一個(gè)實(shí)數(shù)，并且在z平面上取正實(shí)數(shù)軸（包括原點(diǎn)）作為割線，得到一個(gè)區(qū)域D*?？紤]D*內(nèi)的角形，并取 在D*內(nèi)的一個(gè)解析分支第88頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換當(dāng)z描出A內(nèi)的一條射線時(shí)讓 從0增加到 （不包括0及 ），那么射線l掃過(guò)角形A，而相應(yīng)的射線 掃過(guò)角形（不包括0），w在w平面描出一條射線第89頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換因此把夾角為 的角形雙射成一個(gè)夾角為 的角形，同時(shí)

23、，這個(gè)函數(shù)把A中以原點(diǎn)為心的圓弧映射成中以原點(diǎn)為心的圓弧。第90頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換類似地，我們有，當(dāng)n(1)是正整數(shù)時(shí)，的n個(gè)分支分別把區(qū)域D*雙射成w平面的n個(gè)角形第91頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換例1、作出一個(gè)含i的區(qū)域，使得函數(shù)在這個(gè)區(qū)域內(nèi)可以分解成解析分支；求一個(gè)分支在點(diǎn)i個(gè)的值。解：我們知道可能的支點(diǎn)為0、1、2與無(wú)窮，具體分析見(jiàn)下圖第92頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)11分，星期二2022/9/7復(fù)變函數(shù)與積分變換結(jié)論：0、1、2與無(wú)窮都是1階支點(diǎn)。第93頁(yè)，共102頁(yè)，2022年，5月