金版學(xué)案高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步章末知識(shí)整合蘇教版必修2

1、金版學(xué)案高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步章末知識(shí)整合蘇教版必修2一、函數(shù)與方r程思想函數(shù)與方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想.在立體幾何中，若一個(gè)量未知求另一個(gè)量的最值時(shí)，可利用函數(shù)思想去解決.例1如圖所示，圓柱OO內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABCA1BG,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑，AA=AG=CB=2.(1)證明：平面AACCL平面BBC&(2)設(shè)E,F分別為ACBC上的動(dòng)點(diǎn)，且CPBF=x(0 x2),問當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐GECF的體積最大，最大值為多少？(1)證明：因?yàn)锽B，平面ABCAC?平面ABC所以BBXAC因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以BCLAC,又B6BB=B,所以ACL平

2、面BBCC,而AC?平面A1ACC,所以平面AACCL平面BBCC八八八 八 1一1VC ECF= VC- ECF= 3$ ecf - CC= 3 (2J解：因?yàn)镃E=BF=x,所以CF=2-x.；x-(2-x).2=；(2xx2)=；(x1)2+1,233又0 x2,所以當(dāng)x=1時(shí)，三棱錐CECF的體積最大，最大值為J3A規(guī)律總結(jié)將幾何中的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是立體幾何與代數(shù)相結(jié)合的典范，應(yīng)體會(huì)此方法思想的應(yīng)用技巧.變式訓(xùn)練1.圓錐的底面半徑為2cm,高為4cm,求圓錐的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值.解：如圖所示，為圓柱和圓錐的軸截面，設(shè)所求圓柱的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,S圓柱側(cè)=2兀.lr

3、.一，r4l,因?yàn)?=一廠，所以l=42r.所以S圓柱側(cè)=2兀lr=2兀r,(42r)=一4兀(r1)+4ttW47t.所以當(dāng)r=1時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大且Sax=4兀cm2.二、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸就是處理問題時(shí)，把待解決的問題或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決的問題，最終使問題得到解答的一種數(shù)學(xué)思想.轉(zhuǎn)化與化歸思想是立體幾何中重要且常用的數(shù)學(xué)思想.例2如圖所示，正方體ABCDABGD的棱長(zhǎng)為1.(1)求證：ACL平面BDDR(2)求AB與平面BDDB所成的角；(3)求三棱錐BACB的體積.分析：(1)證明ACLBB且ACLBD即可.(2)結(jié)合(1)求解關(guān)鍵是先作出

4、所求的角.(3)利用VBACB=VCABB求解.(1)證明：因?yàn)锽B，平面ABCDAG平面ABCD所以BBXAC又ACLBDBBABD-B,所以ACL平面BDDB(2)解：設(shè)AC與DB的交點(diǎn)為O,連接BO,由(1)知ACL平面BDDB所以B1O就是AB在平面BDDB上的射影.所以/ABO就是所求的角.因?yàn)锳B=,2,AO-AAOB=90,所以/ABO=30._一一一1_1(3)解：VBACB=VGABB=CB-SAABB=二36A規(guī)律總結(jié)(i)空間中線線、線面、面面三者之間相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系如下：線線平行？線面平行？面面平行；線線垂直？線面垂直？面面垂直.有關(guān)線面位置關(guān)系的論證往往就通過這種聯(lián)系和

5、轉(zhuǎn)化得到解決.(2)通過添加輔助線或輔助面將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.(3)空間角的求解.通常將空間的角(異面直線的夾角、直線與平面所成的角、二面角)轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線的夾角，通過三角形求解，即立體問題平面化.變式訓(xùn)練2.已知圓柱的高為5兀，底面半徑為2y3,軸截面為矩形AABB,在母線AA上有一點(diǎn)P,且P兀，在母線BB上取一點(diǎn)Q使BQ=2兀，則圓柱側(cè)面上P,Q兩點(diǎn)間的最短距離為.解析：如圖甲所示，沿圓柱的母線AA剪開得矩形(如圖乙所示)，過點(diǎn)P作PEE/AB交BB于點(diǎn)E,令PA=a,BQ=b,一.1-貝UPE=AB=2X2兀R=兀R=243兀,QE=hab=2兀.用甲圖乙所以PQ

6、=a/p+QE=V(兀R)2+(h-a-b)2=4兀.答案：4兀三、整體思想的應(yīng)用整體思想在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程(組)、幾何證明等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補(bǔ)形(體)等都是整體思想在解數(shù)學(xué)問題中的具體運(yùn)用.例3一個(gè)長(zhǎng)方體的全面積為11,十二條棱長(zhǎng)度之和為24,求這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng).分析：要求長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)，只要求長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)即可.解：設(shè)此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z,對(duì)角線長(zhǎng)為l,則由題意得：(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.由4(x+y+z)=24得x+y+z=6,從而由長(zhǎng)方體對(duì)角線

7、性質(zhì)得：l=x2+y2+z2=7(x+y+z)22(xy+yz+zx)=q62ii=5.規(guī)律總結(jié)整體思想就是在探究數(shù)學(xué)問題時(shí)，研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或?qū)栴}的數(shù)的特征、形的特征、結(jié)構(gòu)特征做出整體性處理.整體思想的含義很廣，根據(jù)問題的具體要求，可以對(duì)代數(shù)式做整體變換，或整體代入，也可以對(duì)圖形做整體處理.變式訓(xùn)練.如圖所示，長(zhǎng)方體三個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)分別是a,rb,c,求長(zhǎng)方體對(duì)角線AC的長(zhǎng).對(duì)角線AC=ix+y+z2x2+y2=c2,而x2+z2=b2,y2+z2=a2.222a+b由得：x2+y2+z22所以對(duì)角線：AC=x2+y2+Z=“2(a2+b2+c2)四、分類討論思想的應(yīng)用由于圖形

8、的類型或位置不確定引起分類討論.例4用互相平行且距離為27的兩個(gè)平面截球，兩個(gè)截面圓的半徑分別為ri=15,2=24,試求球的表面積.分析：應(yīng)分兩個(gè)平行截面位于球心的同側(cè)或兩側(cè)進(jìn)行討論.解：設(shè)球的半徑為R,球心O到兩平行截面的距離為Ogdi,OO=d2.(1)當(dāng)兩個(gè)平行截面位于球心O的兩側(cè)時(shí)，如圖所示，R2=152+di,則F2=242+d2,解得di=20,d2=7,R=25.di+d2=27,故S球=4兀R=2500兀.圖圖(2)當(dāng)兩個(gè)平行截面位于球心O的同側(cè)時(shí)，.如圖所示，R2=152+d?,則R2=242+d2,解得d1=20,d2=7,不符合題意，即這種情況不存在.d1d2=27,綜上可知，球的表面積25007t.當(dāng)在已知條件下存在多種可能的情況時(shí)，須分類討論每一種可能的情況，綜合得出結(jié)果.本題雖然第(2)種情形r不成立，但也必須考慮到.變式訓(xùn)練4.一張長(zhǎng)為10cm,寬為5cm的紙，以它為側(cè)面卷成一個(gè)圓柱，求該圓柱的體積.解：有兩種情況：(1)以5 cm的邊為圓柱的母線,則形成的圓柱的底面周長(zhǎng)為10 cm,故底面半徑為r=-5cm，2.因此1 V圓柱=兀r h=兀25715 = -(cm3).兀(2)以10cm的邊為圓柱的母線,則形成的圓